高三第一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練之圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問題的四種模型

模型一：“手電筒”模型

例題、（07山東）已知橢圓C：若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)。求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

解：設(shè)，由得，以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)且，，整理得：，解得：，且滿足

當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)與已知矛盾；

當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)

綜上可知，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為

◆方法總結(jié)：本題為“弦對定點(diǎn)張直角”的一個(gè)例子：圓錐曲線如橢圓上任意一點(diǎn)P做相互垂直的直線交圓錐曲線于AB，則AB必過定點(diǎn)。（參考百度文庫文章：“圓錐曲線的弦對定點(diǎn)張直角的一組性質(zhì)”）

◆模型拓展：本題還可以拓展為“手電筒”模型：只要任意一個(gè)限定AP與BP條件（如定值，定值），直線AB依然會過定點(diǎn)（因?yàn)槿龡l直線形似手電筒，固名曰手電筒模型）。（參考優(yōu)酷視頻資料尼爾森數(shù)學(xué)第一季第13節(jié)）

此模型解題步驟：

Step1：設(shè)AB直線，聯(lián)立曲線方程得根與系數(shù)關(guān)系，求出參數(shù)范圍；

Step2：由AP與BP關(guān)系（如），得一次函數(shù)；

Step3：將代入，得。

◆遷移訓(xùn)練

練習(xí)1：過拋物線M:上一點(diǎn)P（1,2）作傾斜角互補(bǔ)的直線PA與PB，交M于A、B兩點(diǎn)，求證：直線AB過定點(diǎn)。（注：本題結(jié)論也適用于拋物線與雙曲線）

練習(xí)2：過拋物線M:的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的弦OA、OB，求證：直線AB過定點(diǎn)。（經(jīng)典例題，多種解法）

練習(xí)3：過上的點(diǎn)作動(dòng)弦AB、AC且，證明BC恒過定點(diǎn)。（本題參考答案：）

練習(xí):4：設(shè)A、B是軌跡：上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且時(shí)，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。（參考答案）

【答案】設(shè)，由題意得，又直線OA,OB的傾斜角滿足，故，所以直線的斜率存在，否則，OA,OB直線的傾斜角之和為從而設(shè)AB方程為，顯然，將與聯(lián)立消去，得

由韋達(dá)定理知①

由，得1＝==

將①式代入上式整理化簡可得：，所以，此時(shí)，直線的方程可表示為即

所以直線恒過定點(diǎn).練習(xí)5：（2013年高考陜西卷（理））已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長為8.(Ⅰ)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程;

(Ⅱ)已知點(diǎn)B(-1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若x軸是的角平分線,證明直線過定點(diǎn).【答案】解:(Ⅰ)

A(4,0),設(shè)圓心C

(Ⅱ)

點(diǎn)B(-1,0),.直線PQ方程為:

所以,直線PQ過定點(diǎn)(1,0)

練習(xí)6：已知點(diǎn)是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足

（1）求點(diǎn)的軌跡對應(yīng)的方程；

（2）已知點(diǎn)在曲線上，過點(diǎn)作曲線的兩條弦和，且，判斷：直線是否過定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論.【解】（1）設(shè)

（5分））

第22題

練習(xí)7：已知點(diǎn)A（－1，0），B（1，－1）和拋物線.，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)A的動(dòng)直線l交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q，如圖.（I）證明:

為定值;

（II）若△POM的面積為，求向量與的夾角；

（Ⅲ）證明直線PQ恒過一個(gè)定點(diǎn).解：（I）設(shè)點(diǎn)、M、A三點(diǎn)共線，(II)設(shè)∠POM=α，則

由此可得tanα=1.又

(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)、B、Q三點(diǎn)共線，即

即

由（*）式，代入上式，得

由此可知直線PQ過定點(diǎn)E（1，－4）.模型二：切點(diǎn)弦恒過定點(diǎn)

例題：有如下結(jié)論：“圓上一點(diǎn)處的切線方程為”，類比也有結(jié)論：“橢圓處的切線方程為”，過橢圓C：的右準(zhǔn)線l上任意一點(diǎn)M引橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)為

A、B.（1）求證：直線AB恒過一定點(diǎn)；

（2）當(dāng)點(diǎn)M在的縱坐標(biāo)為1時(shí)，求△ABM的面積。

【解】（1）設(shè)M

∵點(diǎn)M在MA上∴

①

同理可得②

由①②知AB的方程為

易知右焦點(diǎn)F（）滿足③式，故AB恒過橢圓C的右焦點(diǎn)F（）

（2）把AB的方程

∴

又M到AB的距離

∴△ABM的面積

◆方法點(diǎn)評：切點(diǎn)弦的性質(zhì)雖然可以當(dāng)結(jié)論用，但是在正式的考試過程中直接不能直接引用，可以用本題的書寫步驟替換之，大家注意過程。

