2019-2020學(xué)年市中學(xué)高一上學(xué)期十月考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1．下列四個(gè)命題中，為真命題的是（）

A.若，則

B.若，則

C.若，則

D.若，則

【答案】A

【解析】利用不等式的性質(zhì)依次判斷即可.【詳解】

對于選項(xiàng)A,由及“同向同正可乘性”，可得；對于選項(xiàng)B，令則，顯然不成立；對于選項(xiàng)C，若，顯然不成立；對于選項(xiàng)D,若，顯然不成立.故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.2．錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的（）

A.充分條件

B.必要條件

C.充分必要條件

D.既非充分也非必要條件

【答案】B

【解析】根據(jù)等價(jià)命題，便宜T沒好貨，等價(jià)于，好貨T不便宜，故選B．

【考點(diǎn)定位】考查充分必要性的判斷以及邏輯思維能力，屬中檔題。

3．設(shè)、是非空集合，定義且，若，則等于（）

A.B.C.D.【答案】A

【解析】解出集合，利用交集和補(bǔ)集的定義得出集合和，然后利用題中的定義可得出集合.【詳解】

解不等式，即，解得，則集合.所以，，根據(jù)集合的定義可得.故選：A.【點(diǎn)睛】

本題考查集合的新定義運(yùn)算，同時(shí)也考查了一元二次不等式的解法、交集與補(bǔ)集的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.4．設(shè)集合，,，其中、，下列說法正確的是（）

A.對任意，是的子集；對任意，不是的子集

B.對任意，是的子集；存在，使得是的子集

C.存在，使得是的子集；對任意，不是的子集

D.存在，使得是的子集；存在，使得是的子集

【答案】B

【解析】利用集合子集的概念，任取，可推出，可得對任意的實(shí)數(shù)，；再由，求得、，即可判斷出選項(xiàng)B正確，A、C、D錯(cuò)誤.【詳解】

對于集合，任取，則，所以，對任意，是的子集；

當(dāng)時(shí)，，可得；

當(dāng)時(shí)，，可得不是的子集.所以，存在，使得是的子集.故選：B.【點(diǎn)睛】

本題考查集合包含關(guān)系的判斷，同時(shí)也考查了一元二次不等式的解法，以及任意性和存在性問題的解法，考查推理能力，屬于中等題.二、填空題

5．設(shè)集合，集合，若，則__________．

【答案】

【解析】由題意得出，由此可解出實(shí)數(shù)的值.【詳解】，且，，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】

本題考查利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)，在處理有限集的問題時(shí)，還應(yīng)注意集合的元素應(yīng)滿足互異性，考查計(jì)算能力，屬于中等題.6．用描述法表示所有被除余的整數(shù)組成的集合：_________．

【答案】

【解析】利用描述法和整除性質(zhì)即可得出.【詳解】

由題意知，所有被除余的整數(shù)組成的集合為.故答案為：.【點(diǎn)睛】

本題考查描述法、數(shù)的整除性質(zhì)，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.7．設(shè)集合，則__________．

【答案】

【解析】解方程組，求出公共解，即可得出集合.【詳解】

解方程組，得，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】

本題考查集合交集的計(jì)算，同時(shí)也考查了二元一次方程組的求解，在表示集合時(shí)要注意集合元素的類型，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8．不等式的解集是_________．

【答案】

【解析】將原不等式變形為，解出該不等式即可.【詳解】

由，移項(xiàng)得，即，解得或.因此，不等式的解集是.故答案為：.【點(diǎn)睛】

本題考查分式不等式的求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9．已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為__________．

【答案】

【解析】分析：不等式的解集為，則方程的根為，利用韋達(dá)定理求參數(shù)，再解不等式即可。

詳解：不等式的解集為，則方程的根為，由韋達(dá)定理可知：，所以不等式為，所以解集為

點(diǎn)睛：二次函數(shù)，二次方程，一元二次不等式三個(gè)二次的相互轉(zhuǎn)換是解決一元二次不等式

問題的常用方法。

10．設(shè)、，集合，則__________．

【答案】

【解析】根據(jù)題意得出，則，則有，可得出，由此得出，然后求出實(shí)數(shù)、的值，于是可得出的值.【詳解】，由于有意義，則，則有，所以，.根據(jù)題意有，解得，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】

本題考查利用集合相等求參數(shù)的值，解題的關(guān)鍵就是根據(jù)題意列出方程組求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.11．設(shè)全集，若，，則__________．

【答案】

【解析】作出韋恩圖，將全集中的各元素放置在合適的區(qū)域內(nèi)，得出集合和集合，再根據(jù)交集的定義可得出集合.【詳解】

全集，作出韋恩圖如下圖所示：

由圖形可知集合，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】

本題考查集合的混合運(yùn)算，同時(shí)也考查了韋恩圖法的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.12．下列說法中：

