第一篇：高數(shù)一講義第四章

4．1微分中值定理

一、羅爾定理

1、羅爾定理

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理

小結(jié)：

4．2洛必達(dá)法則

一、基本類型的未定式0/0 ∞∞

二、其它類型的未定式

小結(jié)：

注意：

4．3函數(shù)的單調(diào)性

一、從幾何圖形上看函數(shù)的單調(diào)性

二、函數(shù)單調(diào)性的差別法

三、利用函數(shù)的單調(diào)性可證明不等式

小結(jié)：

4．4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

一、引例

小結(jié)：

4．5函數(shù)的極值與最值

一、函數(shù)的極值

二、函數(shù)的最大值與最小值

小結(jié)：

4．6漸近線

1． 曲線的水平漸近線：

2、曲線的豎直漸近線

第二篇：高數(shù)總復(fù)習(xí)題一

1總習(xí)題一

1.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個(gè)正確的填入下列空格內(nèi):

(1)數(shù)列{xn}有界是數(shù)列{xn}收斂的________條件.數(shù)列{xn}收斂是數(shù)列{xn}有界的________的條件.(2)f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界是limf(x)存在的________條件.x?x0

x?x0limf(x)存在是f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界的________條件.x?x0(3)f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)無界是limf(x)??的________條件.x?x0limf(x)??是f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)無界的________條件.?

x?x0(4)f(x)當(dāng)x?x0時(shí)的右極限f(x0?)及左極限f(x0?)都存在且相等是limf(x)存

在的________條件.解(1)必要, 充分.(2)必要, 充分.(3)必要, 充分.?

(4)充分必要.2.選擇以下題中給出的四個(gè)結(jié)論中一個(gè)正確的結(jié)論:

設(shè)f(x)?2x?3x?2.則當(dāng)x?0時(shí), 有().(A)f(x)與x是等價(jià)無窮小;(B)f(x)與x同階但非等價(jià)無窮小;

(C)f(x)是比x高階的無窮小;(D)f(x)是比x低階的無窮小.xxxxf(x)2?3?22?13?lim?lim?lim?1解 因?yàn)閘imx?0x?0x?0x?0xxxx

t?ln3limu?ln2?ln3?ln2lim(令2x?1?t, 3x?1?u)? t?0ln(1?t)u?0ln(1?u)

所以f(x)與x同階但非等價(jià)無窮小.故應(yīng)選B.3.設(shè)f(x)的定義域是[0, 1], 求下列函數(shù)的定義域:

(1)f(ex);

(2)f(ln x);

(3)f(arctan x);

(4)f(cos x).解(1)由0?ex?1得x?0, 即函數(shù)f(ex)的定義域?yàn)???, 0].(2)由0? ln x?1得1?x?e , 即函數(shù)f(ln x)的定義域?yàn)閇1, e].(3)由0? arctan x ?1得0?x?tan 1, 即函數(shù)f(arctan x)的定義域?yàn)閇0, tan 1].(4)由0? cos x?1得2n????x?2n???(n?0, ?1, ?2, ?????),22

即函數(shù)f(cos x)的定義域?yàn)閇2n???,n???],(n?0, ?1, ?2, ?????).22

4.設(shè)

x?00x ?0?0

f(x)??, g(x)??2,?xx ?0?xx?0??

求f[f(x)], g[g(x)], f[g(x)], g[f(x)].0x?0解 因?yàn)閒(x)?0, 所以f[f(x)]?f(x)???xx?0;

?

因?yàn)間(x)?0, 所以g[g(x)]?0;因?yàn)間(x)?0, 所以f[g(x)]?0;

x?0?0

因?yàn)閒(x)?0, 所以g[f(x)]??f 2(x)???2.?xx?0?

5.利用y?sin x的圖形作出下列函數(shù)的圖形: ?

(1)y?|sin x|;(2)y?sin|x|;(3)y?2sinx.6.把半徑為R的一圓形鐵片, 自中心處剪去中心角為?的一扇形后圍成一無底圓錐.試將這圓錐的體積表為?的函數(shù).?

解 設(shè)圍成的圓錐的底半徑為r, 高為h, 依題意有

R(2???)

R(2???)?2?r , r??

22R2(2???)2?????Rh?R?r?R?.2?4?2

圓錐的體積為

R2(2???)214????2 ?RV???

32?4?2

3R(2???)2????a2(0???2?).?224?

