2018-2019學(xué)年市中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1．如果那么是成立的（）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】【考點(diǎn)】充要條件．

分析：由已知中x，y∈R，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，分別討論“xy＞0”?“|x+y|=|x|+|y|”，與“|x+y|=|x|+|y|”?“xy＞0”，的真假，然后根據(jù)充要條件的定義，即可得到答案．

解答：解：若“xy＞0”，則x，y同號(hào)，則“|x+y|=|x|+|y|”成立

即“xy＞0”是“|x+y|=|x|+|y|”成立的充分條件

但“|x+y|=|x|+|y|”成立時(shí)，x，y不異號(hào)，“xy≥0”，“xy＞0”不一定成立，即“xy＞0”是“|x+y|=|x|+|y|”成立的不必要條件

即“xy＞0”是“|x+y|=|x|+|y|”成立的充分不必要條件

故選A

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是充要條件，其中根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，判斷“xy＞0”?“|x+y|=|x|+|y|”，與“|x+y|=|x|+|y|”?“xy＞0”的真假，是解答本題的關(guān)鍵．

2．若,全集,，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】題目給出了,且題中含有,等式子,可利用均值不等式求解.根據(jù)均值不等可得,結(jié)合交集與補(bǔ)集的定義即可得出答案.【詳解】

則:

故選:A.【點(diǎn)睛】

本題考查了集合之間的基本運(yùn)算以及基本不等式的知識(shí),解答本題的關(guān)鍵在于明確基本不等式的內(nèi)容.3．下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)，并且在上是增函數(shù)的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根據(jù)奇函數(shù)滿足,偶函數(shù)滿足.逐個(gè)選項(xiàng)判斷其奇偶性和單調(diào)性即可得出答案.【詳解】

對(duì)于A,函數(shù)為二次函數(shù),圖像為拋物線,開(kāi)口向下,對(duì)稱軸為:

函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,故A不正確;

對(duì)于B,函數(shù)的定義域?yàn)?定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,令,滿足,函數(shù)為奇函數(shù),故B不正確;

對(duì)于C,函數(shù)的定義域?yàn)?定義域原點(diǎn)對(duì)稱,令,所以為偶函數(shù),故C不正確;

對(duì)于D,函數(shù)的定義域?yàn)?定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,令

函數(shù)為非奇非偶函數(shù),且在上是單調(diào)遞增,滿足題意,故D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】

本題考查奇偶性的判斷,考查了函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.4．已知，則等于（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】把等價(jià)轉(zhuǎn)化

即可求得進(jìn)而求得.【詳解】

設(shè)

.故選:C.【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)解析式求解.求解函數(shù)解析式常用方法有代入法,換元法以及構(gòu)造方程組法.二、填空題

5．用描述法表示被7除余2的正整數(shù)的集合為_(kāi)_________

【答案】

【解析】設(shè)被7除余2的正整數(shù)為,即,用描述法寫(xiě)成集合形式,即可得到答案.【詳解】

設(shè)該數(shù)為,則該數(shù)滿足,所求的正整數(shù)集合為

故答案為:.【點(diǎn)睛】

本題考查了用描述法表示集合,掌握集合的表示方法是解題關(guān)鍵.6．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________

【答案】

【解析】根據(jù)偶次根式下被開(kāi)方數(shù)非負(fù),分?jǐn)?shù)分母不為零,列出關(guān)于的不等式組,即可求出函數(shù)的定義域.【詳解】

由題意可得:

所以函數(shù)的定義域?yàn)?且

即:

故答案為:

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)的定義域的求解,要求能夠熟練掌握常見(jiàn)函數(shù)成立條件.7．若函數(shù),，則_____________

【答案】()

【解析】將函數(shù)，代入即可求得答案.【詳解】

函數(shù),()

故答案為:().【點(diǎn)睛】

本題考查了求解函數(shù)表達(dá)式,能夠理解函數(shù)的概念是解題關(guān)鍵.8．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_____________

【答案】

【解析】解法一:

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,先任取,能保證的區(qū)間,即為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;