◆方法總結(jié)：什么是切點(diǎn)弦？解題步驟有哪些？

參考：PPT圓錐曲線的切線及切點(diǎn)弦方程，百度文庫

參考：“尼爾森數(shù)學(xué)第一季_3下”，優(yōu)酷視頻

拓展：相交弦的蝴蝶特征——蝴蝶定理，資料

練習(xí)1：（2013年廣東省數(shù)學(xué)（理）卷）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)到直線:的距離為.設(shè)為直線上的點(diǎn),過點(diǎn)作拋物線的兩條切線,其中為切點(diǎn).(Ⅰ)

求拋物線的方程;

(Ⅱ)

當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí),求直線的方程;

(Ⅲ)

當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí),求的最小值.【答案】(Ⅰ)

依題意,設(shè)拋物線的方程為,由結(jié)合,解得.所以拋物線的方程為.(Ⅱ)

拋物線的方程為,即,求導(dǎo)得

設(shè),(其中),則切線的斜率分別為，所以切線：,即,即

同理可得切線的方程為

因?yàn)榍芯€均過點(diǎn),所以,所以為方程的兩組解.所以直線的方程為.(Ⅲ)

由拋物線定義可知，所以

聯(lián)立方程,消去整理得

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得,所以

又點(diǎn)在直線上,所以,所以

所以當(dāng)時(shí),取得最小值,且最小值為.練習(xí)2：（2013年遼寧數(shù)學(xué)（理））如圖,拋物線,點(diǎn)在拋物線上,過作的切線,切點(diǎn)為(為原點(diǎn)時(shí),重合于),切線的斜率為.(I)求的值;(II)當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段中點(diǎn)的軌跡方.【答案】

模型三：相交弦過定點(diǎn)

相交弦性質(zhì)實(shí)質(zhì)是切點(diǎn)弦過定點(diǎn)性質(zhì)的拓展，結(jié)論同樣適用。參考尼爾森數(shù)學(xué)第一季_3下，優(yōu)酷視頻。但是具體解題而言，相交弦過定點(diǎn)涉及坐標(biāo)較多，計(jì)算量相對較大，解題過程一定要注意思路，同時(shí)注意總結(jié)這類題的通法。

例題：如圖，已知直線L：的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B在直線上的射影依次為點(diǎn)D、E。連接AE、BD，試探索當(dāng)m變化時(shí)，直線AE、BD是否相交于一定點(diǎn)N？若交于定點(diǎn)N，請求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則說明理由。

法一：解：

先探索，當(dāng)m=0時(shí)，直線L⊥ox軸，則ABED為矩形，由對稱性知，AE與BD相交于FK中點(diǎn)N,且。猜想：當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)

證明：設(shè)，當(dāng)m變化時(shí)首先AE過定點(diǎn)N

∴KAN=KEN

∴A、N、E三點(diǎn)共線

同理可得B、N、D三點(diǎn)共線

∴AE與BD相交于定點(diǎn)

法2：本題也可以直接得出AE和BD方程，令y=0，得與x軸交點(diǎn)M、N,然后兩個(gè)坐標(biāo)相減=0.計(jì)算量也不大。

◆方法總結(jié)：方法1采用歸納猜想證明，簡化解題過程，是證明定點(diǎn)問題一類的通法。這一類題在答題過程中要注意步驟。

例題、已知橢圓C：，若直線與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點(diǎn)，試問直線MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。

方法1：點(diǎn)A1、A2的坐標(biāo)都知道，可以設(shè)直線PA1、PA2的方程，直線PA1和橢圓交點(diǎn)是A1(-2,0)和M，通過韋達(dá)定理，可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理可以求出點(diǎn)N的坐標(biāo)。動(dòng)點(diǎn)P在直線上，相當(dāng)于知道了點(diǎn)P的橫坐標(biāo)了，由直線PA1、PA2的方程可以求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到兩條直線的斜率的關(guān)系，通過所求的M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線MN的方程，將交點(diǎn)的坐標(biāo)代入，如果解出的t>2，就可以了，否則就不存在。

解：設(shè)，直線的斜率為,則直線的方程為，由消y整理得

是方程的兩個(gè)根，則，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2，則得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，直線MN的方程為：，令y=0，得，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡后得：

又，橢圓的焦點(diǎn)為，即

故當(dāng)時(shí)，MN過橢圓的焦點(diǎn)。

方法總結(jié)：本題由點(diǎn)A1(-2,0)的橫坐標(biāo)－2是方程的一個(gè)根，結(jié)合韋達(dá)定理，得到點(diǎn)M的橫縱坐標(biāo)：，；其實(shí)由消y整理得，得到，即，很快。不過如果看到：將中的換下來，前的系數(shù)2用－2換下來，就得點(diǎn)N的坐標(biāo)，如果在解題時(shí)，能看到這一點(diǎn)，計(jì)算量將減少，這樣真容易出錯(cuò)，但這樣減少計(jì)算量。本題的關(guān)鍵是看到點(diǎn)P的雙重身份：點(diǎn)P即在直線上也在直線A2N上，進(jìn)而得到，由直線MN的方程得直線與x軸的交點(diǎn)，即橫截距，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡易得，由解出，到此不要忘了考察是否滿足。

