2019-2020學(xué)年吉林省長春市德惠市實驗中學(xué)、前郭五中等九校高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1．已知集合，,則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】首先求集合，然后求.【詳解】

解得或，或，.故選:D.【點睛】

本題考查集合的交集，屬于簡單題型.2．下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】逐一分析選項，比較函數(shù)的三個要素，得到正確結(jié)果.【詳解】

A.的定義域是，的定義域是，兩個函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù).B.的定義域是，解得，定義域,的定義域是，解得或，即或，兩個函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)；

C.兩個函數(shù)的定義域相同，并且，兩個函數(shù)的定義域和解析式相同，是同一函數(shù)；

D.的定義域是，的定義域是，不是同一函數(shù).故選:C.【點睛】

本題考查判斷函數(shù)是否是同一函數(shù)，函數(shù)的三個要素是定義域，對應(yīng)關(guān)系，值域，當(dāng)定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，兩個函數(shù)是同一函數(shù)，若三要素有一個不同就不是同一函數(shù).3．函數(shù)的定義域為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】根據(jù)函數(shù)解析式，寫出解析式成立的條件即可求出函數(shù)定義域.【詳解】

要使函數(shù)有意義，則需：，解得或，所以函數(shù)的定義域為

故選：B

【點睛】

本題主要考查了有解析式的函數(shù)的定義域的求法，屬于中檔題.4．下列函數(shù)中，圖象關(guān)于原點對稱且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是（）.A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】逐一分析選項，得到正確結(jié)果.【詳解】

A.滿足，函數(shù)是奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)；

B.定義域是，滿足，所以函數(shù)是偶函數(shù)；

C.定義域，滿足，函數(shù)是偶函數(shù)；

D..定義域，滿足，函數(shù)是奇函數(shù)，增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)，滿足條件；

故選:D.【點睛】

本題考查函數(shù)的性質(zhì)，意在考查對函數(shù)性質(zhì)的靈活掌握，屬于基礎(chǔ)題型.5．已知函數(shù),則的值等于（）

A．2

B．1

C．3

D．9

【答案】A

【解析】是奇函數(shù)，即，而，利用函數(shù)性質(zhì)求解.【詳解】

是奇函數(shù)，即，.故選:A.【點睛】

本題考查利用函數(shù)是奇函數(shù)，求函數(shù)值，本題的關(guān)鍵是觀察，后面的問題就迎刃而解.6．已知冪函數(shù)的圖象不過原點，則的值為（）

A．0

B．-1

C．2

D．0或2

【答案】A

【解析】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)可知，得出：或，然后驗證，得到的值.【詳解】

函數(shù)是冪函數(shù)，解得：或，當(dāng)時，過原點，不滿足條件；

當(dāng)時，不過原點，滿足條件，.故選:A.【點睛】

本題考查冪函數(shù)的解析式和函數(shù)性質(zhì)，形如的函數(shù)是冪函數(shù)，熟記和時，函數(shù)的性質(zhì)和圖象是解題的關(guān)鍵，本題主要考查基礎(chǔ)知識的掌握情況.7．函數(shù)(其中)的圖象不可能是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】對于，當(dāng)時，且，故可能；對于，當(dāng)且時，當(dāng)且時，在為減函數(shù)，故可能；對于,當(dāng)且時，當(dāng)且時，在上為增函數(shù)，故可能，且不可能.故選C.點睛：函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置，從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項．

8．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】分段函數(shù)若滿足在上的單調(diào)遞減函數(shù)，需滿足每段都是單調(diào)遞減，并且在分界點處的函數(shù)值比較大小，列不等式求的取值范圍.【詳解】

若滿足分段函數(shù)是上的單調(diào)遞減函數(shù)，需滿足，解得：

即的取值范圍是.故選:C.【點睛】

本題考查已知分段函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題型，這類題型，容易忘記分界點處的函數(shù)值需比較大小，需謹(jǐn)記這點.9．當(dāng)時，則的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】首先討論和兩種情況，當(dāng)時，時，解得：，然后再分別畫圖象，當(dāng)滿足條件的時候，根據(jù)圖象求的范圍.【詳解】