解法二:求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零,則函數(shù)遞增,即可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】

解法一:設(shè)的單調(diào)增區(qū)間為,任取

所以,即

在區(qū)間上具有任意性,故:

則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.解法二:由題函數(shù),故

令,解得:或

(舍去)

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

故答案為:.【點(diǎn)睛】

本題考查了求函數(shù)單調(diào)區(qū)間.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間既可以用函數(shù)單調(diào)性定義法判斷,也可以采用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解.9．已知四邊形ABCD為正方形，則其面積關(guān)于周長(zhǎng)的函數(shù)解析式為_(kāi)________

【答案】

【解析】正方形的周長(zhǎng),則邊長(zhǎng)為,即可求得的面積關(guān)于周長(zhǎng)的函數(shù)解析式.【詳解】

正方形的周長(zhǎng)為,則正方形的邊長(zhǎng)為

()

正方形的面積為:

故答案為:

()

.【點(diǎn)睛】

本題考查了實(shí)際問(wèn)題中的求解函數(shù)關(guān)系式,能夠通過(guò)周長(zhǎng)求得正方形邊長(zhǎng),是求出面積關(guān)于周長(zhǎng)解析式的關(guān)鍵.10．不等式的解集為_(kāi)_________

【答案】或?qū)懗伞窘馕觥堪言坏仁接疫叺囊祈?xiàng)到左邊,通分后變成,不等式可化為兩個(gè)不等式組,分別求出兩不等式組的解集,兩解集的并集即為原不等式的解集.【詳解】

即

可化為:

┄①或┄②

解①得:

解②得:無(wú)解.故不等式的解集為:.故答案為:或?qū)懗?

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了分式不等式的求解,屬于基礎(chǔ)試題.11．已知集合，集合，則_________

【答案】

【解析】根據(jù)集合的并集定義,即可求得.【詳解】

故答案為:

.【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的并集運(yùn)算,掌握并集的概念是解本題關(guān)鍵.12．已知集合，集合，若,則所有可能取值構(gòu)成的集合為_(kāi)_____________

【答案】

【解析】先化簡(jiǎn)集合,利用,分類討論和,即可求出構(gòu)成的集合.【詳解】

由

可得:

即:

解得或

故:

由

可得:

當(dāng)時(shí),方程無(wú)實(shí)數(shù)解,此時(shí),滿足

當(dāng)時(shí),方程的實(shí)數(shù)解為,故:

由可得:或

解得或的所有取值構(gòu)成的集合為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】

本題主要考查了集合間的基本關(guān)系以及一元二次方程的解法,要注意集合是集合的子集時(shí),集合有可能是空集.13．已知函數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的解析式為_(kāi)_________

【答案】

【解析】設(shè),則,當(dāng)時(shí),于是可求得,再利用偶函數(shù)的性質(zhì),即可求得函數(shù)的解析式.【詳解】

設(shè),則

根據(jù)偶函數(shù)

故答案為:.【點(diǎn)睛】

已知函數(shù)的奇偶性求解析式,將待求區(qū)間上的自變量,轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求出的解析式.14．已知命題的逆命題為：“已知，若則”，則的逆否命題為_(kāi)_________命題（填“真”或“假”）

【答案】假

【解析】根據(jù)命題的逆命題,寫(xiě)的其原命題.根據(jù)原命題和逆否命題真假相同,即可得出逆否命題真假.【詳解】

命題的逆命題為：“已知，若，則”

命題的原命題為：“已知，若，則”

當(dāng),滿足,但不滿足

命題的原命題為假命題.根據(jù)原命題和逆否命題真假相同的逆否命題為:假.故答案為:假.【點(diǎn)睛】

本題主要考查四個(gè)命題之間的關(guān)系與真假命題的判斷,掌握原命題和逆否命題真假相同是解本題關(guān)鍵.15．已知集合，則__________

【答案】

【解析】化簡(jiǎn)集合,求出,即可求解.【詳解】

故答案為:.【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的補(bǔ)集和交集運(yùn)算,掌握集合運(yùn)算基本知識(shí)是解題關(guān)鍵.16．當(dāng)時(shí)，給出以下結(jié)論：（1）；（2）；（3）,其中恒成立的序號(hào)為_(kāi)______________