2x7.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明lim?x?6?5.?x?3x?3

2x證明對于任意給定的???0, 要使|?x?6?5|??, 只需|x?3|???, 取????, 當(dāng)x?3

0?|x?3|??時(shí), 就有|x?3|???, 即|x?x?6?5|??, 所以limx?x?6?5.x?3x?3x?3

8.求下列極限: ?

1;(1)limx?x?

x?1(x?1)2

(2)limx(x2?1?x);

x???

(3)lim(2x?3x?1;

x??2x?1

sinx;(4)limtanx?3x?0xxxx1a?b?c(5)lim)(a?0, b?0, c?0);x?03

(6)lim(sinx)tanx.x??

2(x?1)2x1??.?0, 所以lim?x?解(1)因?yàn)閘im2

2x?1x?x?1x?1(x?1)

x(x2?1?xx2?1?x)

(2)limx(x?1?x)?lim 2x???x???(x?1?x)

?lim

x???

x11.?lim?

x2?1?xx????1?12

x2

2x?1?1

2x?322x?1x?1

(3)lim)?lim(1??lim(1?)22

x??2x?1x??x??2x?12x?1

2x?12x?111

?lim(1?2(1?2)?lim(1?2)?lim(1?2)?e.x??x??x??2x?12x?12x?12x?1

sinx(1?1)sinx(1?cosx)sinx?lim?lim(4)limtanx?

x?0x?0x?0x3x3x3cosx

sinx?2sin2x2x?(x2

?lim?1?(提示: ?用等價(jià)無窮小換)?.?lim33x?0x?0xcosxx2

xxx1xxx

a?b?ca?b?c?3ax?bx?cx?3??lim(1?(5)lim(x?0x?033xxx

a?b?c?3ax?bx?cx?3?e,lim(1?x?03

ax?bx?cx?3

3x, 因?yàn)?/p>

xxxxxx

lima?b?c?3?1lim(a?1?b?1?c?1

x?03x3x?0xxx

?1[lnalim1?lnblim1?lnclim1]

t?0ln(1?t)u?0ln(1?u)v?0ln13(?v)

?1(lna?lnb?lnc)?ln,3

xxx13

所以lima?b?c)?eln?.x?03

提示: 求極限過程中作了變換ax?1?t, bx?1?u, cx?1?v.(6)lim(sinx)

x?2

tanx

?lim[1?(sinx?1x?21sixn?1

1?(sinx?1)tanx

sinx?1, 因?yàn)?/p>

lim[1?(sinx?1x??

?e,lim(sinx?1)tanx?lim

x??

sinx(sixn?1)

coxsx??

sinx(sin2x?1)xcoxs?0,?lim??limsin)x?1x??cosx(sinx?1x??sin所以lim(sixn)taxn?e0?1.x?2

??xsin1x?0

9.設(shè)f(x)??, 要使f(x)在(??, ??)內(nèi)連續(xù), 應(yīng)怎樣選擇數(shù)a ? x

??a?xx?0

解 要使函數(shù)連續(xù), 必須使函數(shù)在x?0處連續(xù).?

1?0? 2

f(x)?lim(a?x)?a因?yàn)?f(0)?a, lim, limf(x)?limxsinx?0?x?0?x?0?x?0?x

所以當(dāng)a?0時(shí), f(x)在x?0處連續(xù).因此選取a?0時(shí), f(x)在(??, ??)內(nèi)連續(xù).??x?1

x?0, 求f(x)的間斷點(diǎn), 并說明間斷點(diǎn)所屬類形.10.設(shè)f(x)??e

?1?x)?1?x?0?ln（解 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x?1處無定義, 所以x?1是函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn).1???),?0(提示lim

x?1x?1x?1?x?1

1???), ?x?1

f(x)?lime??lim(提示limx?1?x?1?x?1?x?1

所以x?1是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn).f(x)?lime因?yàn)閘im??

x?1

f(x)?limln(x?1)?0, limf(x)?lime又因?yàn)閘im????

x?0

x?0

x?1

x?0x?0

?1, ?e

所以x?0也是函數(shù)的間斷點(diǎn), 且為第一類間斷點(diǎn).1? ? ? ? ?1??1.??11.證明lim?1222n???1?2?n

n??1?1? ? ? ? ?1n??證明 因?yàn)?, 且 ?n2?12?22?n2?1n?lim1?1, limn?lim1?1,lim2

n???nn??n??2?1n??1?12?

