2019-2020學(xué)年市中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1．已知，B3，則

A．

B．4，C．2，3，4，D．3，4，【答案】D

【解析】利用并集概念與運(yùn)算直接得到結(jié)果.【詳解】，3，3，4，故選：D．

【點(diǎn)睛】

本題考查并集的定義與運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2．命題“，”的否定是（）

A．，B．，C．，D．，【答案】A

【解析】利用全稱命題的否定是特稱命題解答即可.【詳解】

因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，需改變量詞且否定結(jié)論，所以，命題“，”的否定是“，”.故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全稱命題的否定，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平.3．設(shè)，則“”是“”的（）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】對化簡后得，再利用集合間的關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】

設(shè)，或，顯然是的真子集，所以推出；而不能推出，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】

本題考查不等式的解法、考查簡易邏輯中的充分條件與必要條件，將問題轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系能使求解過程更清晰.4．函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】根據(jù)函數(shù)解析式，只需解析式有意義即可求出.【詳解】

要使函數(shù)有意義，則需滿足：，解得

所以定義域?yàn)?，故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了給出函數(shù)解析式的函數(shù)定義域問題，屬于中檔題.5．已知冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的圖像關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則n的值為（）

A．1

B．2

C．1或2

D．1或－3

【答案】A

【解析】由冪函數(shù)f（x）＝（n2+2n﹣2）（n∈Z）的圖象關(guān)于y軸對稱，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，知，由此能求出n的值．

【詳解】

∵冪函數(shù)f（x）＝（n2+2n﹣2）（n∈Z）的圖象關(guān)于y軸對稱，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，∴，解得n＝1．

故選：A．

【點(diǎn)睛】

本題考查冪函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．熟記冪函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．

6．已知，，則的大小為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得，再由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得，即可得到答案.【詳解】

由題意，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】

本題主要考查了指數(shù)式與對數(shù)式的比較大小，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求得的取值范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7．函數(shù)y=log

(2x2-3x+1)的遞減區(qū)間為（）

A．（1，+）

B．（-，］

C．（，+）

D．（-，］

【答案】A

【解析】，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即遞減區(qū)間為（1，+），選A.點(diǎn)睛：求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法：(1)定義法和導(dǎo)數(shù)法，通過解相應(yīng)不等式得單調(diào)區(qū)間；(2)圖象法，由圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需注意兩點(diǎn)：一是單調(diào)區(qū)間必須是函數(shù)定義域的子集：二是圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接；(3)利用函數(shù)單調(diào)性的基本性質(zhì)，尤其是復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，此時(shí)需先確定函數(shù)的單調(diào)性.8．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）.A．(-1,0)

B．(0,1)

C．(1.2)

D．(2,3)

【答案】B

【解析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷．

【詳解】，因此零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)．

故選：B．

【點(diǎn)睛】

本題考查零點(diǎn)存在定理，屬于基礎(chǔ)題型．

9．若，且，則的最小值是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】將代數(shù)式與代數(shù)式相乘，展開后利用基本不等式可求出的最小值.【詳解】

由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，因此，的最小值為，故選：C.【點(diǎn)睛】

本題考查利用基本不等式求代數(shù)式的最值，解題時(shí)要充分利用定值條件，熟悉幾種常見的利用基本不等式求最值的代數(shù)式類型，并對代數(shù)式進(jìn)行合理配湊，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.10．十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號使用，后來英　國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“”和“”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若，則下列命題正確的是（）.A．若且，則

B．若，則

C．若，則

D．若且，則

【答案】B

【解析】可舉反例說明一些不等式不成立，從而確定正確結(jié)論．

【詳解】

當(dāng)時(shí)，A不正確；若，則，C不正確；若，則，D不正確；若，則，即，B正確．

故選：B．

【點(diǎn)睛】

本題考查不等式的性質(zhì)，解題時(shí)可舉反例說明命題是錯(cuò)誤的，也可直接利用不等式的性質(zhì)推理論證．

11．已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】由題意，可得到，且函數(shù)在上遞增，原不等式等價(jià)于，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可求出結(jié)果.【詳解】

