2021年魯教版八年級數(shù)學(xué)下冊《第8章一元二次方程》單元綜合能力提升訓(xùn)練(附答案)
1.下列方程中,一元二次方程共有()
①3x2+x=20;②2x2﹣3xy+4=0;③x2﹣=4;④x2﹣3x=4;⑤x2﹣+3=0.
A.2個(gè)
B.3個(gè)
C.4個(gè)
D.5個(gè)
2.已知x=﹣1是關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣2=0的一個(gè)根,則k的值為()
A.1
B.﹣1
C.2
D.﹣2
3.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣3=0有一個(gè)根為﹣1,則k的值為()
A.﹣5
B.﹣4
C.﹣2
D.2
4.若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+6=0(a≠0)的其中一個(gè)解是x=1,則2021﹣a﹣b的值是()
A.2022
B.2025
C.2027
D.2028
5.為切實(shí)解決群眾看病貴的問題,藥監(jiān)部門對藥品價(jià)格進(jìn)行了兩次下調(diào).某種藥品原價(jià)為250元/瓶,經(jīng)兩次下調(diào)后價(jià)格變?yōu)?60元/瓶,該藥品平均每次降價(jià)的百分率為()
A.10%
B.15%
C.20%
D.25%
6.關(guān)于x的一元二次方程(k+1)x2﹣2x+1=0有實(shí)數(shù)根,則k滿足()
A.k≥0
B.k≤0且k≠﹣1
C.k<0且k≠﹣1
D.k≤0
7.如果關(guān)于x的方程有正數(shù)解,且關(guān)于x的方程mx2﹣2x﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則符合條件的整數(shù)m的值是()
A.﹣1
B.0
C.1
D.﹣1或1
8.若關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2x+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則這兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根是()
A.﹣2
B.
C.2
D.
9.如圖,學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地是長20米,寬15米的長方形.為了便于管理,現(xiàn)要在中間開辟一橫兩縱等寬的小道(如圖),要使種植面積為252平方米,則小道的寬為()
A.5米
B.1米
C.2米
D.3米
10.方程(9x﹣1)2=1的解是()
A.x1=x2=
B.x1=x2=
C.x1=0,x2=
D.x1=0,x2=﹣
11.已知關(guān)于x的方程mx2﹣3x+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,那么m的取值范圍是
.
12.已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣1=0的根,則式子x12﹣2x1+x2的值為
.
13.a(chǎn)是方程x2+x﹣1=0的一個(gè)根,則代數(shù)式﹣2a2﹣2a+2021的值是
.
14.已知α,β方程x2+2x﹣5=0的兩根,那么α2+3α+β的值是
.
15.如果兩個(gè)一元二次方程x2+x+k=0與x2+kx+1=0有且只有一個(gè)根相同,那么k的值是
.
16.一個(gè)等腰三角形的腰和底邊長分別是方程x2﹣8x+12=0的兩根,則該等腰三角形的周長是
.
17.若實(shí)數(shù)a、b滿足a2﹣8a+5=0,b2﹣8b+5=0,則a+b的值
.
18.已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+2k=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1,x2,使得x1x2﹣x12﹣x22=﹣16成立,則k的值
.
19.方程a(x+m)2+b=0的解是x1=﹣2,x2=1,則方程a(x+m+2)2+b=0的解是
.
20.一元二次方程x2﹣6x+5=0化為(x+h)2=k的形式是
.
21.解方程:(x+2)2﹣x﹣2=0.
22.m為實(shí)數(shù),關(guān)于x的方程x(x﹣2m)+m(m﹣1)=0有實(shí)數(shù)根.
(1)求m的取值范圍.
(2)若方程兩實(shí)根的平方和為12,試求m的值.
23.已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
(1)試求k的取值范圍;
(2)若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2,是否存在實(shí)數(shù)k,滿足+=﹣2,若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.
24.已知:如圖所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng).當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn),則同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).
(1)如果P,Q分別從A,B同時(shí)出發(fā),那么幾秒后,△PBQ的面積等于4cm2?
(2)如果P,Q分別從A,B同時(shí)出發(fā),那么幾秒后,PQ的長度等于cm?
(3)△PQB的面積能否等于7cm2?請說明理由.
25.已知平行四邊形ABCD的兩鄰邊AB,AD的長是關(guān)于x的方程x2﹣mx+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
(1)若AB=2,那么平行四邊形ABCD的周長是多少?
(2)當(dāng)m為何值時(shí),平行四邊形ABCD是菱形?求出這時(shí)菱形的邊長.
26.扶貧工作小組對果農(nóng)進(jìn)行精準(zhǔn)扶貧,幫助果農(nóng)將一種有機(jī)生態(tài)水果拓寬了市場,與去年相比,今年這種水果的產(chǎn)量增加了25%,每千克的平均批發(fā)價(jià)降低了1元,批發(fā)銷售總額增加了20%.
(1)已知去年這種水果批發(fā)銷售總額為10萬元.求這種水果今年每千克的平均批發(fā)價(jià)是多少元?