nn

1? ? ? ? ?1??1.?所以lim?1222n???1n?2?n

12.證明方程sin x?x?1?0在開區(qū)間(??, ?內(nèi)至少有一個(gè)根.22

證明 設(shè)f(x)?sin x?x?1, 則函數(shù)f(x)在[? ?,?上連續(xù).22

因?yàn)閒(? ???1???1???, f(??1???1?2??, f(? ?)?f ??0,22222222

所以由零點(diǎn)定理, 在區(qū)間(? ?,?)內(nèi)至少存在一點(diǎn)??, 使f(?)?0.這說明方程sin

x?x?1?0在開區(qū)間(? ?,?內(nèi)至少有一個(gè)根.22

13.如果存在直線L: y?kx?b, 使得當(dāng)x??(或x???, x???)時(shí), 曲線y?f(x)上的動點(diǎn)M(x, y)到直線L的距離d(M, L)?0, 則稱L為曲線y?f(x)的漸近線.當(dāng)直線L的斜率k?0時(shí), 稱L為斜漸近線.(1)證明: 直線L: y?kx?b為曲線y?f(x)的漸近線的充分必要條件是k?

x??

(x???,x???)

lim

f(x), b?lim[f(x)?kx].x??x(x???,x???)

x

(2)求曲線y?(2x?1)e的斜漸近線.證明(1)僅就x??的情況進(jìn)行證明?

按漸近線的定義? y?kx?b是曲線y?f(x)的漸近線的充要條件是lim[f(x)?(kx?b)]?0?

x??

必要性? 設(shè)y?kx?b是曲線y?f(x)的漸近線? 則lim[f(x)?(kx?b)]?0?

x??

于是有l(wèi)imxx??

f(x)f(x)f(x)

??k?b]?0?lim?k?0?k?lim

x??xx??xxx

[f(x)?kx?b]?0?b?lim[f(x)?kx]?同時(shí)有l(wèi)im

x??

x??

充分性? 如果k?lim

x??

x??

f(x)

? b?lim[f(x)?kx], 則

x??x

x??

x??

lim[f(x)?(kx?b)]?lim[f(x)?kx?b]?lim[f(x)?kx]?b?b?b?0?

因此y?kx?b是曲線y?f(x)的漸近線?

y2x?1(2)因?yàn)閗?lim?lim?ex?2?x??xx??x

b?lim[y?2x]?lim[(2x?1)e?2x]?2limx(e?1)?1?2lim

x??

x??

x??

x1x

t?1?1?t?0ln1(?t)

所以曲線y?(2x?1)e的斜漸近線為y?2x?1?

x

第三篇：成人高考教材高數(shù)(一)

理工類專業(yè)需要考高數(shù)一

高數(shù)一內(nèi)容如下：

第一章：函數(shù)定義，定義域的求法，函數(shù)性質(zhì)。第一章：反函數(shù)、基本初等函數(shù)、初等函數(shù)。

第一章：極限（數(shù)列極限、函數(shù)極限）及其性質(zhì)、運(yùn)算。第一章：極限存在的準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限。第一章：無窮小量與無窮大量，階的比較。

第一章：函數(shù)的連續(xù)性，函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類。

第一章：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。第二章：導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

第二章：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，高階導(dǎo)數(shù)（二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算）第二章：微分

第二章：微分中值定理。第二章：洛比達(dá)法則1 第二章：曲線的切線與法線方程，函數(shù)的增減性與單調(diào)區(qū)間、極值。第二章：最值及其應(yīng)用。

第二章：函數(shù)曲線的凹凸性，拐點(diǎn)與作用。第三章：不定積分的概念、性質(zhì)、基本公式，直接積分法。第三章：換元積分法

第三章：分部積分法，簡單有理函數(shù)的積分。第三章：定積分的概念、性質(zhì)、估值定理應(yīng)用。第三章：牛一萊公式

第三章：定積分的換元積分法與分部積分法。第三章：無窮限廣義積分。

第三章：應(yīng)用（幾何應(yīng)用、物理應(yīng)用）第四章：向量代數(shù) 第四章：平面與直線的方程

第四章：平面與平面，直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，簡單二次曲面。第五章：多元函數(shù)概念、二元函數(shù)的定義域、極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)求法。第五章：全微分、二階偏導(dǎo)數(shù)求法 第五章：多元復(fù)合函數(shù)微分法。第五章：隱函數(shù)微分法。