當(dāng)時，，不成立，當(dāng)時，當(dāng)時，解得：，如圖，若時，時，.故選:B.【點睛】

本題考查根據(jù)恒成立的不等式求參數(shù)的取值范圍，意在考查數(shù)形結(jié)合分析和臨界條件分析問題和解決問題的能力，同時需熟練掌握底數(shù)對圖象的影響.10．已知函數(shù)，若函數(shù)的值域為，則的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】若函數(shù)的值域是，需滿足內(nèi)層函數(shù)和軸有交點，即求的取值范圍.【詳解】，若滿足函數(shù)的值域是，需滿足

和軸有交點，即

解得或，故選:B.【點睛】

本題考查根據(jù)復(fù)合函數(shù)的值域，求參數(shù)取值范圍的問題，屬于中檔題型，學(xué)習(xí)中弄清這兩個問題1.的定義域，求參數(shù)取值范圍，2.函數(shù)的值域為，求參數(shù)取值范圍.11．已知函數(shù)為偶函數(shù)，且對于任意的，都有,設(shè)，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】首先判斷函數(shù)在的單調(diào)性，然后根據(jù)偶函數(shù)化簡，然后比較2，的大小，比較的大小關(guān)系.【詳解】

若，則函數(shù)在是單調(diào)遞增函數(shù)，并且函數(shù)是偶函數(shù)滿足，即，在單調(diào)遞增，即.故選:C.【點睛】

本題考查利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，意在考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查轉(zhuǎn)化和變形能力，屬于基礎(chǔ)題型.12．已知，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】本道題將零點問題轉(zhuǎn)化成交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合思想，即可。

【詳解】

有三個零點，有一個零點，故，有兩個零點，代入的解析式，得到，構(gòu)造新函數(shù)，繪制這兩個函數(shù)的圖像，如圖可知

因而介于A,O之間，建立不等關(guān)系，解得a的范圍為，故選A。

【點睛】

本道題考查了函數(shù)零點問題，難度加大。

二、填空題

13．在對應(yīng)法則的作用下,中元素與中元素一一對應(yīng)，則與中元素對應(yīng)的中元素是____________.【答案】

【解析】首先將中的元素寫成，根據(jù)對應(yīng)關(guān)系求的值.【詳解】，那么

即與中的元素對應(yīng)的就是，故填：.【點睛】

本題考查映射求原象，重點理解對應(yīng)關(guān)系，屬于簡單題型.14．已知函數(shù)的圖象過定點P，則點P的坐標(biāo)為_______.【答案】

【解析】解析式中的指數(shù)求出的值，再代入解析式求出的值，即得到定點的坐標(biāo).【詳解】

由于函數(shù)經(jīng)過定點，令，可得，求得，故函數(shù)，則它的圖象恒過點，故答案是.【點睛】

該題考查的是有關(guān)指數(shù)型函數(shù)圖象過定點的問題，需要把握住，從而求得結(jié)果，屬于簡單題目.15．若函數(shù)且，則____________.【答案】1

【解析】首先根據(jù)兩個函數(shù)值求，再求和.【詳解】

根據(jù)條件可知，解得：，即，故填：1.【點睛】

本題考查分段函數(shù)求值，意在考查基本的計算能力，屬于簡單題型.16．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是_____________.【答案】

【解析】首先分成，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，外層函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，即，內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間

單調(diào)遞減，并且最小值大于0，即，求解的取值范圍.【詳解】，若滿足函數(shù)在上單調(diào)遞減，只需滿足，解得.故填：.【點睛】

本題考查根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，首先分成內(nèi)外層函數(shù)，然后根據(jù)“同增異減”判斷函數(shù)的單調(diào)性.三、解答題

17．計算下列各式的值：

（1）；

（2）．

【答案】(1)(2)0

【解析】代入指數(shù)運算法則和根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的公式轉(zhuǎn)化求解；（2）代入對數(shù)運算法則求解.【詳解】

（1）原式

.（2）原式

.【點睛】

本題考查分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和對數(shù)的運算法則，意在考查轉(zhuǎn)化和計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.18．設(shè)集合.（1）若,求.（2），求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）