①“若，則”的否命題是“若，則”；

②“”是“”的必要非充分條件；

③“”是“或”的充分非必要條件；

④“”是“且”的充要條件.其中正確的序號(hào)為__________．

【答案】③

【解析】根據(jù)否命題與原命題的關(guān)系可判斷命題①的正誤；解方程，根據(jù)充分必要性可判斷出命題②的正誤；由命題“若，則或”的逆否命題為“若且，則”得出“”是“或”的充分必要性與“且”是“”的充分必要性相同，從而判斷命題③的正誤；利用舉反例和邏輯推理來判斷命題④的正誤.【詳解】

對于命題①，“若，則”的否命題是“若，則”，命題①錯(cuò)誤；

對于命題②，解方程，得或，所以，“”是“”的充分非必要條件，命題②錯(cuò)誤；

對于命題③，由于命題“若，則或”的逆否命題為“若且，則”，可知，“”是“或”的充分必要性與“且”是“”的充分必要性相同，“且”“”，取，則，所以，“”“且”，則“且”是“”的充分非必要條件，所以，“”是“或”的充分非必要條件，命題③正確；

對于命題④，取，則滿足，但“”“且”，由不等式性質(zhì)可知，當(dāng)且，有，則“且”“”.所以，“”“且”必要非充分條件，命題④錯(cuò)誤.故答案為：③.【點(diǎn)睛】

本題考查四種命題以及充分必要性的判斷，常利用舉反例和邏輯推理進(jìn)行推導(dǎo)，考查推理論證能力，屬于中等題.13．已知集合，則m的取值范圍為______．

【答案】

【解析】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，可知符合題意；當(dāng)時(shí)，由恒成立可得；當(dāng)時(shí)，不可能在實(shí)數(shù)集上恒成立，由此可得結(jié)果.【詳解】

當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意

當(dāng)時(shí)，解得：

當(dāng)時(shí)，集合不可能為

綜上所述：

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題的求解，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略二次項(xiàng)系數(shù)是否為零的討論，造成求解錯(cuò)誤.14．已知集合，且，則實(shí)數(shù)的值為_________．

【答案】或或1

【解析】解方程得，因?yàn)?，所以，，分別解得的值

【詳解】

由題，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，無解，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上所述，的值為或或

【點(diǎn)睛】

由集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，常根據(jù)集合包含關(guān)系的意義，建立方程求解，此時(shí)應(yīng)注意分類討論思想的運(yùn)用

15．集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．

【答案】

【解析】由，結(jié)合題意得出關(guān)于的方程有負(fù)根，分和，在的前提下，分二次方程有兩個(gè)相等的負(fù)根、兩根一正一負(fù)以及兩個(gè)負(fù)根進(jìn)行分類討論，可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，，則關(guān)于的方程有負(fù)根.（1）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，原方程為，不成立；

（2）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，設(shè)該方程的兩個(gè)實(shí)根分別為、.①若該方程有兩個(gè)相等的負(fù)根，則，可得，此時(shí)方程為，即為，解得，合乎題意；

②若該方程的兩根一正一負(fù)時(shí)，則有，解得；

③當(dāng)該方程有兩個(gè)負(fù)根時(shí)，則有，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】

本題考查二次方程根的分布問題，解題時(shí)要結(jié)合判別式、兩根之和與積的符號(hào)來進(jìn)行分析，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.16．若集合,集合，且，記為中元素的最大值與最小值之和，則對所有的，的平均值是__________．

【答案】

【解析】先歸納出集合時(shí)，集合且時(shí)，的平均值，然后令可得出的平均值.【詳解】

先考慮集合時(shí)，集合且時(shí)，的平均值.，則，此時(shí)，的平均值為；，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，的平均值為；，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，的平均值為；

依此類推，對于集合，的平均值為.由于，所以，.故答案為：.【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的新定義，同時(shí)也考查了歸納推理，解題的關(guān)鍵就是利用歸納推理得出的表達(dá)式，考查推理論證能力，屬于難題.三、解答題

17．已知集合，若，求的值.【答案】、或

【解析】解出集合，由得出，然后分和兩種情況討論，在時(shí)，可得出或，由此可得出實(shí)數(shù)的值.【詳解】

解方程，解得或，則集合.，則.當(dāng)時(shí)，合乎題意；

當(dāng)時(shí)，，或，解得或.因此，實(shí)數(shù)的取值有、或.【點(diǎn)睛】

本題考查利用集合的包含關(guān)系求出參數(shù)，同時(shí)也考查了一元二次方程的求解，解題的關(guān)鍵就是對變系數(shù)的一次方程進(jìn)行分類討論，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.18．設(shè)、且，比較兩數(shù)與的大小.【答案】見解析