第五章：二元函數(shù)的無條件極值。第五章：二重積分的概念、性質(zhì)。第五章：直角坐標(biāo)下的計(jì)算。1 第五章：在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分、應(yīng)用。第六章：無窮級數(shù)、性質(zhì)。第六章：正項(xiàng)級數(shù)的收斂法。第六章：任意項(xiàng)級數(shù)。

第六章：冪級數(shù)、初等函數(shù)展開成冪級數(shù)。第七章：一階微分方程。第七章：可降階的微分方程。第七章：線性常系數(shù)微分方程

第四篇：四年級奧數(shù)講義之：歸一問題

四年級數(shù)學(xué)講義 奧數(shù)：歸一問題

一、教學(xué)銜接

二、教學(xué)內(nèi)容

（一）知識揭示

1、歸一法的來歷

我國珠算除法中有一種方法，稱為歸除法.除數(shù)是幾，就稱幾歸；除數(shù)是8，就稱為8歸.而歸一的意思，就是用除法求出單一量，這大概就是歸一說法的來歷吧！

2、歸一法的分類

歸一問題有兩種基本類型.一種是正歸一，也稱為直進(jìn)歸一.如：一輛汽車3小時(shí)行150千米，照這樣，7小時(shí)行駛多少千米？ 另一種是反歸一，也稱為返回歸一.如：修路隊(duì)6小時(shí)修路180千米，照這樣，修路240千米需幾小時(shí)？

3、正、反歸一問題的相同點(diǎn)是：一般情況下第一步先求出單一量；不同點(diǎn)在第二步.正歸一問題是求幾個(gè)單一量是多少，反歸一是求包含多少個(gè)單一量。

（二）例題講解

例1.一只小蝸牛6分鐘爬行12分米，照這樣速度1小時(shí)爬行多少米？

分析： 為了求出蝸牛1小時(shí)爬多少米，必須先求出1分鐘爬多少分米，即蝸牛的速度，然后以這個(gè)數(shù)目為依據(jù)按要求算出結(jié)果。

解：①小蝸牛每分鐘爬行多少分米？ 12÷6=2（分米）

② 1小時(shí)爬幾米？1小時(shí)=60分。

2×60=120（分米）=12（米）答：小蝸牛1小時(shí)爬行12米。

還可以這樣想：先求出題目中的兩個(gè)同類量（如時(shí)間與時(shí)間）的倍數(shù)（即60分是6分的幾倍），然后用1倍數(shù)（6分鐘爬行12分米）乘以倍數(shù)，使問題得解。解：1小時(shí)=60分鐘 12×（60÷6）＝12×10＝120（分米）＝12（米）或 12÷（6÷60）＝12÷0.1=120（分米）=12（米）答：小蝸牛1小時(shí)爬行12米。

例2.一個(gè)糧食加工廠要磨面粉20000千克.3小時(shí)磨了6000千克.照這樣計(jì)算，磨完剩下的面粉還要幾小時(shí)？ 分析： 通過3小時(shí)磨6000千克，可以求出1小時(shí)磨粉數(shù)量.問題求磨完剩下的要幾小時(shí)，所以剩下的量除以1小時(shí)磨的數(shù)量，得到問題所求。解：（20000-6000）÷（6000÷3）=7（小時(shí)）答：磨完剩下的面粉還要7小時(shí)。

例3.學(xué)校買來一些足球和籃球.已知買3個(gè)足球和5個(gè)籃球共花了281元；買3個(gè)足球和7個(gè)籃球共花了355元.現(xiàn)在要買5個(gè)足球、4個(gè)籃球共花多少元？

分析： 要求5個(gè)足球和4個(gè)籃球共花多少元，關(guān)鍵在于先求出每個(gè)足球和每個(gè)籃球各多少元.根據(jù)已知條件分析出第一次和第二次買的足球個(gè)數(shù)相等，而籃球相差7-5＝2（個(gè)），總價(jià)差355-281＝74（元）.74元正好是兩個(gè)籃球的價(jià)錢，從而可以求出一個(gè)籃球的價(jià)錢，一個(gè)足球的價(jià)錢也可以隨之求出，使問題得解。解：①一個(gè)籃球的價(jià)錢：（355-281）÷（7-5）=37元 ②一個(gè)足球的價(jià)錢：（281-37×5）÷3＝32（元）③共花多少元？ 32×5＋37×4=308（元）答：買5個(gè)足球，4個(gè)籃球共花308元。