因?yàn)?，所以，因此，因此關(guān)于的不等式，可化為；

又單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在上遞增；

所以有，解得：.故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查由函數(shù)單調(diào)性解不等式，熟記基本初等函數(shù)的單調(diào)性，會用基本初等函數(shù)單調(diào)性判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可，屬于常考題型.12．若不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）

A．[

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】【詳解】

構(gòu)造函數(shù)f（x）=3x2，g（x）=logax，∵不等式3x2-logax＜0對任意恒成立，∴f（）≤g（∴-≤0．

∴0＜a＜1且a≥∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[

故選A

二、填空題

13．設(shè)函數(shù)，則=________.【答案】24

【解析】先求內(nèi)層的值，代入對應(yīng)的表達(dá)式，得，再將代入的表達(dá)式即可求解

【詳解】

先求，再求，即

故答案為：24

【點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)具體值的求法，應(yīng)先求內(nèi)層函數(shù)值，再將此值當(dāng)作自變量再次代入對應(yīng)的表達(dá)式求解，是基礎(chǔ)題

14．若為上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為

．

【答案】

【解析】試題分析：因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，所以，所以．

【考點(diǎn)】奇函數(shù)的定義與性質(zhì)．

15．已知函數(shù)，則不等式的解集為________.【答案】

【解析】分段函數(shù)，按定義和分類解不等式．

【詳解】

時(shí)，則，時(shí)，則，綜上，原不等式解集為．

故答案為：．

【點(diǎn)睛】

本題考查對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，只是要注意分段函數(shù)要分類討論．屬于基礎(chǔ)題．

16．若函數(shù)且在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．

【答案】

【解析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，令，首先按和分類，在函數(shù)定義域內(nèi)，是增函數(shù)，則是增函數(shù)，則，若是減函數(shù)，則，這樣就可保證函數(shù)是減函數(shù)．

【詳解】

令，若，則，遞增，也是增函數(shù)，又，∴在上是減函數(shù)，若，則是減函數(shù)，因此，解得，綜上的取值范圍是．

故答案為：．

【點(diǎn)睛】

本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，解題基礎(chǔ)是掌握復(fù)合函數(shù)單調(diào)性．同時(shí)注意與的單調(diào)性的關(guān)系．

三、解答題

17．求下列答式的值:

(1)

(2)

【答案】（1）18；（2）．

【解析】（1）利用冪的運(yùn)算法則計(jì)算；

（2）根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算．

【詳解】

（1）原式＝．

（2）原式＝．

【點(diǎn)睛】

本題考查分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則與對數(shù)運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題型．

18．已知2≤x≤16，求函數(shù)的最大值與最小值．

【答案】最大值是6，最小值是．

【解析】用換元法把函數(shù)轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題．可設(shè)，要注意的取值范圍．

【詳解】

設(shè)，∵，∴．，∵，∴，即時(shí)，取得最小值，即時(shí)，取得最大值6．

∴的最大值是6，最小值是．

【點(diǎn)睛】

本題考查對數(shù)函數(shù)的最值問題，解題關(guān)鍵是用換元法把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值．在遇到這種形式的函數(shù)時(shí)通過設(shè)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)．

19．某公司制定了一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：當(dāng)銷售利潤不超過萬元時(shí)，按銷售利潤的進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)；當(dāng)銷售利潤超過萬元時(shí)，若超過部分為萬元，則超出部

分按進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，沒超出部分仍按銷售利潤的進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)．記獎(jiǎng)金總額為（單位：萬元），銷售利潤為（單位：萬元）．

（1）寫出該公司激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如果業(yè)務(wù)員老張獲得萬元的獎(jiǎng)金，那么他的銷售利潤是多少萬元？

【答案】（1）（2）他的銷售利潤是萬元

【解析】（1）由題意，得

（2）∵時(shí)，又，∴，令，解得．

答：老張的銷售利潤是萬元．

【考點(diǎn)】分段函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型.20．已知定義在上的函數(shù)

.(1)