【答案】（1）（2）

【解析】由,根據(jù)不等式的基本性質(zhì),逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可得出答案.【詳解】

對(duì)于（1）項(xiàng),由,得，則,故（1）項(xiàng)正確;

對(duì)于（2）項(xiàng),由,得,則,故（2）項(xiàng)正確;

對(duì)于（3）項(xiàng),令,滿足

則,可得:

故（3）項(xiàng)錯(cuò)誤.所以恒成立的序號(hào)為:（1）（2）.故答案為:（1）（2）.【點(diǎn)睛】

本題考查了不等式的基本性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.17．已知，則的最小值為_(kāi)____________

【答案】

【解析】根據(jù),可得,然后把整理成,進(jìn)而利用均值不等式求其最小值.【詳解】

(當(dāng)且僅當(dāng),即)的最小值為:.故答案為:

.【點(diǎn)睛】

本題考查均值不等式,構(gòu)造出均值不等式的形式是解題的關(guān)鍵,但要注意均值不等式成立條件.18．設(shè)數(shù)集，且，如果把叫做集合的長(zhǎng)度，那么集合的長(zhǎng)度的最小值與最大值的和為_(kāi)___________

【答案】

【解析】根據(jù)題意中集合長(zhǎng)度的定義,可得的長(zhǎng)度為,的長(zhǎng)度為.當(dāng)集合的長(zhǎng)度為最小值時(shí),即重合部分最少時(shí),與應(yīng)分別在區(qū)間的左右兩端,當(dāng)集合的長(zhǎng)度為最大值時(shí),即重合部分最多時(shí),與應(yīng)分別在區(qū)間的中間,進(jìn)而得出答案.【詳解】，又的長(zhǎng)度為,的長(zhǎng)度為.當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為最小值,與分別在區(qū)間的左右兩端

長(zhǎng)度的最小值為

又長(zhǎng)度的最大值為:

則的長(zhǎng)度的最小值與最大值的和為:

故答案為:.【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合新定義,能夠理解所定義的集合的長(zhǎng)度和結(jié)合數(shù)軸求解是解題關(guān)鍵.19．已知集合，集合，若，則_______

【答案】

【解析】設(shè)公共根是,代入兩方程,作差可得,即公共根就是,進(jìn)一步代入原方程求解兩集合,即可得出答案.【詳解】

兩個(gè)方程有公共根

設(shè)公共根為,兩式相減得:,即.①若,則兩個(gè)方程都是,與矛盾;

②則,公共根為,代入

得:

即,解得:(舍),故答案為:

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合并集運(yùn)算,能夠通過(guò)解讀出兩個(gè)集合中的方程有公共根,是解題的關(guān)鍵.三、解答題

20．已知集合，求實(shí)數(shù)的值.【答案】

【解析】由，則可得，計(jì)算出結(jié)果，進(jìn)行驗(yàn)證

【詳解】

由題意得，解得或，當(dāng)時(shí)，滿足要求；

當(dāng)時(shí)，不滿足要求，綜上得：

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的交集，由已知條件，代入求出參量的值，注意代回的檢驗(yàn)尤為重要。

21．解關(guān)于的不等式

【答案】當(dāng)時(shí)，不等式的解集是或；

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.【解析】先將不等式化為，當(dāng)時(shí)，分，三種情況討論，求出解集；當(dāng)，化簡(jiǎn)原不等式，直接求出結(jié)果；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)不等式，解對(duì)應(yīng)一元二次不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】

不等式可化為.①當(dāng)時(shí)，原不等式可以化為，根據(jù)不等式的性質(zhì)，這個(gè)不等式等價(jià)于.因?yàn)榉匠痰膬蓚€(gè)根分別是2，所以當(dāng)時(shí)，則原不等式的解集是；