例4.一個(gè)長方體的水槽可容水480噸.水槽裝有一個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)排水管.單開進(jìn)水管8小時(shí)可以把空池注滿；單開排水管6小時(shí)可把滿池水排空.兩管齊開需多少小時(shí)把滿池水排空？

分析： 要求兩管齊開需要多少小時(shí)把滿池水排光，關(guān)鍵在于先求出進(jìn)水速度和排水速度.當(dāng)兩管齊開時(shí)要把滿池水排空，排水速度必須大于進(jìn)水速度，即單位時(shí)間內(nèi)排出的水等于進(jìn)水與排水速度差.解決了這個(gè)問題，又知道總水量，就可以求出排空滿池水所需時(shí)間。解：①進(jìn)水速度：480÷8=60（噸/小時(shí)）

②排水速度：480÷6=80（噸/小時(shí)）③排空全池水所需的時(shí)間：480÷（80-60）=24（小時(shí)）列綜合算式： 480÷（480÷6-480÷8）=24（小時(shí)）答：兩管齊開需24小時(shí)把滿池水排空。

例5.7輛“黃河牌”卡車6趟運(yùn)走336噸沙土.現(xiàn)有沙土560噸，要求5趟運(yùn)完，求需要增加同樣的卡車多少輛？ 分析： 要想求增加同樣卡車多少輛，先要求出一共需要卡車多少輛；要求5趟運(yùn)完560噸沙土，每趟需多少輛卡車，應(yīng)該知道一輛卡車一次能運(yùn)多少噸沙土。①一輛卡車一次能運(yùn)多少噸沙土？ 336÷6÷7=56÷7=8（噸）

②560噸沙土，5趟運(yùn)完，每趟必須運(yùn)走幾噸？ 560÷5＝112（噸）

③需要增加同樣的卡車多少輛？ 112÷8-7＝7（輛）

答：需增加同樣的卡車7輛。

三、教學(xué)練習(xí)

1、一批產(chǎn)品,28人25天可以生產(chǎn)完,生產(chǎn)5天后,此項(xiàng)任務(wù)要提前10天完成,應(yīng)增加_____人.2、某食堂存有16人可吃15天的米,16人吃了5天后,走了6人,余下的可吃_____天.1、小明3小時(shí)走6千米路，照這樣計(jì)算他7小時(shí)走了多少千米？

4、5輛載重量相同的卡車6趟運(yùn)走糧食300噸，照這樣計(jì)算，7輛這樣的卡車8趟運(yùn)糧食多少噸？如果倉庫有糧食1200噸，要求5次運(yùn)完，則須增加多少輛車？

5、媽媽買水果，如果她買了3斤蘋果和5斤荔枝，那么需要41元，如果買了6斤蘋果和5斤荔枝那么需要47元。媽媽現(xiàn)在買5斤蘋果和3斤荔枝共需要多少錢？

6、甲乙兩個(gè)修路隊(duì)4天修路770米，現(xiàn)在兩個(gè)修路隊(duì)同時(shí)修路，在相同的天數(shù)里，甲隊(duì)修路840米，乙隊(duì)修路700米，求甲乙兩隊(duì)每天各修路多少米。

四、教學(xué)小結(jié)

今天我們學(xué)習(xí)了什么？你都會了嗎？

五、教學(xué)拓展

1、某車間要加工一批零件，原計(jì)劃由18人，每天工作8小時(shí)，7.5天完成任務(wù).由于縮短工期，要求4天完成任務(wù)，可是又要增加6人.求每天加班工作幾小時(shí)？

2、甲、乙兩個(gè)打字員4小時(shí)共打字3600個(gè).現(xiàn)在二人同時(shí)工作，在相同時(shí)間內(nèi)，甲打字2450個(gè)，乙打字2050個(gè).求甲、乙二人每小時(shí)各打字多少個(gè)？

六、課后練習(xí)

