2019-2020學(xué)年市中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1．設(shè)命題甲“”,命題乙“”，那么甲是乙的（）

A.充分非必要條件

B.必要非充分條件

C.充要條件

D.既非充分又非必要條件

【答案】A

【解析】分析成立的條件,根據(jù)充分性、必要性的概念即可選出正確答案.【詳解】

因?yàn)?所以由一定能推出,由,不一定能推出,所以甲是乙的充分非必要條件.故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了充分非必要條件的判斷,屬于基礎(chǔ)題.2．已知集合,，則與的關(guān)系為（）

A.B.C.D.【答案】C

【解析】用列舉法表示集合,這樣就可以選出正確答案.【詳解】

或或或.因此,所以.故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合與集合之間的關(guān)系,理解本題中集合元素的屬性特征是解題的關(guān)鍵.3．若實(shí)數(shù)、、滿足,則下列不等式正確的是（）

A.B.C.D.【答案】B

【解析】利用取特殊值的方法和差比的比較法即可選出正確答案.【詳解】

選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí),顯然滿足,但是,顯然不成立；

選項(xiàng)B：,因?yàn)?所以,故本結(jié)論成立；

選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí),顯然不成立；

選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí),不等式能成立,但是此時(shí)不成立.故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用已知不等式判斷有關(guān)不等式是否成立問(wèn)題,利用特殊值法、差比的比較法、不等式的性質(zhì)是解決這類(lèi)問(wèn)題的常用方法.4．已知、、為實(shí)數(shù)，，記集合，則下列命題為真命題的是（）

A.若集合的元素個(gè)數(shù)為2，則集合的元素個(gè)數(shù)也一定為2

B.若集合的元素個(gè)數(shù)為2，則集合的元素個(gè)數(shù)也一定為2

C.若集合的元素個(gè)數(shù)為3，則集合的元素個(gè)數(shù)也一定為3

D.若集合的元素個(gè)數(shù)為3，則集合的元素個(gè)數(shù)也一定為3

【答案】D

【解析】利用一元二次方程根的判別式,結(jié)合函數(shù)的表達(dá)式,先考慮當(dāng)集合的元素個(gè)數(shù)分別為2、3時(shí),集合的元素個(gè)數(shù)情況；再考慮當(dāng)集合的元素個(gè)數(shù)分別為2、3時(shí),集合的元素個(gè)數(shù)情況,最后選出正確答案.【詳解】

選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，集合的元素個(gè)數(shù)為2，此時(shí),集合的元素個(gè)數(shù)為1,故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí),集合的元素個(gè)數(shù)為2,此時(shí)，集合的元素個(gè)數(shù)為3，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，集合的元素個(gè)數(shù)為3，此時(shí),集合的元素個(gè)數(shù)為2,故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：若集合的元素個(gè)數(shù)為3，方程有三個(gè)不等實(shí)根,則有,在該條件下方程一定有這一個(gè)根，且不是的根，又，所以有兩個(gè)不等于的根，即集合的元素個(gè)數(shù)也一定為3.故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了通過(guò)方程根的情況求參數(shù)問(wèn)題,考查了分類(lèi)討論思想.二、填空題

5．已知集合，且,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______

.【答案】

【解析】利用數(shù)軸,根據(jù)集合并集的定義,結(jié)合已知,可以求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】

因?yàn)榧?，?所以,因此實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查了已知集合運(yùn)算的結(jié)果求參數(shù)問(wèn)題,利用數(shù)軸、理解掌握集合并集的定義是解題的關(guān)鍵.6．若集合，若,則實(shí)數(shù)_______

.【答案】

【解析】根據(jù),可以確定,運(yùn)用分類(lèi)討論方法進(jìn)行求解,求解過(guò)程中要再計(jì)算一下.【詳解】

因?yàn)?所以.當(dāng)時(shí),解得,此時(shí),因此,這與不符,故舍去；

當(dāng)時(shí),解得,此時(shí),所以符合題意；

當(dāng)時(shí),方程無(wú)實(shí)根,綜上所述實(shí)數(shù).故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查了已知集合交集的結(jié)果求參數(shù)問(wèn)題,分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵.7．命題：“若不為零，則都不為零”的逆否命題是。

