24.1相似形

1.定義：形狀相同的圖形稱為相似形

【注意】對(duì)相似三角形的定義應(yīng)從以下幾方面理解：

（1）“形狀相同的圖形”是將一個(gè)圖形放大或縮小后得到的（2）“大小不一定相同的相似形”說明了相似圖形有兩種情況：一是大小不同；二是大小相同。對(duì)于大小不同的兩個(gè)相似形，可以看作大的圖形由小的圖形放大而得到，或小的圖形由大的圖形縮小而得到。對(duì)于大小相同的兩個(gè)相似形，它們可以重合，這時(shí)它們是全等形。

（3）所謂形狀相同，應(yīng)與位置無(wú)關(guān)，與擺放角度無(wú)關(guān)，與擺放方向也無(wú)關(guān)。

例：下列各組中的圖形，不是相似圖形的是（）

（Ａ）同一座城市的兩張比例尺不同的地圖（Ｂ）一個(gè)人現(xiàn)在的照片和他十年前的照片

（Ｃ）兩個(gè)正方形（Ｄ）國(guó)旗上的五角星

2.相似圖形的識(shí)別方法

（1）感觀法（2）測(cè)量法（3）對(duì)比分析法

3.相似圖形的性質(zhì)

如果兩個(gè)多邊形是相似形，那么這兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度成比例。

【注意】（1）當(dāng)兩個(gè)相似的多邊形是全等形時(shí)，它們的對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度的比值都是1

（2）根據(jù)此性質(zhì)，我們可以判定兩個(gè)多邊形是否相似。

4.方格法畫與已知圖形相似的圖形

（1）利用“方格法”畫與已知圖形相似的圖形的依據(jù)是“兩多邊形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度成比例，則兩多邊形相似”。

（2）利用“方格法”畫與已知圖形相似的圖形的方法：在格子圖中畫與已知圖形相似的圖形時(shí)，首先應(yīng)確定對(duì)應(yīng)邊所成的比例數(shù)，然后根據(jù)比例數(shù)在格子點(diǎn)上找出對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度，再根據(jù)對(duì)應(yīng)角相等即可畫出圖形。

例；如圖在正方形網(wǎng)格上，若使∽，則點(diǎn)Ｐ應(yīng)在（）

24.2比例線段

1.兩條線段的比

如果，那么就說成比例。

兩條線段的長(zhǎng)度的比叫做兩條線段的比。

【注意】（1）兩條線段的比，就是在同一單位下它們的長(zhǎng)度比。因此，比與所選線段的長(zhǎng)度單位無(wú)關(guān)，但必須選定同一長(zhǎng)度單位。

（2）由于長(zhǎng)度都是正數(shù)，所以兩條線段的比是一個(gè)正數(shù)。

（3）兩條線段的比是有順序的，不可顛倒，除了時(shí)外，互為倒數(shù)。

2.成比例線段

在四條線段中，如果的比等于，即，我們把這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段。

【注意】（1）比例線段所表示的是四條線段的關(guān)系。

（2）比例線段所表示的是一種相等關(guān)系，因此表示比例線段的式子中必須有等號(hào)存在。

（3）線段成比例是順序地表示為

（4）判斷四條線段是否成比例，只要把這四條線段長(zhǎng)度的大小順序排好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可。

3.比例的基本性質(zhì)

兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積，即如果，那么。

如果，那么，，…。

4.合比性質(zhì)

如果，那么；，【注意】（1）在對(duì)比例式進(jìn)行變形時(shí)，要注意是分子加減分母經(jīng)原分母，而不要理解反了

（2）合比性質(zhì)與比例基本性質(zhì)結(jié)合起來(lái)運(yùn)用可得到很多結(jié)論，如：

例：（1）若的值。（2）若，求的值。

5.等比性質(zhì)

如果，那么

【注意】（1）等比性質(zhì)可以推廣到任意有限多個(gè)相等的比的情形。例如：

如果，那么

（2）在運(yùn)用等比性質(zhì)時(shí)，一定要注意性質(zhì)滿足的條件是所有比的分母的和不為0

例：已知，求的值（）

6.黃金分割

如圖，如果點(diǎn)C把線段AB分割成AC和CB（AC>CB）兩條線段，且，那么稱這種分割為黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC（長(zhǎng)）是BC（短）與AB（全）的比例中項(xiàng)，AC與AB的比值叫做黃金分割數(shù)。