(2)今年某水果店從果農(nóng)處直接批發(fā),專營這種水果,調(diào)查發(fā)現(xiàn),若每千克的平均銷售價(jià)為41元,則每天可售出300千克;若每千克的平均銷售價(jià)每降低3元,每天可多賣出180千克,當(dāng)水果店一天的利潤為7260元時(shí),求這種水果的平均售價(jià).(計(jì)算利潤時(shí),其它費(fèi)用忽略不計(jì))
27.某電腦銷售店電腦原價(jià)為每臺(tái)5000元,元旦期間開展了促銷活動(dòng),將原價(jià)經(jīng)過兩次下調(diào)后,促銷價(jià)為每臺(tái)4050元.
(1)求平均每次下調(diào)的百分率;
(2)某校計(jì)劃以促銷價(jià)購買100臺(tái)電腦.該店還給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇:①打9.8折銷售;②不打折,送12個(gè)月的免費(fèi)保修費(fèi),免費(fèi)保修費(fèi)為每臺(tái)每月10元.請問哪種方案更優(yōu)惠?
參考答案
1.解:①3x2+x=20,④x2﹣3x=4,⑤x2﹣+3=0符合一元二次方程的定義;
②2x2﹣3xy+4=0中含有兩個(gè)未知數(shù),不是一元二次方程;
③x2﹣=4不是整式方程,不符合一元二次方程的定義,不是一元二次方程;
綜上所述,一元二次方程共有3個(gè).
故選:B.
2.解:把x=1代入方程得:1﹣k﹣2=0,解得:k=﹣1,故選:B.
3.解:∵關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣3=0有一個(gè)根為﹣1,∴(﹣1)2+k×(﹣1)﹣3=0,解得,k=﹣2,故選:C.
4.解:∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+6=0(a≠0)的一個(gè)解是x=1,∴a+b+6=0,∴a+b=﹣6,∴2021﹣a﹣b=2021﹣(a+b)=2021﹣(﹣6)=2021+6=2027,故選:C.
5.解:設(shè)這種藥品平均每次降價(jià)的百分率是x,由題意得250(1﹣x)2=160,解得x=1.8(不合題意,舍去),x=0.2,則這種藥品平均每次降價(jià)的百分率是20%.
故選:C.
6.解:∵關(guān)于x的一元二次方程(k+1)x2﹣2x+1=0有實(shí)數(shù)根,∴,解得:k≤0且k≠﹣1.
故選:B.
7.解:∵關(guān)于x的方程mx2﹣2x﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,∴m≠0且△=(﹣2)2﹣4?m?(﹣1)>0,解得m>﹣2且m≠0,關(guān)于x的方程去分母得﹣1﹣2(x﹣2)=(1﹣mx),解得x=﹣,∵關(guān)于x的方程有正數(shù)解,∴﹣>0且﹣≠2,解得m<2且m≠1,∴a的范圍為﹣2<m<2且m≠0,m≠1,∴符合條件的整數(shù)m的值是﹣1.
故選:A.
8.解:∵關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2x+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,∴△=0,即(﹣2)2﹣4a×2=0,解得,a=,原方程可化為x2﹣2x+2=0,整理得,x2﹣4x+4=0,解得x1=x2=2,故選:C.
9.解:設(shè)該小道的寬為x米,依題意得
(20﹣2x)(15﹣x)=252,整理得x2﹣25x+24=0,即:(x﹣24)(x﹣1)=0,解得x1=24(舍去),x2=1.
即:該小道的寬為1米.
故選:B.
10.解:∵(9x﹣1)2=1,∴9x﹣1=1或9x﹣1=﹣1,解得x1=0,x2=,故選:C.
11.解:mx2﹣2x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,當(dāng)m=0時(shí),方程化為﹣3x+2=0,解得:x=,不合題意;
故m≠0,則有b2﹣4ac=9﹣4m×2≥0,解得:m≤,則m的取值范圍是m≤1且m≠0.
故答案為:m≤且m≠0.
12.解:∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣1=0的根,∴x1+x2=3,x12﹣3x1﹣1=0,∴x12﹣3x1=1,∴x12﹣2x1+x2=x12﹣3x1+x1+x2=1+3=4.
故答案為:4.
13.解:∵a是方程x2+x﹣1=0的一個(gè)根,∴a2﹣a﹣1=0,整理得,a2﹣a=1,∴﹣2a2﹣2a+2021=﹣2(a2﹣a)+2021=﹣2×1+2021=2019.
故答案是:2019.
14.解:∵α,β方程x2+2x﹣5=0的兩根,∴α2+2α﹣5=0,α+β=﹣2,∴α2+2α=5,∴α2+3α+β=α2+2α+α+β=5﹣2=3.
故答案為:3.
15.解:設(shè)它們的相同根為t,根據(jù)題意得t2+t+k=0①,t2+kt+1=0②,②﹣①得(k﹣1)t=k﹣1,∵t有且只有一個(gè)值,∴k﹣1≠0,∴t=1,把t=1代入①得1+1+k=0,∴k=﹣2.
故答案為﹣2.
16.解:∵x2﹣8x+12=0,∴(x﹣2)(x﹣6)=0,∴x1=2,x2=6.