【答案】若至少有一個(gè)為零，則為零

【解析】解：因?yàn)槊}：“若不為零，則都不為零”的逆否命題是就是將條件和結(jié)論同時(shí)否定，再作為新命題的結(jié)論和條件，即可。故為.若a,b至少一個(gè)為0，則ab為0

8．科技節(jié)期間，高一年級(jí)的某同學(xué)發(fā)明了一個(gè)魔術(shù)盒，當(dāng)任意實(shí)數(shù)對(duì)進(jìn)入其中時(shí)，會(huì)得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)：，如把放入其中，就會(huì)得到，現(xiàn)將實(shí)數(shù)對(duì)放入其中，得到實(shí)數(shù)，則________.【答案】

【解析】按照操作過(guò)程,得到一個(gè)方程,解方程即可.【詳解】

由題意得：.故答案為：8

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)學(xué)閱讀理解的能力,考查了解方程的能力,屬于基礎(chǔ)題.9．設(shè)函數(shù)，若，則________.【答案】

【解析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式,分類(lèi)討論即可求出的值.【詳解】

當(dāng)時(shí),因?yàn)?所以,而,所以；

當(dāng)時(shí),因?yàn)?所以,而,所以舍去,綜上所述：.故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查了已知分段函數(shù)的函數(shù)值求自變量取值問(wèn)題,考查了分類(lèi)思想,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.10．已知函數(shù),，則________.【答案】

【解析】求出函數(shù)的定義域,再求出函數(shù)的定義域,然后進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】

函數(shù)的定義域?yàn)椋?而函數(shù)的定義域?yàn)椋?因此函數(shù)的定義域?yàn)?所以.故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查了求函數(shù)的定義域,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.11．已知不等式的解集中有且只有5個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】

【解析】在直角坐標(biāo)系內(nèi),畫(huà)出函數(shù)圖象,平移函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合思想,結(jié)合已知,可以求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】

在直角坐標(biāo)系內(nèi),畫(huà)出函數(shù)圖象,如下圖所示；

平移函數(shù)的圖象,可以發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)時(shí),不等式的解集中有且只有5個(gè)整數(shù).故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用函數(shù)圖象解決不等式整數(shù)解問(wèn)題,考查了數(shù)形結(jié)合思想.12．若關(guān)于的不等式在上的解集為,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】

【解析】根據(jù)一元二次不等式的解法可知：一元二次方程根的判別式小于零,因此可以通過(guò)解不等式可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】

因?yàn)殛P(guān)于的不等式在上的解集為,所以一元二次方程

根的判別式小于零,即.故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查了已知一元二次不等式的解集求參數(shù)問(wèn)題,掌握一元二次不等式的解法是解題的關(guān)鍵,考查了方程與不等式之間的聯(lián)系.13．已知函數(shù)的定義域?yàn)?則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______.【答案】

【解析】根據(jù)的定義域,可以得出函數(shù)中自變量的滿足的不等式組,解這個(gè)不等式組即可.【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?所以有,因此函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查了求函數(shù)的定義域,掌握求復(fù)合函數(shù)的定義域的方法是解題的關(guān)鍵.14．已知，則的最小值為

.【答案】3

【解析】試題分析：根據(jù)條件，解得，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以的最小值為3，故填：3.【考點(diǎn)】基本不等式

15．已知不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.【答案】

【解析】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),畫(huà)出函數(shù)的圖象,畫(huà)出函數(shù)的圖象的示意圖,平移函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合，可以求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),畫(huà)出函數(shù)的圖象,畫(huà)出函數(shù)圖象的示意圖,如下圖所示：

向右平移函數(shù)圖象的過(guò)程中可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)從左到右平移到與橫軸的交點(diǎn)為時(shí)，要想不等式對(duì)任意恒成立,即滿足

；再繼續(xù)往右平移時(shí)，當(dāng)函數(shù)圖象的左側(cè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),此時(shí),顯然當(dāng)時(shí),不等式對(duì)任意恒成立,綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用函數(shù)圖象求解不等式恒成立問(wèn)題,考查了數(shù)形結(jié)合思想、平移思想.16．對(duì)于集合，定義函數(shù)，對(duì)于兩個(gè)集合、，定義集合,用表示有限集合所含元素的個(gè)數(shù),若，則能使取最小值的集合的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.【答案】