1、加工一批39600件的大衣,30個(gè)人10天完成了13200件,其余的要求在15天內(nèi)完成,要增加_____人.2、54人12天修水渠1944米,如果人數(shù)增加18人,天數(shù)縮到原來的一半,可修水渠_____米.3、4輛大卡車5次運(yùn)煤80噸,3輛小卡車8次運(yùn)煤36噸.現(xiàn)在有煤77噸,用一輛大卡車和小卡車同時(shí)運(yùn)_____次運(yùn)完.4、個(gè)人10天修路840米,照這樣算,20人修4200米,要_____天.5、一列火車5小時(shí)行375千米，照這樣計(jì)算，8小時(shí)行多少千米？

6、一個(gè)車間要加工48個(gè)零件，4小時(shí)加工了24個(gè)，照這樣計(jì)算，加工完剩下的零件還要多少小時(shí)？

7、一個(gè)修路隊(duì)6人12天修路1440米，照這樣計(jì)算，20人修4800米要多少天？

8、一個(gè)水池可以容水360噸，水池裝有一根進(jìn)水管和一根出水管，單開進(jìn)水管，6小時(shí)可把空池注滿，單開排水管，9小時(shí)可把滿池水排空，如果兩管一齊開，需多少小時(shí)把空池注滿？

9、學(xué)校買來一些足球和排球，如果3個(gè)足球和4個(gè)排球，共需花費(fèi)196元，如果買3個(gè)足球和7個(gè)排球，共需花費(fèi)271元，現(xiàn)在要買4個(gè)足球和5個(gè)排球，共需多少錢。

10、小明和小華4分鐘共打字720個(gè)，現(xiàn)在2人同時(shí)打字，在相同時(shí)間內(nèi)，小明打字490個(gè)，小華打字410個(gè)，問小明和小華每分鐘各打字多少個(gè)？

第五篇：高數(shù)論文

高數(shù)求極限方法小結(jié)

高等數(shù)學(xué)是近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中應(yīng)用最廣泛的一門學(xué)科。在從初等數(shù)學(xué)這種靜態(tài)的數(shù)量關(guān)系的分析到高等數(shù)學(xué)這種對動態(tài)數(shù)量關(guān)系的研究這一發(fā)展過程中,研究對象發(fā)生了很大的變化。也正是在這一背景下,極限作為一種研究事物動態(tài)數(shù)量關(guān)系的方法應(yīng)運(yùn)而生。極限，在學(xué)習(xí)高數(shù)中具有至關(guān)重要的作用。眾所周知,高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是微積分,而極限又是微積分的基礎(chǔ),我們不難從此看出極限與高等數(shù)學(xué)之間的相關(guān)性。同時(shí)根限又將高等數(shù)學(xué)各重要內(nèi)容進(jìn)行了統(tǒng)一,在高等數(shù)學(xué)中起到了十分重要的作用。極限的概念是高等數(shù)學(xué)中最重要也是最基本的概念之一。作為研究分析方法的重要理論基礎(chǔ),它是研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和定積分的工具,極限的思想和方法也是微積分中的關(guān)鍵內(nèi)容。在理解的基礎(chǔ)上,熟練掌握求極限的方法,能夠提高高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)能力。下面，我總結(jié)了一些求極限的方法：

一、幾種常見的求極限方法

1、帶根式的分式或簡單根式加減法求極限：

1）根式相加減或只有分子帶根式：用平方差公式，湊平方（有分式又同時(shí)出現(xiàn)未知數(shù)的不同次冪：將未知數(shù)全部化到分子或分母的位置。）

2）分子分母都帶根式：將分母分子同時(shí)乘以不同的對應(yīng)分式湊成完全平方式。

2、分子分母都是有界變量與無窮大量加和求極限：

分子分母同時(shí)除以該無窮大量以湊出無窮小量與有界變量的乘積結(jié)果還是無窮小量。

3、等差數(shù)列與等比數(shù)列求極限：用求和公式。

4、分母是乘積分子是相同常數(shù)的n項(xiàng)的和求極限：列項(xiàng)求和。

5、分子分母都是未知數(shù)的不同次冪求極限:看未知數(shù)的次冪，分子大為無窮大，分子小為無窮小或須先通分。

6、利用等價(jià)無窮小代換： 這種方法的理論基礎(chǔ)主要包括：（1）有限個(gè)無窮小的和、差、積仍是無窮小。

（有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小。（3）非零無窮小與無窮大互為倒數(shù)。（等價(jià)無窮小代換（當(dāng)求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子與分母都可用等價(jià)無窮代替。）（5）只能在乘除時(shí)使用，但并不是在加減時(shí)一定不能用，但是前提必須證明拆開時(shí)極限依然存在。）還有就是，一些常用的等價(jià)無窮小換