◆方法2：先猜想過定點(diǎn)，設(shè)弦MN的方程，得出方程，進(jìn)而得出與T交點(diǎn)Q、S，兩坐標(biāo)相減=0.如下：

◆方法總結(jié)：法2計(jì)算量相對較小，細(xì)心的同學(xué)會發(fā)現(xiàn)，這其實(shí)是上文“切點(diǎn)弦恒過定點(diǎn)”的一個(gè)特例而已。因此，法2采用這類題的通法求解，就不至于思路混亂了。相較法1，未知數(shù)更少，思路更明確。

練習(xí)1：（10江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓+=1的左右頂點(diǎn)為A,B，右焦點(diǎn)為F，設(shè)過點(diǎn)T(t,m)的直線TA,TB與橢圓分別交于點(diǎn)M(x1,y1)，N(x2,y2)，其中m>0,y1>0,y2<0.⑴設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF2－PB2=4,求點(diǎn)P的軌跡

⑵設(shè)x1=2,x2=，求點(diǎn)T的坐標(biāo)

⑶設(shè)t=9,求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無關(guān))

解析：問3與上題同。

練習(xí)2：已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、、三點(diǎn)．過橢圓的右焦點(diǎn)F任做一與坐標(biāo)軸不平行的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，與所在的直線交于點(diǎn)Q.（1）求橢圓的方程：

（2）是否存在這樣直線，使得點(diǎn)Q恒在直線上移動(dòng)？若存在,求出直線方程,若不存在,請說明理由.解析：（1）設(shè)橢圓方程為

將、、代入橢圓E的方程，得

解得.∴橢圓的方程

（也可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，知類似計(jì)分）

（2）可知：將直線

代入橢圓的方程并整理．得

設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)，由根系數(shù)的關(guān)系，得

直線的方程為：

由直線的方程為：，即

由直線與直線的方程消去，得

∴直線與直線的交點(diǎn)在直線上．

故這樣的直線存在模型四：動(dòng)圓過定點(diǎn)問題

動(dòng)圓過定點(diǎn)問題本質(zhì)上是垂直向量的問題，也可以理解為“弦對定點(diǎn)張直角”的新應(yīng)用。

例題1.已知橢圓

是拋物線的一條切線。（I）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)的動(dòng)直線L交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

解：（I）由

因直線相切，故所求橢圓方程為（II）當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：

當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：,由

即兩圓相切于點(diǎn)（0，1）

因此，所求的點(diǎn)T如果存在，只能是（0，1）.事實(shí)上，點(diǎn)T（0，1）就是所求的點(diǎn)，證明如下。

當(dāng)直線L垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T（0，1）

若直線L不垂直于x軸，可設(shè)直線L：

由

記點(diǎn)、∴TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T（0，1）,故在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（0，1）滿足條件.◆方法總結(jié)：圓過定點(diǎn)問題，可以先取特殊值或者極值，找出這個(gè)定點(diǎn)，再證明用直徑所對圓周角為直角。

例題2：如圖，已知橢圓的離心率是，分別是橢圓的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)。點(diǎn)是軸上位于右側(cè)的一點(diǎn)，且滿足。

（1）求橢圓的方程以及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)作軸的垂線，再作直線

與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)

。求證：以線段為直徑的圓恒過定點(diǎn)，并求出定

點(diǎn)的坐標(biāo)。

解：（1），設(shè)，由有，又，于是，又，又，橢圓，且。

（2）方法1：，設(shè)，由，由于（*），而由韋達(dá)定理：，，設(shè)以線段為直徑的圓上任意一點(diǎn)，由有

由對稱性知定點(diǎn)在軸上，令，取時(shí)滿足上式，故過定點(diǎn)。

法2：本題又解：取極值，PQ與AD平行，易得與X軸相交于F（1,0）。接下來用相似證明PF⊥FQ。

問題得證。

練習(xí)：（10廣州二模文）已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，橢圓與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，.圓的圓心是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),圓與軸交于兩點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程；

（2）證明:無論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處,圓恒經(jīng)過橢圓上一定點(diǎn).（1）解法1：∵拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.∴橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的準(zhǔn)線方程為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由拋物線的定義可知,∵,∴，解得.由，且,得.∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.在橢圓:中，.∴.∴橢圓的方程為.解法2：∵拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.∴

拋物線的準(zhǔn)線方程為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由拋物線的定義可知,∵,∴，解得.由，且得.∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.在橢圓:中，.由解得.∴橢圓的方程為.（2）證法1:

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,圓的半徑為，∵

圓與軸交于兩點(diǎn)，且,∴

.∴.∴圓的方程為.∵

點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),∴

().∴.把代入

消去整理得:.方程對任意實(shí)數(shù)恒成立，∴

解得

∵點(diǎn)在橢圓:上,∴無論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處,圓恒經(jīng)過橢圓上一定點(diǎn).證法2:

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,圓的半徑為，∵

點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),∴

().∵

圓與軸交于兩點(diǎn)，且,∴

.∴

.∴

圓的方程為.令,則,得.此時(shí)圓的方程為.由解得∴圓:與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為、.分別把點(diǎn)、代入方程進(jìn)行檢驗(yàn)，可知點(diǎn)恒符合方程，點(diǎn)不恒符合方程.∴無論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處,圓恒經(jīng)過橢圓上一定點(diǎn).