2013年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)第五講：分式

【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】

一、分式的概念

若A，B表示兩個(gè)整式，且B中含有

那么式子

就叫做公式

【趙老師提醒：①：若

則分式無(wú)意義

②：若分式=0，則應(yīng)

且

】

二、分式的基本性質(zhì)

分式的分子分母都乘以（或除以）同一個(gè)的整式，分式的值不變。

1、=

=

（m≠0）

2、分式的變號(hào)法則=

3、約分：根據(jù)

把一個(gè)分式分子和分母的約去叫做分式的約分。

約分的關(guān)鍵是確保分式的分子和分母中的約分的結(jié)果必須是

分式

4、通分：根據(jù)

把幾個(gè)異分母的分式化為

分母分式的過(guò)程叫做分式的通分

通分的關(guān)鍵是確定各分母的【趙老師提醒：①最簡(jiǎn)分式是指

②

約分時(shí)確定公因式的方法：當(dāng)分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，公因式應(yīng)取系數(shù)的應(yīng)用字母的當(dāng)分母、分母是多項(xiàng)式時(shí)應(yīng)先

再進(jìn)行約分

③通分時(shí)確定最簡(jiǎn)公分母的方法，取各分母系數(shù)的相同字母

分母中有多項(xiàng)式時(shí)仍然要先

通分中有整式的應(yīng)將整式看成是分母為的式子

④約分通分時(shí)一定注意“都”和“同時(shí)”避免漏乘和漏除項(xiàng)】

三、分式的運(yùn)算：

1、分式的乘除

①分式的乘法：.=

②分式的除法：=

=

2、分式的加減

①用分母分式相加減：±=

②異分母分式相加減：±=

=

【趙老師提醒：①分式乘除運(yùn)算時(shí)一般都化為

法來(lái)做，其實(shí)質(zhì)是的過(guò)程

②異分母分式加減過(guò)程的關(guān)鍵是

】

3、分式的乘方：應(yīng)把分子分母各自乘方：即()m

=

1、分式的混合運(yùn)算：應(yīng)先算

再算

最后算

有括號(hào)的先算括號(hào)里面的。

2、分式求值：①先化簡(jiǎn)，再求值。

②由值的形式直接化成所求整式的值

③式中字母表示的數(shù)隱含在方程的題目條件中

【趙老師提醒：①實(shí)數(shù)的各種運(yùn)算律也符合公式

②分式運(yùn)算的結(jié)果，一定要化成③分式求值不管哪種情況必須先

此類題目解決過(guò)程中要注意整體代入

】

【重點(diǎn)考點(diǎn)例析】

考點(diǎn)一：分式有意義的條件

例1

（2012?宜昌）若分式有意義，則a的取值范圍是（）

A．a(chǎn)=0

B．a(chǎn)=1

C．a(chǎn)≠-1

D．a(chǎn)≠0

思路分析：根據(jù)分母不等于0列式即可得解．

解：∵分式有意義，∴a+1≠0，∴a≠-1．

故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分式有意義的條件，從以下三個(gè)方面透徹理解分式的概念：

（1）分式無(wú)意義?分母為零；

（2）分式有意義?分母不為零；

（3）分式值為零?分子為零且分母不為零．

對(duì)應(yīng)訓(xùn)練

1．（2012?湖州）要使分式有意義，x的取值范圍滿足（）

A．x=0

B．x≠0

C．x＞0

D．x＜0

1．B

考點(diǎn)二：分式的基本性質(zhì)運(yùn)用

例2

（2012?杭州）化簡(jiǎn)得

；當(dāng)m=-1時(shí)，原式的值為

．

思路分析：先把分式的分子和分母分解因式得出，約分后得出，把m=-1代入上式即可求出答案．

解：

=

=。

當(dāng)m=-1時(shí)，原式==1，故答案為：，1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了分式的約分，關(guān)鍵是找出分式的分子和分母的公因式，題目比較典型，難度適中．

對(duì)應(yīng)訓(xùn)練

2．（2011?遂寧）下列分式是最簡(jiǎn)分式的（）

A．

B．

C．

D．

2．C

考點(diǎn)三：分式的化簡(jiǎn)與求值

例3

（2012?南昌）化簡(jiǎn)：．

思路分析：將分式的分子、分母因式分解為，再把分式的除法變?yōu)槌朔ㄟM(jìn)行計(jì)算即可．

解：原式=

=

=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是分式的乘除法，即分式乘除法的運(yùn)算，歸根到底是乘法的運(yùn)算，當(dāng)分子和分母是多項(xiàng)式時(shí)，一般應(yīng)先進(jìn)行因式分解，再約分．