當(dāng)時(shí),試判斷在區(qū)間上的單調(diào)性,并給予證明.(2)

當(dāng)時(shí),試求的最小值.【答案】(1)

在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析；

(2)4.【解析】（1）用定義法嚴(yán)格證明即可

（2）用換元法設(shè)，由（1）可得，再根據(jù)對勾函數(shù)增減性求出的最小值即可

【詳解】

(1)

用定義法證明如下:

設(shè),則，,，,，,即，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

(2)設(shè),則，由(1)知,當(dāng)時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng),即,解得時(shí),.【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)增減性的證明，復(fù)合函數(shù)值域的求法，換元法的應(yīng)用，換元法的核心在于新元的取值范圍必須明確，復(fù)合函數(shù)的增減性遵循同增異減

21．已知函數(shù)且

(1)若方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根為2，求的值;

(2)當(dāng)且時(shí)，求不等式的解集;

(3)若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求的取值范圍。

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】（1）用代入方程，可求得；

（2）由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解此不等式；

（3）結(jié)合零點(diǎn)存在定理和二次方程根的分布知識求解．

【詳解】

（1）即有一個(gè)根是2，則，∴，．

（2）不等式為，∵，∴，解得，即不等式的解集為．

（3）由題意在上有解，解法一：

(i)若，則，，滿足題意；

(ii)若，則，，滿足題意；

(iii)，或．

（iv），解得

綜上所述，的取值范圍是．

解法二：，∵，∴，∴，∴，∴或．

【點(diǎn)睛】

本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)零點(diǎn)的概念．函數(shù)零點(diǎn)問題特別是二次函數(shù)零點(diǎn)分布問題如果用根的分布知識求解有一定的難度，如題中解法一，但若用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題將會顯得簡單，如解法二，在解題中要注意體會．

22．已知函數(shù)是奇函數(shù)．

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）若，對任意有恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍；

（3）設(shè),若，問是否存在實(shí)數(shù)使函數(shù)在上的最大值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）

（2）

（3）不存在,理由見解析.【解析】（1）根據(jù)定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)可知,代入即可求得實(shí)數(shù)的值.（2）由（1）可得函數(shù)的解析式,并判斷出單調(diào)性.根據(jù)將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式,結(jié)合時(shí)不等式恒成立,即可求得實(shí)數(shù)取值范圍；

（3）先用表示函數(shù).根據(jù)求得的解析式,根據(jù)單調(diào)性利用換元法求得的值域.結(jié)合對數(shù)的定義域,即可求得的取值范圍.根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,即可判斷在的取值范圍內(nèi)能否取到最大值0.【詳解】

（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽,且為奇函數(shù)

所以,即

解得

（2）由（1）可知當(dāng)時(shí),因?yàn)?即

解不等式可得

所以在R上單調(diào)遞減,且

所以不等式可轉(zhuǎn)化為

根據(jù)函數(shù)在R上單調(diào)遞減

所不等式可化為

即不等式在恒成立

所以恒成立

化簡可得

由打勾函數(shù)的圖像可知,當(dāng)時(shí),所以

（3）不存在實(shí)數(shù).理由如下:

因?yàn)?/p>

代入可得,解得或(舍)

則,令,易知在R上為單調(diào)遞增函數(shù)

所以當(dāng)時(shí)，則

根據(jù)對數(shù)定義域的要求,所以滿足在上恒成立

即在上恒成立

令,所以,即

又因?yàn)?/p>

所以

對于二次函數(shù),開口向上,對稱軸為

因?yàn)?/p>

所以

所以對稱軸一直位于的左側(cè),即二次函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增

所以,假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù),則:

當(dāng)時(shí),由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，可知為減函數(shù),所以根據(jù)可知,即

解得,所以舍去

當(dāng)時(shí),復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可知為增函數(shù),所以根據(jù)可知,即

解得,所以舍去

綜上所述,不存在實(shí)數(shù)滿足條件成立.【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式恒成立問題的解法,復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷及最值求法,含參數(shù)的分類討論思想的綜合應(yīng)用,綜合性強(qiáng),屬于難題.