【解析】通過(guò)定義可以用集合中的補(bǔ)集來(lái)解釋?zhuān)俑鶕?jù)取最小值時(shí)所滿足的條件,最后可以求出集合的個(gè)數(shù).【詳解】

因?yàn)?所以有,要想

最小,只需最大,且最小,要使

最小,則有，所以集合是集合和集合子集的并集,因此集合的個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為：8

【點(diǎn)睛】

本題考查了新定義題,考查了集合與集合之間的關(guān)系,考查了數(shù)學(xué)閱讀能力.三、解答題

17．已知集合,函數(shù)的定義域?yàn)榧?且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】

【解析】解不等式化簡(jiǎn)集合的表示，求出函數(shù)的定義域,結(jié)合已知,利用數(shù)軸,可以求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】,或,所以.因?yàn)?所以有：或,解得或,綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)集合關(guān)系求參數(shù)問(wèn)題,考查了解分式不等式,考查了求函數(shù)的定義域,利用數(shù)軸是解題的關(guān)鍵.18．若實(shí)數(shù)、、滿足,則稱(chēng)比接近.(1)若比4接近1,求實(shí)數(shù)的取值集合；

(2)若、均屬于(1)中集合,求證：比接近0.【答案】(1)

；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)根據(jù)題目已知給的信息,可以把比4接近1,轉(zhuǎn)化成不等式,解這個(gè)不等式即可；

(2)根據(jù)題意可以得到,想要證明比接近0,只需證明

即可,運(yùn)用平方法、差比的比較法、因式分解法可以證明出結(jié)論.【詳解】

(1)因?yàn)楸?接近1,所以有,所以實(shí)數(shù)的取值集合；

(2)由題意可知：,因?yàn)?所以,即

于是有,由題意可知：比接近0.【點(diǎn)睛】

本題考查了解絕對(duì)值不等式,考查了證明絕對(duì)值不等式,考查了數(shù)學(xué)閱讀能力.19．近年來(lái)，某企業(yè)每年消耗電費(fèi)約24萬(wàn)元，為了節(jié)能減排，決定安裝一個(gè)可使用15年的太陽(yáng)能供電設(shè)備接入本企業(yè)電網(wǎng)，安裝這種供電設(shè)備的工本費(fèi)(單位：萬(wàn)元)與太陽(yáng)能電池板的面積(單位：平方米)成正比，比例系數(shù)約為0.5．為了保證正常用電，安裝后采用太陽(yáng)能和電能互補(bǔ)供電的模式．假設(shè)在此模式下，安裝后該企業(yè)每年消耗的電費(fèi)(單位:萬(wàn)元)與安裝的這種太陽(yáng)能電池板的面積(單位:平方米)之間的函數(shù)關(guān)系是為常數(shù)).記為該村安裝這種太陽(yáng)能供電設(shè)備的費(fèi)用與該村15年共將消耗的電費(fèi)之和．

（1）試解釋的實(shí)際意義，并建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)為多少平方米時(shí)，取得最小值？最小值是多少萬(wàn)元？

【答案】（1）；（2）當(dāng)為55平方米時(shí),取得最小值為57.5萬(wàn)元．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意知，將其代入為常數(shù)）即可求出參數(shù)，即可求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）直接對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出其極值點(diǎn)，然后討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)

而求出函數(shù)的最小值.試題解析：

（1）的實(shí)際意義是安裝這種太陽(yáng)能電池板的面積為0時(shí)的用電費(fèi)用,即未安裝電陽(yáng)能供電設(shè)備時(shí)全村每年消耗的電費(fèi).由,得

所以

（2）因?yàn)?/p>

當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)

所以當(dāng)為55平方米時(shí),取得最小值為57.5萬(wàn)元．

（2）導(dǎo)數(shù)解法：，令得

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，．

所以當(dāng)為55平方米時(shí),取得最小值為57.5萬(wàn)元．

【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的最值和極值中的應(yīng)用．

20．已知是滿足下述條件的所有函數(shù)組成的集合：對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意兩個(gè)自變量、,均有成立.(1)已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù),求實(shí)數(shù)、的取值范圍；