7、洛必達(dá)法則：（大題目有時(shí)會有提示要你使用這個(gè)法則）

首先它的使用有嚴(yán)格的前提?。。?！

1、必須是X趨近而不是N趨近?。。。ㄋ援?dāng)求數(shù)列極限時(shí)應(yīng)先轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)的極限，當(dāng)然，n趨近是x趨近的一種情況而已。還有一點(diǎn)，數(shù)列的n趨近只可能是趨近于正無窮，不可能是負(fù)無窮）

2、必須是函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在！?。。偃绺嬖V你g（x），但沒告訴你其導(dǎo)數(shù)存在，直接用勢必會得出錯(cuò)誤的結(jié)果。）

3、必須是0/0型或無窮比無窮型！??！當(dāng)然，還要注意分母不能為零。洛必達(dá)法則分為三種情況： 1、0/0型或無窮比無窮時(shí)候直接用 2、0乘以無窮

無窮減無窮（應(yīng)為無窮大與無窮小成倒數(shù)關(guān)系）所以，無窮大都寫成無窮小的倒數(shù)形式了。通項(xiàng)之后就能變成1中的形式了。3、0的0次方

1的無窮次方

對于（指數(shù)冪數(shù)）方程，方法主要是取指數(shù)還是對數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來，就是寫成0與無窮的形式了。

（這就是為什么只有三種形式的原因）

8.泰勒公式

（含有e的x次方的時(shí)候，尤其是含有正余弦的加減的時(shí)候，特別要注意！?。。?/p>

E的x展開 sina展開 cosa展開 ln（1+x）展開 對題目簡化有很大幫助

泰勒中值定理：如果函數(shù)f（x）在含有n的某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)具有直到n+1階導(dǎo)數(shù)，則對任意x屬于（a，b），有：

F（x）=f（x0）+

+

+

…………

+

+Rn(X)

其中Rn(X)=。。。。。這里的 ke see 是介于x與x0之間的某個(gè)值。

9、夾逼定理

這個(gè)主要介紹的是如何用之求數(shù)列極限，主要看見極限中的通項(xiàng)是方式和的形式，對之縮小或擴(kuò)大。

10、無窮小與有界函數(shù)的處理方法

面對復(fù)雜函數(shù)的時(shí)候，尤其是正余弦的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時(shí)候，一定注意用這個(gè)方法。

面對非常復(fù)雜的函數(shù) 可能只需要知道他的范圍結(jié)果就出來了！?。?/p>

11、等比等差數(shù)列公式的應(yīng)用（主要對付數(shù)列極限）

（q絕對值要小于1）

12、根號套根號型：約分，注意??！別約錯(cuò)了

13、各項(xiàng)拆分相加：（來消掉中間的大多數(shù)）（對付的還是數(shù)列極限）

可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)。

14、利用兩個(gè)重要極限

這兩個(gè)極限很重要。。對第一個(gè)而言是當(dāng)X趨近于0的時(shí)候sinx比上x的值，第二個(gè)x趨近于無窮大或無窮小都有對應(yīng)的形式

15、利用極限的四則運(yùn)算法則來求極限

16、求數(shù)列極限的時(shí)候可以將其轉(zhuǎn)化為定積分來求。

17、利用函數(shù)有界原理證明極限的存在性，利用數(shù)列的逆推求極限

（1）、單調(diào)有界數(shù)列必有極限

（2）、單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限，單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限。

18、直接使用1求導(dǎo)的定義求極限

當(dāng)題目中告訴你F（0）=0，且F（x）的導(dǎo)數(shù)為0時(shí)，就暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)的定義：、（1）、設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在x在x0處取得增量的他x 時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)取得增量 的他y=f（的他x+x0）-f（x0）。如果 的他y與 的他x之比的極限存在，則稱函數(shù)y=f（x）在x0處可導(dǎo)并稱這個(gè)極限為這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

（2）、在某點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。

19、數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限求解

數(shù)列極限中是n趨近，面對數(shù)列極限時(shí)，先要轉(zhuǎn)化為x趨近的情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種形式而已，是必要條件。（還有數(shù)列的n當(dāng)然是趨近于正無窮的）