當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是；

當(dāng)時(shí)，則原不等式的解集是.②當(dāng)時(shí)，原不等式為，解得，即原不等式的解集是.③當(dāng)時(shí)，原不等式可以化為，根據(jù)不等式的性質(zhì)，這個(gè)不等式等價(jià)于，由于，故原不等式的解集是或.綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集是或；

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.【點(diǎn)睛】

本題主要考查含參數(shù)的一元二次不等式的解法，靈活運(yùn)用分類討論的思想，即可求解，屬于?？碱}型.22．已知：為三角形的三邊長(zhǎng)，求證：；

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】利用作差法,分別求證和

即可證明不等式.【詳解】

證明：

.∴.綜上所述:.【點(diǎn)睛】

本題主要考查用作差法比較大小的方法,屬于基礎(chǔ)題.23．現(xiàn)有A,B,C,D四個(gè)長(zhǎng)方體容器，已知容器A,B的底面積均為，高分別為，容器C,D的底面積為，高也分別為；現(xiàn)規(guī)定一種兩人游戲規(guī)則：每人從四個(gè)容器中取出兩個(gè)分別盛滿水，兩個(gè)容器盛水的和多者為勝，若事先不知道的大小，問(wèn)如何取法可以確保一定獲勝？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】在不知道x，y的大小的情況下，取A，D能夠穩(wěn)操勝券，其他的都沒(méi)有必勝的把握，理由見(jiàn)解析

【解析】依題意可知四個(gè)容器的容積分別為.分別討論時(shí)和時(shí)四者的大小關(guān)系,即可得出如何取法可以確保一定獲勝.【詳解】

當(dāng)時(shí),則，即.當(dāng)時(shí),則，即.又

∴在不知道,的大小的情況下,取,能夠穩(wěn)操勝券,其它取法都沒(méi)有必勝的把握.【點(diǎn)睛】

根據(jù)題意列出四個(gè)容器的容積,在討論在和兩種情況下,利用作差法比較和大小是解本題的關(guān)鍵.24．某段地鐵線路上有A,B,C三站，（千米），（千米），在列車運(yùn)行時(shí)刻表上，規(guī)定列車8:00從A站出發(fā)，8:07到達(dá)B站，并停留1分鐘，8:12到達(dá)C站，并在行駛時(shí)以同一速度（千米/分）勻速行駛；列車從A站出發(fā)到達(dá)某站的時(shí)間與時(shí)刻表上相應(yīng)時(shí)間差的絕對(duì)值，稱為列車在該站的運(yùn)行誤差；

（1）分別用速度表示列車在B,C兩站的運(yùn)行誤差；

（2）若要求列車在B,C兩站的運(yùn)行誤差之和不超過(guò)2分鐘，求列車速度的取值范圍；

【答案】（1）|

;

|-11|;（2）[39,]

【解析】（1）因?yàn)樾旭倳r(shí)以同一速度勻速行駛,列車從站到達(dá)某站的時(shí)間與時(shí)刻表上相應(yīng)時(shí)間之差的絕對(duì)值稱為列車在該站的運(yùn)行誤差,所以可以得到列車在兩站的運(yùn)行誤差;

（2）根據(jù)題意列出在兩站的運(yùn)行誤差之和不超過(guò)分鐘,即可得到關(guān)于的不等式,然后求解即可.【詳解】

（1）由題意可知:列車從站到達(dá)某站的時(shí)間與時(shí)刻表上相應(yīng)時(shí)間之差的絕對(duì)值稱為列車在該站的運(yùn)行誤差.列車在兩站的運(yùn)行誤差(單位:分鐘)分別和.（2）列車在B,C兩站的運(yùn)行誤差之和不超過(guò)2分鐘

①當(dāng)時(shí)，可變形為:

解得:

②當(dāng)時(shí)，可變形為:

解得:

綜上所述的取值范圍是:.【點(diǎn)睛】

本題考查絕對(duì)值不等式的求解.在求解絕對(duì)值不等式時(shí),一般利用零點(diǎn)分段法去掉絕對(duì)值來(lái)求解,考查分類討論數(shù)學(xué)思想.