例4

（2012?安徽）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）

A．x+1

B．x-1

C．-x

D．x

思路分析：將分母化為同分母，通分，再將分子因式分解，約分．

解：

=x，故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分式的加減運(yùn)算．分式的加減運(yùn)算中，如果是同分母分式，那么分母不變，把分子直接相加減即可；如果是異分母分式，則必須先通分，把異分母分式化為同分母分式，然后再相加減．

例5

（2012?天門）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）

A．

B．

C．

D．

思路分析：將原式括號(hào)中的兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，分子合并，同時(shí)將除式的分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)將除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，約分后即可得到最簡(jiǎn)結(jié)果．

解：

=

=

=．

故選D。

點(diǎn)評(píng)：此題考查了分式的化簡(jiǎn)混合運(yùn)算，分式的加減運(yùn)算關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找最簡(jiǎn)公分母；分式的乘除運(yùn)算關(guān)鍵是約分，約分的關(guān)鍵是找公因式，同時(shí)注意最后結(jié)果必須為最簡(jiǎn)分式．

例6

（2012?遵義）化簡(jiǎn)分式，并從-1≤x≤3中選一個(gè)你認(rèn)為合適的整數(shù)x代入求值．

思路分析：先將括號(hào)內(nèi)的分式通分，再按照分式的除法法則，將除法轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行計(jì)算．

解：原式=

=

=，由于當(dāng)x=-1或x=1時(shí)，分式的分母為0，故取x的值時(shí)，不可取x=-1或x=1，不妨取x=2，此時(shí)原式=．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，分式的加減運(yùn)算關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找最簡(jiǎn)公分母；分式的乘除運(yùn)算關(guān)鍵是約分，約分的關(guān)鍵是找公因式，約分時(shí)分式的分子分母出現(xiàn)多項(xiàng)式，應(yīng)先將多項(xiàng)式分解因式后再約分．

對(duì)應(yīng)訓(xùn)練

3．（2012?河北）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）

A．

B．

C．

D．2（x+1）

3．C

4．（2012?紹興）化簡(jiǎn)可得（）

A．

B．

C．

D．

4．B

5．（2012?泰安）化簡(jiǎn)=

．

5．m-6

6．（2012?資陽(yáng)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a是方程x2-x=6的根．

6．解：原式=

=

=

=．

∵a是方程x2-x=6的根，∴a2-a=6，∴原式=．

考點(diǎn)四：分式創(chuàng)新型題目

例7

（2012?涼山州）對(duì)于正數(shù)x，規(guī)定，例如：，則

．

思路分析：當(dāng)x=1時(shí)，；

當(dāng)x=2時(shí)，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)x=3時(shí)，當(dāng)時(shí)，…，故，…，所以，由此規(guī)律即可得出結(jié)論．

解：∵當(dāng)x=1時(shí)，；

當(dāng)x=2時(shí)，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)x=3時(shí)，當(dāng)時(shí)，…，∴，…，∴，∴．

故答案為：2011.5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是分式的加減法，根據(jù)題意得出是解答此題的關(guān)鍵．

對(duì)應(yīng)訓(xùn)練

7．（2012?臨沂）讀一讀：式子“1+2+3+4+…+100”表示從1開(kāi)始的100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，由于式子比較長(zhǎng)，書寫不方便，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們將其表示為，這里“∑”是求和符號(hào)，通過(guò)對(duì)以上材料的閱讀，計(jì)算

．

7．解：由題意得，．

故答案為：．

【聚焦山東中考】

一、選擇題

1．（2012?濰坊）計(jì)算：2-2=（）

A．

B．

C．

D．4

1．A．

2．（2012?德州）下列運(yùn)算正確的是（）

A．

B．（-3）2=-9

C．2-3=8

D．20=0

2．A

3．（2012?臨沂）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）

A．

B．

C．

D．

3．A

4．（2012?威海）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）

A．

B．

C．

D．

考點(diǎn)：

分式的加減法。810360

專題：

計(jì)算題。

分析：

先把x2﹣9因式分解得到最簡(jiǎn)公分母為（x+3）（x﹣3），然后通分得到，再把分子化簡(jiǎn)后約分即可．

解答：

解：原式=﹣

=

=

=．

故選B．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了分式的加減法：先把各分母因式分解，確定最簡(jiǎn)公分母，然后進(jìn)行通分化為同分母的分式，再把分母不變，分子相加減，然后進(jìn)行約分化為最簡(jiǎn)分式或整式．