【解析】將兩個(gè)代數(shù)式作差，因式分解，然后對各因式的符號(hào)進(jìn)行判斷，可得出兩數(shù)與的大小關(guān)系.【詳解】

.，.①當(dāng)時(shí)，此時(shí)，；

②當(dāng)時(shí)，此時(shí)，；

③當(dāng)時(shí)，此時(shí)，.【點(diǎn)睛】

本題考查利用作差法比較兩數(shù)的大小，在作差后依次因式分解、討論符號(hào)，然后可判斷出兩數(shù)的大小關(guān)系，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.19．已知集合，集合，.求：（1）；

（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出集合、，利用交集的定義可得出集合；

（2）求出集合，利用并集的定義得出集合，再利用補(bǔ)集的定義可得出集合.【詳解】

（1），因此，；

（2），由不等式的性質(zhì)可得，則集合，因此，.【點(diǎn)睛】

本題考查集合交集、并集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算，同時(shí)也考查了函數(shù)定義域、值域的求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.20．若關(guān)于的不等式的解集為，的解集為.（1）試求和；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求的范圍；若不存在，說明理由.【答案】（1），；（2）存在，.【解析】（1）將不等式變形為，然后對和的大小進(jìn)行分類討論，解出該不等式可得出集合，將不等式變形為，解出該不等式可得出集合；

（2）對和的大小進(jìn)行分類討論，結(jié)合列出關(guān)于的不等式，解出即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】

（1）不等式即為.①當(dāng)時(shí)，原不等式即為，解該不等式得，此時(shí)；

②當(dāng)時(shí)，解該不等式得或，此時(shí)；

③當(dāng)時(shí)，解該不等式得或，此時(shí).不等式即為，解得，此時(shí)，；

（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)成立；

當(dāng)時(shí)，，要使得，則有，解得，此時(shí)；

當(dāng)時(shí)，，則，要使得，則，這與矛盾.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.因此，存在實(shí)數(shù)，使得.【點(diǎn)睛】

本題考查一元二次不等式與分式不等式的求解，同時(shí)也考查了利用集合的并集運(yùn)算求參數(shù)，解題時(shí)要注意對參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.21．對在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)的任意兩點(diǎn)，作如下定義:,那么稱點(diǎn)是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”，同時(shí)點(diǎn)是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”.（1）試寫出點(diǎn)的一個(gè)“上位點(diǎn)”坐標(biāo)和一個(gè)“下位點(diǎn)”坐標(biāo)；

（2）設(shè)、、、均為正數(shù)，且點(diǎn)是點(diǎn)的上位點(diǎn)，請判斷點(diǎn)是否既是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”又是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”，如果是請證明，如果不是請說明理由；

（3）設(shè)正整數(shù)滿足以下條件：對任意實(shí)數(shù)，總存在，使得點(diǎn)既是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”，又是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”，求正整數(shù)的最小值.【答案】（1）“上位點(diǎn)”，“下位點(diǎn)”；（2）是，證明見解析；（3）.【解析】（1）由已知中“上位點(diǎn)”和“下位點(diǎn)”的定義，可得出點(diǎn)的一個(gè)“上位點(diǎn)”的坐標(biāo)為，一個(gè)“下位點(diǎn)”的坐標(biāo)為；

（2）由點(diǎn)是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”得出，然后利用作差法得出與、的大小關(guān)系，結(jié)合“下位點(diǎn)”和“上位點(diǎn)”的定義可得出結(jié)論；

（3）結(jié)合（2）中的結(jié)論，可得，滿足條件，再說明當(dāng)時(shí)，不成立，可得出的最小值為.【詳解】

（1）對于平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)的任意兩點(diǎn)作如下定義：，那么稱點(diǎn)是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”，同時(shí)點(diǎn)是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”.點(diǎn)的一個(gè)“上位點(diǎn)”的坐標(biāo)為，一個(gè)“下位點(diǎn)”的坐標(biāo)為；

（2）點(diǎn)是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”，.，點(diǎn)是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”，點(diǎn)是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”；

（3）若正整數(shù)滿足條件：在時(shí)恒成立.由（2）中的結(jié)論可知，時(shí)滿足條件.若，由于，則不成立.因此，的最小值為.【點(diǎn)睛】

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是新定義“上位點(diǎn)”和“下位點(diǎn)”，同時(shí)也考查了利用作差法比較兩數(shù)的大小關(guān)系，解題的關(guān)鍵就是對題中新定義的理解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于難題.