∵三角形是等腰三角形,必須滿足三角形三邊的關(guān)系,∴腰長是6,底邊是2,周長為:6+6+2=14,故答案為:14.
17.解:當(dāng)a=b時(shí),由a2﹣8a+5=0解得a=4±,∴a+b=8±2;
當(dāng)a≠b時(shí),a、b可看作方程x2﹣8x+5=0的兩根,∴a+b=8.
故答案為8或8±2.
18.解:∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+2k=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,∴△=(2k+1)2﹣4(k2+2k)≥0,解得k≤,由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2k+1,x1x2=k2+2k,∵x1x2﹣x12﹣x22=﹣16.
∴x1x2﹣[(x1+x2)2﹣2x1x2]=﹣16,即﹣(x1+x2)2+3x1?x2=﹣16,∴﹣(2k+1)2+3(k2+2k)=﹣16,整理得k2﹣2k﹣15=0,解得k1=5(舍去),k2=﹣3.
∴k=﹣3,故答案為﹣3.
19.解:∵方程a(x+m)2+b=0的解是x1=﹣2,x2=1,∴方程a(x+m+2)2+b=0的兩個(gè)解是x3=﹣2﹣2=﹣4,x4=1﹣2=﹣1,故答案為:x3=﹣4,x4=﹣1.
20.解:移項(xiàng),得x2﹣6x=﹣5,配方得,x2﹣6x+9=﹣5+9,(x﹣3)2=4.
故答案為:(x﹣3)2=4.
21.解:(x+2)2﹣x﹣2=0,(x+2)(x+2﹣1)=0,x+2=0或x+2﹣1=0,∴x1=﹣2,x2=﹣1.
22.解:(1)已知方程整理為x2﹣2mx+m2﹣m=0是一元二次方程
∵△=4m2﹣4(m2﹣m)=4m≥0,∴m≥0.即m的取值范圍是m≥0;
(2)設(shè)方程兩實(shí)根為x1,x2,則x1+x2=2m,x1x2=m2﹣m,由x12+x22=12,得(x1+x2)2﹣2x1x2=12,∴4m2﹣2(m2﹣m)=12,整理,得m2+m﹣6=0,解得m=2或m=﹣3,∵m≥0,∴m=2.
23.解:(1)∵此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
∴△≥0即△=(﹣2k)2﹣4×1×(k2+k+1)=﹣4k﹣4≥0,∴k≤﹣1;
(2)存在,∵x1+x2=2k,∴,∴k1=k2=﹣1符合題意,即k=﹣1.
24.解:(1)設(shè)經(jīng)過x秒以后,△PBQ面積為4cm2(0<x≤3.5)此時(shí)AP=xcm,BP=(5﹣x)cm,BQ=2xcm,由,得,整理得:x2﹣5x+4=0,解得:x=1或x=4(舍);
答:1秒后△PBQ的面積等于4cm2;
(2)設(shè)經(jīng)過t秒后,PQ的長度等于,由PQ2=BP2+BQ2,即40=(5﹣t)2+(2t)2,解得:t=﹣1(舍去)或3.
則3秒后,PQ的長度為;
(3)假設(shè)經(jīng)過t秒后,△PBQ的面積等于7cm2,即,整理得:t2﹣5t+7=0,由于b2﹣4ac=25﹣28=﹣3<0,則原方程沒有實(shí)數(shù)根,所以△PQB的面積不能等于7cm2.
25.解:(1)當(dāng)x=2時(shí),4﹣2m+2=0,解得:m=3,∴x2﹣3x+2=0,解得:x1=2,x2=1,∴平行四邊形的周長為2×(1+2)=6;
(2)∵當(dāng)AB=AD時(shí),平行四邊形ABCD是菱形,即:△=0,∴m2﹣4×2=0,解得:,又∵AB+AD=m>0,∴,∴方程為x2﹣2x+2=0,解得,x1=x2=,∴菱形的邊長為.
26.解:(1)設(shè)這種水果今年每千克的平均批發(fā)價(jià)是x元,則這種水果去年每千克的平均批發(fā)價(jià)是(x+1)元,依題意得:(1+20%)(x+1)=(1+25%)x,解得:x=24.
答:這種水果今年每千克的平均批發(fā)價(jià)是24元.
(2)設(shè)每千克的平均銷售價(jià)降低了y元,則每千克的平均利潤為41﹣y﹣24=(17﹣y)元,每天的銷售量為300+=(300+60y)千克,依題意得:(17﹣y)(300+60y)=7260,整理得:y2﹣12y+36=0,解得:y1=y(tǒng)2=6,∴41﹣y=35(元).
答:這種水果的平均售價(jià)為35元.
27.解:(1)設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x,依題意得:5000(1﹣x)2=4050,解得:x1=0.1=10%,x2=1.9(不合題意,舍去).
答:平均每次降價(jià)的百分率為10%.
(2)選擇方案①所需費(fèi)用為4050×100×0.98=396900(元);
選擇方案②所需費(fèi)用為4050×100﹣100×10×12=393000(元).
∵396900元>393000元,∴方案②更優(yōu)惠.