二、填空題

5．（2012?聊城）計(jì)算：

．

5．6．（2011?泰安）化簡(jiǎn)：的結(jié)果為

．

6．x-6

三、解答題

7．（2012·濟(jì)南）化簡(jiǎn)：．

7．解：原式=

=．

8．（2012?煙臺(tái)）化簡(jiǎn)：．

8．解：原式=

=

=。

9．（2012?青島）化簡(jiǎn)：。

9．解：原式=。

10．（2012?東營(yíng)）先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式的值，其中x是不等式組的整數(shù)解．

10．解：原式==，解不等式組得2＜x＜，因?yàn)閤是整數(shù)，所以x=3，當(dāng)x=3時(shí)，原式=．

11．（2012?德州）已知：，求的值．

11．解：原式=

=，當(dāng)時(shí)，原式=．

12．（2012?萊蕪）先化簡(jiǎn)，再求值：÷，其中a=﹣3．

考點(diǎn)：

分式的化簡(jiǎn)求值。810360

專題：

計(jì)算題。

分析：

將原式被除式括號(hào)中的兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，除式分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)將除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，將a=﹣3代入化簡(jiǎn)后的式子中計(jì)算，即可得到原式的值．

解答：

解：原式=（﹣）÷

=?

=，∵a=﹣3，∴原式==﹣．

點(diǎn)評(píng)：

此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，分式的加減運(yùn)算關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找最簡(jiǎn)公分母；分式的乘除運(yùn)算關(guān)鍵是約分，約分的關(guān)鍵是找公因式，約分時(shí)，分式的分子分母出現(xiàn)多項(xiàng)式，應(yīng)將多項(xiàng)式分解因式后再約分．

【備考真題過(guò)關(guān)】

一、選擇題

1．（2012?嘉興）（-2）0等于（）

A．1

B．2

C．0

D．-2

1．A．

2．（2012?云南）下列運(yùn)算正確的是（）

A．x2?x3=6

B．3-2=-6

C．（x3）2=x5

D．40=1

2．D

3．（2012?泰州）3-1等于（）

A．3

B．

C．-3

D．

3．D

4．（2012?嘉興）若分式的值為0，則（）

A．x=-2

B．x=0

C．x=1或2

D．x=1

4．D

4．解：∵分式的值為0，∴，解得x=1．

故選D．

6．（2012?義烏市）下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（）

A．

B．

C．

D．

6．A

7．（2012?仙桃天門潛江江漢）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）

A．

B．

C．

（x+1）2

D．

（x﹣1）2

考點(diǎn)：

分式的混合運(yùn)算。810360

專題：

計(jì)算題。

分析：

將原式括號(hào)中的兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，分子合并，同時(shí)將除式的分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)將除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，約分后即可得到最簡(jiǎn)結(jié)果．

解答：

解：（1﹣）÷

=÷

=?（x+1）（x﹣1）

=（x﹣1）2．

故選D

點(diǎn)評(píng)：

此題考查了分式的化簡(jiǎn)混合運(yùn)算，分式的加減運(yùn)算關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找最簡(jiǎn)公分母；分式的乘除運(yùn)算關(guān)鍵是約分，約分的關(guān)鍵是找公因式，同時(shí)注意最后結(jié)果必須為最簡(jiǎn)分式．

8．（2012?欽州）如果把的x與y都擴(kuò)大10倍，那么這個(gè)代數(shù)式的值（）

A．不變

B．

擴(kuò)大50倍

C．

擴(kuò)大10倍

D．

縮小到原來(lái)的考點(diǎn)：

分式的基本性質(zhì)。810360

專題：

計(jì)算題。

分析：

依題意分別用10x和10y去代換原分式中的x和y，利用分式的基本性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．