即

兩邊同時(shí)加上

得，兩邊開平方得，只取，24.3三角形一邊的平行線

1.三角形一邊的平行線性質(zhì)定理及推論

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例。

2.三角形的重心

三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心。

三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍。

3.三角形一邊的平行線判定定理及推論

如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

如果一條直線截三角形的兩邊的延長(zhǎng)線（這兩邊的延長(zhǎng)線在第三邊的同側(cè)）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

4.平行線分線段成比例定理

兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例

兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也相等。

5.通過上面的學(xué)習(xí)，含有比例線段的基本圖形：

例：

1.如圖,已知:在的對(duì)角線AC上取一點(diǎn)G,過G作一直線分別交AB的延長(zhǎng)線BC和AD及CD的延長(zhǎng)線開P、Q、E、S.求證:GP·GQ=GE·GS

分析:求線段的比或證明比例線段關(guān)鍵是通過找出“中間比”來(lái)進(jìn)行過渡,這是一種基本方法

.證明中將行者等積式與比例式進(jìn)行互化是常用的方法.2.如圖,ABC中,AD是BC上中線,F

是

AD上一點(diǎn),且AF:FD=1:3,聯(lián)結(jié)BF,并延長(zhǎng)AC于E.求證:CE:EA=6:1

分析:作平行線是證明比例線段中常用的輔助線,能起到構(gòu)造比(比例)和平移比的作用,作不行線是應(yīng)考慮兩點(diǎn):一是過哪一點(diǎn)作平行線,二是作哪一直線一平行線.其原則為:通過作平行線出現(xiàn)存在比和比例的基本圖形,要得到的比例式中應(yīng)盡可能多的出現(xiàn)已知或求證中的線段.3.如圖:在四邊形ABCD中,M、N分別為AB、CD邊的中點(diǎn),延長(zhǎng)AD、MN相交于點(diǎn)G,BC延長(zhǎng)線交GM于H.求證:AG:DG=BH:CH

4.如圖,ABC中,點(diǎn)D在BC上,BD:DC=2:1,點(diǎn)E在AD上,AE:ED=2:3,BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F,求BE:EF的值.5、如圖，已知在中，與相交于點(diǎn)，求的值。

6、如圖所示，在菱形中，點(diǎn)、分別在、上，與

相交于點(diǎn).E

D

C

B

A

F

G

①求證：；

②當(dāng)時(shí)，求證：四邊形是平行四邊形.7、如圖，點(diǎn)是菱形的對(duì)角線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

A

B

C

D

F

F

C

P

E

（1）求證：；

（2）若菱形邊長(zhǎng)為，，求的長(zhǎng)．

8、如圖，在ABC中,點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且。求證：

重心題型

1.已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，G是的重心，則BG＝

__________.2.在中，∠C＝90°，BC＝12，點(diǎn)G為重心，且GD⊥BC，那么CD＝___________.3.兩個(gè)等腰直角三角形和的位置如圖所示，點(diǎn)和點(diǎn)

分別在一直線上，，點(diǎn)分別是、的重心，聯(lián)結(jié)，那么

．

4.我們把兩個(gè)三角形的中心之間的距離叫做重心距，在同一平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的等邊三角形，如果當(dāng)它們的一邊重合時(shí)重心距為，那么當(dāng)它們的一對(duì)角成對(duì)頂角時(shí)重心距為___________

.5.若直角三角形的重心到直角頂點(diǎn)的距離為2厘米，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為__________厘米.6.已知，△ABC的重心G到BC邊中點(diǎn)D的距離是2，則BC邊上的中線長(zhǎng)是

.7.如圖，點(diǎn)Ｇ是的重心，ＡＧ⊥ＧＣ，ＡＣ＝4，那么ＢＧ的長(zhǎng)為__________.8.如圖，點(diǎn)Ｇ是的重心，ＧＨ∥ＡＣ交ＢＣ于點(diǎn)Ｈ，若ＧＨ＝2，那么ＡＣ＝_________.9.點(diǎn)Ｇ是的重心，如果ＥＦ過點(diǎn)Ｇ且ＥＦ∥ＢＣ，分別交ＡＢ、ＡＣ于點(diǎn)Ｅ、Ｆ，那么的值為_____________.10.在中，ＢＣ＝3，點(diǎn)Ｇ是的重心，過點(diǎn)Ｇ作ＤＧ∥ＢＣ交邊ＡＢ于點(diǎn)Ｄ，那么ＤＧ＝____________.11.已知Ｇ是的重心，點(diǎn)Ｄ、Ｅ分別是邊ＡＢ、ＡＣ的點(diǎn)，ＤＥ∥ＢＣ，且經(jīng)過重心Ｇ，如果的周長(zhǎng)是30cm,那么的周長(zhǎng)是______________cm.12.已知在中，點(diǎn)Ｇ是的重心，則＝____________.13.在中，AB=AC=5，BC=8，垂足為D，BE是邊AC上的中線，AD與BE相交于點(diǎn)G，那么AD=____________.G