(2)設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù),且,求正實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3)已知函數(shù)的定義域?yàn)?求證：.【答案】(1)，；(2)；(3)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)根據(jù)題意得到不等式,通過(guò)不等式可以求出實(shí)數(shù)、的取值范圍；

(2)求出時(shí),正實(shí)數(shù)的取值范圍,然后根據(jù)補(bǔ)集思想,求出正實(shí)數(shù)的取值范圍即可；

(3)設(shè),利用分子有理化,絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，可以證明出,這樣就可以證明出.【詳解】

(1)因?yàn)槎x域?yàn)榈暮瘮?shù),所以均有

成立,即,顯然,因此，；

(2)

設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù),且,所以均有

成立,即,設(shè),即在上恒成立，因此有：,因此當(dāng)時(shí),正實(shí)數(shù)的取值范圍為：；

(3)

設(shè),所以有,顯然

也成立.【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)學(xué)閱讀能力,考查了有關(guān)不等式恒成立問(wèn)題,理解題意、運(yùn)用絕對(duì)值的性質(zhì)、分子有理化的方法是解題的關(guān)鍵.21．對(duì)于正整數(shù)集合（,）,如果去掉其中任意一個(gè)元素（）之后,剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個(gè)交集為空集的集合,且這兩個(gè)集合的所有元素之和相等，就稱(chēng)集合為“和諧集”.(1)判斷集合是否為“和諧集”,并說(shuō)明理由；

(2)求證：集合是“和諧集”；

(3)求證：若集合是“和諧集”,則集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù).【答案】(1)不是；理由見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)根據(jù)集合中這5個(gè)數(shù)字的特征,可以去掉2即可判斷出集合不是“和諧集”；

(2)集合去掉任意一個(gè)元素進(jìn)行分類(lèi)討論,找到符合題意的兩個(gè)集合即可證明集合是“和諧集”；

(3)判斷任意一個(gè)元素（）的奇偶性相同,分類(lèi)討論,可以證明出若集合是“和諧集”,則集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù).【詳解】

(1)當(dāng)集合去掉元素2時(shí)，剩下元素組成兩個(gè)集合的交集為空集有以下幾種情況：,經(jīng)過(guò)計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)每給兩個(gè)集合的所有元素之和不相等,故集合不是“和諧集”；

(2)集合所有元素之和為49.當(dāng)去掉元素1時(shí),剩下的元素之和為48,剩下元素可以組合這兩個(gè)集合,顯然符合題意；

當(dāng)去掉元素3時(shí),剩下的元素之和為46,剩下元素可以組合這兩個(gè)集合,顯然符合題意；

當(dāng)去掉元素5時(shí),剩下的元素之和為44,剩下元素可以組合這兩個(gè)集合,顯然符合題意；

當(dāng)去掉元素7時(shí),剩下的元素之和為42,剩下元素可以組合這兩個(gè)集合,顯然符合題意；

當(dāng)去掉元素9時(shí),剩下的元素之和為40,剩下元素可以組合這兩個(gè)集合,顯然符合題意；

當(dāng)去掉元素11時(shí),剩下的元素之和為38,剩下元素可以組合這兩個(gè)集合,顯然符合題意；

當(dāng)去掉元素13時(shí),剩下的元素之和為36,剩下元素可以組合這兩個(gè)集合,顯然符合題意；

(3)設(shè)正整數(shù)集合（，）所有元素之和為,由題意可知

均為偶數(shù),因此任意一個(gè)元素（）的奇偶性相同.若是奇數(shù),所以（）也都是奇數(shù),由于,顯然為奇數(shù)；

若是偶數(shù),所以（）也都是偶數(shù).此時(shí)設(shè)（）顯然也是“和諧集”,重復(fù)上述操作有限次,便可以使得各項(xiàng)都為奇數(shù)的“和諧集”,此時(shí)各項(xiàng)的和也是奇數(shù),集合中元素的個(gè)數(shù)也是奇數(shù),綜上所述：若集合是“和諧集”,則集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù).【點(diǎn)睛】

本題考查了新定義的理解與運(yùn)用,正確理解題意,運(yùn)用分類(lèi)討論的方法是解題的關(guān)鍵.