解答：

解：分別用10x和10y去代換原分式中的x和y，得

==，可見(jiàn)新分式與原分式的值相等；

故選A．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了分式的基本性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是抓住分子、分母變化的倍數(shù)，解此類題首先把字母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，最終得出結(jié)論．

二、填空題

9．（2012?寧夏）當(dāng)a

時(shí)，分式有意義．

9．≠-2

10．（2012?臺(tái)州）計(jì)算的結(jié)果是

．

10．11．（2012?天津）化簡(jiǎn)的結(jié)果是

．

11．12．（2012?山西）化簡(jiǎn)的結(jié)果是

．

12．13．（2012?內(nèi)江）已知三個(gè)數(shù)x，y，z，滿足則

．

13．-4

解：∵，∴，∴，整理得，①，②，③，①+②+③得，則，∴，于是

故答案為-4．

14．（2012?鎮(zhèn)江）若，則的值為

．

考點(diǎn)：

分式的加減法。810360

專題：

計(jì)算題。

分析：

先根據(jù)分式的加法求出（m+n）2的值，再代入所求代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：

解：∵+=，∴=，∴（m+n）2=7mn，∴原式====5．

故答案為：5．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查的是分式的加減法，先根據(jù)分式的加減法則求出（m+n）2的值是解答此題的關(guān)鍵．

15．（2012?溫州）若代數(shù)式的值為零，則x=

．

考點(diǎn)：

分式的值為零的條件；解分式方程。810360

專題：

計(jì)算題。

分析：

由題意得=0，解分式方程即可得出答案．

解答：

解：由題意得，=0，解得：x=3，經(jīng)檢驗(yàn)的x=3是原方程的根．

故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：

此題考查了分式值為0的條件，屬于基礎(chǔ)題，注意分式方程需要檢驗(yàn)．

16．（2012?赤峰）化簡(jiǎn)=

．

考點(diǎn)：

分式的乘除法；因式分解-運(yùn)用公式法；約分。810360

專題：

計(jì)算題。

分析：

先把分式的分母分解因式，同時(shí)把除法變成乘法，再進(jìn)行約分即可．

解答：

解：圓式=×，=1，故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了約分，分解因式，分式的乘除法的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力，題目比較好，難度適中．

三、解答題

17．（2012?泰州）化簡(jiǎn)：．

17．解：

=

=

=

=．

18．（2012?淮安）計(jì)算：．

18．解：

=

=x-1+3x+1

=4x．

19．（2012?珠海）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x=．

19．解：原式=

=

=，當(dāng)x=

時(shí)，原式==．

21．（2012?益陽(yáng)）計(jì)算代數(shù)式的值，其中a=1，b=2，c=3．

21．解：原式=

=

=c．

當(dāng)a=1、b=2、c=3時(shí)，原式=3．

22．（2012?孝感）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．

22．解：原式=

=

=。

當(dāng)，時(shí)，原式=。

23．（2012?綏化）先化簡(jiǎn)，再求值：．其中m是方程x2+3x-1=0的根．

23．解：原式=

=

=

=；

∵m是方程x2+3x-1=0的根．

∴m2+3m-1=0，即m2+3m=1，∴原式=．

24．（2012?南京）化簡(jiǎn)代數(shù)式，并判斷當(dāng)x滿足不等式組時(shí)該代數(shù)式的符號(hào)．

24．解：

=

=

=，解不等式①，得x＜-1．

解不等式②，得x＞-2．

所以，不等式組的解集是-2＜x＜-1．

當(dāng)-2＜x＜-1時(shí)，x+1＜0，x+2＞0，所以＜0，即該代數(shù)式的符號(hào)為負(fù)號(hào)．

25．（2012?重慶）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x是不等式組的整數(shù)解．

考點(diǎn)：

分式的化簡(jiǎn)求值；一元一次不等式組的整數(shù)解。810360

專題：

計(jì)算題。

分析：

將原式括號(hào)中的第一項(xiàng)分母利用平方差公式分解因式，然后找出兩分母的最簡(jiǎn)公分母，通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，分子進(jìn)行合并整理，同時(shí)將除式的分母利用完全平方公式分解因式，然后利用除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)將除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，約分后即可得到結(jié)果，分別求出x滿足的不等式組兩個(gè)一元一次不等式的解集，找出兩解集的公共部分確定出不等式組的解集，在解集中找出整數(shù)解，即為x的值，將x的值代入化簡(jiǎn)后的式子中計(jì)算，即可得到原式的值．

解答：

解：（﹣）÷

=[﹣]?