C

A

B

D

E

H

第3題圖

第8題圖

第7題圖

黃金分割點(diǎn)題型

1.已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB＝2，求較長(zhǎng)線段AC＝______________.2.實(shí)數(shù)2與0.5的比例中項(xiàng)是_____________.3.已知線段那么____________.4.已知Ｃ是線段ＡＢ的黃金分割點(diǎn)，那么＝___________.5.如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)Ｅ是邊上的黃金分割點(diǎn)，且＞，相交于點(diǎn)，那么的值為___________.6.已知中，，平分交，過作∥ＢＣ交ＡＢ于，作平分交ＡＣ于，過作∥ＢＣ交ＡＢ于，則線段的長(zhǎng)度為_______________(用含的代數(shù)式表示）。

7.在△ABC中，AB=AC，BD平分交AC于點(diǎn)D，DE平分交BC于點(diǎn)E，則=_____________.8．已知點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)點(diǎn)，且滿足,則下列式子成立的是……（）

A．；

B．；

C．；

D．．

9．如果點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，那么下列線段比的值不可能是的為（）

（A）；

（B）；

（C）；

（D）．

10.已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，且=，則的長(zhǎng)是______________.24.4相似三角形的判定

知識(shí)點(diǎn)一：相似三角形的概念

1.定義：如果兩個(gè)三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等、三邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形叫做相似三角形。對(duì)應(yīng)相等的角的頂點(diǎn)是這兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)。

2.表示方法：與相似，記作∽，讀作“相似于”。

【注意】在記兩個(gè)三角形相似時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上，這樣可以比較容易地找出相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊。

3.相似比：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫相似比。也叫相似系數(shù)，通常用表示。

【注意】對(duì)于相似比這個(gè)概念，應(yīng)注意順序問題和對(duì)應(yīng)問題。

知識(shí)點(diǎn)二：相似三角形的預(yù)備定理和判定定理

1.相似三角形的預(yù)備定理

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似（符合相似三角形的定義）

2.相似三角形判定定理1

如果一個(gè)三角形的兩角與另一個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似。

【注意】（1）該判定只需兩個(gè)角便可說明兩個(gè)三角形相似，這是最簡(jiǎn)單而且也是常用的判別條件，一般地，當(dāng)題目中告訴角之間的關(guān)系，或線段的平行關(guān)系時(shí)，常選擇該判別條件來(lái)求線段長(zhǎng)度或說明線段的比例關(guān)系等。

（2）該判別方法從另一個(gè)方面指出，對(duì)于三角形這種圖形，兩個(gè)角便可確定其形狀，只是大小不確定，要確定其大小，至少還需添加一條邊的邊長(zhǎng)。

3.相似三角形判定定理2

如果一個(gè)三角形兩邊與另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似。

【注意】和全等一樣，兩邊及其夾角。

4.相似三角形判定定理3

如果一個(gè)三角形三邊與另一個(gè)三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似。

【注意】在找到兩邊對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，一般找夾角，或者再找一邊對(duì)應(yīng)成比例。

知識(shí)點(diǎn)三：兩個(gè)直角三角形相似的判定定理

如果一個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。簡(jiǎn)述：斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似。

【注意】（1）當(dāng)題目中出現(xiàn)直角三角形時(shí)，除了想到前面的方法外，還要多聯(lián)系本方法

（2）該定理不具一般性，僅適用于直角三角形，一般三角形是不適用的。

例：1.如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,P是CD邊的中點(diǎn),點(diǎn)Q在線段BC上,當(dāng)△ADP與△PCQ相似時(shí),求BQ的值.2.如圖,在ABC中,AB=BC,AD⊥BC于D,DE⊥AC于E,M是DE的中點(diǎn),BE、AM交于N.(1)求證:;

(2)求證:

△BCE∽△ADM.3.如圖,D是ABC內(nèi)一點(diǎn),E是ABC外一點(diǎn),∠EBC=∠DBA,∠ECB=∠DAB.求證:

∠BDE=∠BAC

4.已知如圖,在ABC中,AB>AC,在邊AB上取點(diǎn)D,在AC上取點(diǎn)E,使AD=AE,直線DE和BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,求證:

24.5相似三角形的性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)一：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的關(guān)系