【解析】（1）首先求集合和，再求；（2）首先解集合，若，再根據(jù)包含關(guān)系列不等式組，求的取值范圍.【詳解】

解：（1）當(dāng)m=5,(2)

?。┝?，無解

ⅱ）

【點睛】

本題考查集合的運算，以及根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，一般含有參數(shù)的不等式可以采用分解因式求不等式的解集，根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)時，1.不要忘了空集的情況，2,.一般需要借助數(shù)軸表示集合的包含關(guān)系.19．已知函數(shù)，（且）.（1）求的定義域及的定義域.（2）判斷并證明的奇偶性.【答案】（1）函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為（2）是奇函數(shù)，證明見解析

【解析】（1）首先求函數(shù)的定義域，令，解得，求的定義域，令，求定義域；（2）定義域關(guān)于原點對稱，判斷與的關(guān)系得到函數(shù)的奇偶性.【詳解】

解：（1）函數(shù)>0

函數(shù)的定義域為

函數(shù)的定義域是

（2）是奇函數(shù)

證明：函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱

（或證明）

是奇函數(shù)

【點睛】

本題考查函數(shù)的定義域，以及定義法判斷函數(shù)的奇偶性，尤其是求抽象函數(shù)的定義域，已知的定義域是，那么的定義域就是令，再解，就是定義域.20．函數(shù)和的圖像的示意圖如圖所示，兩函數(shù)的圖像在第一象限只有兩個交點

（1）請指出示意圖中曲線分別對應(yīng)哪一個函數(shù)；

（2）比較的大小，并按從小到大的順序排列；

（3）設(shè)函數(shù),則函數(shù)的兩個零點為，如果，其中為整數(shù)，指出的值，并說明理由。

【答案】（Ⅰ）C1對應(yīng)的函數(shù)為，C2對應(yīng)的函數(shù)為.（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】（Ⅰ）根據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)圖像特點進(jìn)行判斷選擇（Ⅱ）根據(jù)計算結(jié)果比較大?。á螅└鶕?jù)零點存在定理求解.【詳解】

解：（Ⅰ）C1對應(yīng)的函數(shù)為，C2對應(yīng)的函數(shù)為.（Ⅱ）

所以從小到大依次為。

（Ⅲ）計算得

理由如下：

令，由于，則函數(shù)的兩個零點

因此整數(shù)

【點睛】

本題考查指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)圖像特點以及零點存在定理應(yīng)用，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.21．已知函數(shù),（1）求函數(shù)的值域.（2）設(shè),求的最值及相應(yīng)的的值.【答案】（1）（2）當(dāng)x=1時，有最大值0；當(dāng)x=2時，有最小值-1

【解析】（1）利用函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，直接求值域；（2）求函數(shù)，再換元，設(shè)，，求二次函數(shù)的最值.【詳解】

解：（1）的值域是

（2）的定義域為，的定義域為，設(shè)當(dāng)

當(dāng)=0即x=1時，有最大值0

當(dāng)=1即x=2時，有最小值-1

綜上:當(dāng)x=1時，有最大值0；當(dāng)x=2時，有最小值-1

【點睛】

本題考查對數(shù)函數(shù)根據(jù)單調(diào)性求最值，以及換元法求二次函數(shù)的最值，本題有一個易錯點是函數(shù)的定義域和的定義域不相同，的定義域應(yīng)是.22．已知函數(shù)．

求方程的實根；

若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)m的最大值．

【答案】（1）x=0；（2）4

【解析】(1)由題得,再解即得.(2)先化簡得，再利用基本不等式求右邊函數(shù)的最小值即得解.【詳解】

（1）

(2)由條件知

所以

而.當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=,即f(x)=2,x=0時取得最小值.所以,所以實數(shù)m的最大值為4.【點睛】

(1)本題主要考查指數(shù)方程的解法，考查不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理轉(zhuǎn)化能力.(2)處理參數(shù)問題常用的方法有分離參數(shù)和分類討論.本題利用的是分離參數(shù)法.