=?

=?

=，又，由①解得：x＞﹣4，由②解得：x＜﹣2，∴不等式組的解集為﹣4＜x＜﹣2，其整數(shù)解為﹣3，當(dāng)x=﹣3時(shí)，原式==2．

點(diǎn)評(píng)：

此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，以及一元一次不等式的解法，分式的加減運(yùn)算關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找最簡(jiǎn)公分母；分式的乘除運(yùn)算關(guān)鍵是約分，約分的關(guān)鍵是找公因式，約分時(shí)分式的分子分母是多項(xiàng)式，應(yīng)先將多項(xiàng)式分解因式后再約分．

26．（2012?鐵嶺）先化簡(jiǎn)，在求值：，其中x=3tan30°+1．

考點(diǎn)：

分式的化簡(jiǎn)求值；特殊角的三角函數(shù)值。810360

專題：

計(jì)算題。

分析：

將原式除式的第一項(xiàng)分子分母同時(shí)乘以x+3，然后利用同分母分式的減法法則計(jì)算，將被除式分母利用平方差公式分解因式，除式分母利用平方差公式分解因式，分子利用完全平方公式分解因式，再利用除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)將除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，然后利用特殊角的三角函數(shù)值求出x的值，將x的值代入化簡(jiǎn)后的式子中計(jì)算，即可求出原式的值．

解答：

解：÷（﹣）

=÷[﹣]

=÷

=?

=，當(dāng)x=3tan30°+1=3×+1=+1時(shí)，原式===．

點(diǎn)評(píng)：

此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，以及特殊角的三角函數(shù)值，分式的加減運(yùn)算關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找最簡(jiǎn)公分母；分式的乘除運(yùn)算關(guān)鍵是約分，約分的關(guān)鍵是找公因式，約分時(shí)若分式的分子分母出現(xiàn)多項(xiàng)式，應(yīng)將多項(xiàng)式分解因式后再約分．

27．（2012?本溪）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x=2sin60°﹣（）﹣2．

考點(diǎn)：

分式的化簡(jiǎn)求值；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值。810360

專題：

計(jì)算題。

分析：

將原式第二項(xiàng)中被除式的分子利用完全平方公式分解因式，除式的分子利用平方差公式分解因式，然后利用除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)將除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，約分后再利用同分母分式的減法運(yùn)算計(jì)算，得到最簡(jiǎn)結(jié)果，接著利用特殊角的三角函數(shù)值及負(fù)指數(shù)公式化簡(jiǎn)，求出x的值，將x的值代入化簡(jiǎn)后的式子中計(jì)算，即可得到原式的值．

解答：

解：﹣÷

=﹣÷

=﹣?

=﹣

=﹣，當(dāng)x=2sin60°﹣（）﹣2=2×﹣4=﹣4時(shí)，原式=﹣=﹣．

點(diǎn)評(píng)：

此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，特殊角的三角函數(shù)值，以及負(fù)指數(shù)公式，分式的加減運(yùn)算關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找最簡(jiǎn)公分母；分式的乘除運(yùn)算關(guān)鍵是約分，約分的關(guān)鍵是找公因式，約分時(shí)分式的分子分母出現(xiàn)多項(xiàng)式，應(yīng)將多項(xiàng)式分解因式后再約分．

28．（2012?北京）已知，求代數(shù)式的值．

考點(diǎn)：

分式的化簡(jiǎn)求值。810360

專題：

計(jì)算題。

分析：

將所求式子第一個(gè)因式的分母利用平方差公式分解因式，約分后得到最簡(jiǎn)結(jié)果，然后由已知的等式用b表示出a，將表示出的a代入化簡(jiǎn)后的式子中計(jì)算，即可得到所求式子的值．

解答：

解：?（a﹣2b）

=?（a﹣2b）

=，∵=≠0，∴a=b，∴原式====．

點(diǎn)評(píng)：

此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，分式的加減運(yùn)算關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找最簡(jiǎn)公分母；分式的乘除運(yùn)算關(guān)鍵是約分，約分的關(guān)鍵是找公因式，約分時(shí)分式的分子分母出現(xiàn)多項(xiàng)式，應(yīng)將多項(xiàng)式分解因式后再約分．