相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等。

【注意】相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是證明比例線段的最重要的方法之一，把這一性質(zhì)與比例的基本性質(zhì)相結(jié)合可以在已知三條線段的情況下，求出第四條線段的長(zhǎng)度，因此這一性質(zhì)也是求線段長(zhǎng)的重要方法；而相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等則是繼“平行線的性質(zhì)”、“全等三角形對(duì)應(yīng)角相等”以及“等邊對(duì)等角”之后又一種證明兩角相等的重要方法，同時(shí)也可求有關(guān)角的度數(shù)。

例：如圖，已知在等邊△ABC的邊BC、AC上分別有點(diǎn)M、N，已知∠AMN＝60°，△ABC的邊長(zhǎng)為10cm,且BM＝4cm,求CN的長(zhǎng)。

知識(shí)點(diǎn)二：相似三角形性質(zhì)定理1

相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似三角形的相似比。

例：如圖，已知在△ABC中，AD是高，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC，且長(zhǎng)邊FG在BC上，矩形相鄰兩邊的比為1：2，若BC＝30cm,AD=10Cm,求矩形EFGH的面積。

例：如圖，在△ABC中，AB=3，AC=2，D是邊AB上的一點(diǎn)，平分線AQ與CD、BC分別相交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，求的值。

知識(shí)點(diǎn)三：相似三角形性質(zhì)定理2

相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。

【注意】利用這一性質(zhì)可在已知兩個(gè)相似三角形相似比和其中一個(gè)三角形的周長(zhǎng)的情況下求另一個(gè)三角形的周長(zhǎng)。同時(shí)可得到：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比＝對(duì)應(yīng)中線的比＝對(duì)應(yīng)角平分線的比＝周長(zhǎng)的比＝相似比，知識(shí)點(diǎn)四：相似三角形性質(zhì)定理3

相似三角形面積的比等于相似比的平方。

例：如圖，已知△ABC中，DE∥FG∥BC,且AD＝DF＝FB，那么△ABC被分成的三部分面積之比

（）

（A）1：1：1

（B）1：2：3

（C）1：3：5

（D）1：4：9

如圖所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG,且FG到DE、AB的距離之比為1：2，若△ABC的面積為32，△CDE的面積為2，則△CFG的面積=_______________.1.在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)F、E在邊AC上，且DF∥BE，（1）

求證：DE∥BC；

（2）

如果，求的值。

2．如圖，在中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且滿足.A

B

C

D

E

F

H

（第3題圖）

（1）求證：∽；

（2）當(dāng)平分時(shí)，求證：.3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，且AD

=

AB，AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E．過點(diǎn)D作DF

//

AB，交邊AC于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)EF，．

（1）求證：△EDF∽△EFC；

A

B

C

D

E

F

（第3題圖）

（2）如果，求證：AB

=

BD．

4、已知：如圖，在中，求證：（1）

（2）

5.已知：如圖，E是□ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，射線BE與AD交于點(diǎn)F，與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．

（1）求證：的比例中項(xiàng)；

（2）若AF:FD=3:2,求的值．

6、已知：如圖，在中，平分，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且

（1）求證：；

（2）若點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，，的面積為3，求的面積.7、已知：如圖，在中，是邊的中點(diǎn)，與射線

相交于點(diǎn)，與邊相交于點(diǎn).（1）求證：；

（2）如果，求證：；

（3）在第（2）小題的條件下，如果，求的度數(shù).8.如圖，已知在△ABC中，AB=AC，BC比AB大3，點(diǎn)G是△ABC的重心，AG的延長(zhǎng)線交邊BC于點(diǎn)D.過點(diǎn)G的直線分別交邊AB于點(diǎn)P、交射線AC于點(diǎn)Q.（1）求AG的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)∠APQ=90o時(shí)，直線PG與邊BC相交于點(diǎn)M.求的值；

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊AC上時(shí)，設(shè)BP=，AQ=，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域.[來(lái)源:學(xué).科.網(wǎng)Z.X.X.K]

相似三角形判定的基本模型

（一）A字型、反A字型（斜A字型）

（平行）

（不平行）

（二）8字型、反8字型

（蝴蝶型）

（平行）

（不平行）

（三）母子型:

特點(diǎn)：有一個(gè)公共角，一個(gè)公共邊，夾公共角的另一邊在同一條直線上，是反A字形的特例；

（四）一線三等角型：

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景

特殊情況：當(dāng)C為BD中點(diǎn)時(shí)，（五）一線三直角型：

六、雙垂型：

七、三垂型相似模型

八、共享性

九、旋轉(zhuǎn)型相似

十、斜斜混合型相似