第一篇：變式問題教學(xué)的粗淺思考02

變式問題教學(xué)的粗淺思考02

三牧中學(xué)數(shù)學(xué)組

林山杰

“一題多解，解法優(yōu)化；一題多變，變中求同；多題一法，同模通法”是數(shù)學(xué)解題與習(xí)題教學(xué)中非常重要的教學(xué)方法，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的方法．對(duì)各個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)模塊，進(jìn)行這三個(gè)維度的探究教學(xué)，非常有益于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)．本文主要側(cè)重于思考與研究常見的幾何特征模型的一些變式問題的一些結(jié)論，并介紹一點(diǎn)對(duì)問題變式的改編方法的思考．①②③④⑤⑥←→

主題2：關(guān)于一些常見的含有平分角結(jié)構(gòu)的特征圖形的互逆命題組

問題2-1-1：如圖2-1-1，（點(diǎn)D在OA上），有三個(gè)命題：①AOB平分∠AOC，②BD∥OC，③ OD=DB．

則①②③知二可證其余，即①②→③，②③→①，①③→②．

DBO這三個(gè)問題顯然互為逆命題，且易證為真命題．可以簡(jiǎn)單歸納為“平分角”“平行”“等腰”知二可得第三．這三個(gè)命題的證明顯C然都是從角的等量關(guān)系來轉(zhuǎn)化．其中

圖2-1-1平分平行等腰現(xiàn)形OB平分?AOC?（等價(jià)于）?AOB=?BOC=?AOC2BD∥OC?（等價(jià)于）?DOB=?BOCOD=DB?（等價(jià)于）?DOB=?BOD（即?AOB）

而這三組“角的等量關(guān)系”，顯然可以從其中任意兩個(gè)推出第三個(gè)．證明思路中可以看出角的等量關(guān)系可以與線的位置關(guān)系（平行的三線八角結(jié)構(gòu)），線的數(shù)量關(guān)系（等邊對(duì)等角及等角對(duì)等邊）相互轉(zhuǎn)化．而幾何證明，線角是核心元素，線角轉(zhuǎn)化是重要方法技巧．

這個(gè)問題改變平行的位置特征，可以得到問題2-1-2：如圖A2-1-2，（點(diǎn)E在OA反向延長(zhǎng)線上），有三個(gè)命題：①OB平分∠圖2-1-2平分平行等腰現(xiàn)形AOC，②BO∥EC，③ OE=OC．

則①②③知二可證其余，即①②→③，②③→①，①③→②． BO

其證明思路與前一個(gè)問題幾乎完全相同，稍有一些小區(qū)別，需CE要用到三角形外角定理證明比較簡(jiǎn)潔點(diǎn)．

問題2-2：如圖2-2，（點(diǎn)D在BC上），有四個(gè)命題：①AB=ACA（它等價(jià)于∠B=∠C，只寫出其中一個(gè)），②AD⊥BC于D，③ BD=CD，④ AD平分∠BAC．

顯然這個(gè)圖形中，①②③④知二可證其余．其中①②→③④，①④→②③，①③→②④，就是三線合一定理．而②③→①是根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)定理，于是再用三線合一可以推出④．

1BDC圖2-2等腰三角形三線合一第五個(gè)真命題：②④→①③，只需AAS證明△ABD≌△ACD，前面四個(gè)命題也是證明這兩個(gè)三角形全等，只不過前面四個(gè)有教材的定理體系，可以直接使用有關(guān)結(jié)論．第五個(gè)命題不是定理．

第六個(gè)真命題：②③→①④本質(zhì)也是證明這兩個(gè)三角形全等，只是所給條件滿足SSA，不能直接證明，需要添輔助線來構(gòu)造新的全等，最后轉(zhuǎn)化出所證問題．有常見的幾種證明方法．

方法1：由③AD平分∠BAC的條件，構(gòu)造角平分線上的點(diǎn)D到A角兩邊的垂線段DH，DG．則DH=DG，接下來HL證明△BDH≌△CDG，從而∠B=∠C，等角對(duì)等邊推出AB=AC，于是轉(zhuǎn)化為前面的問題．

HG方法2（等面積法證明角平分線的另一個(gè)定理，教材中已經(jīng)刪去）：輔助線同方法1，得出DH=DG，從而(S[△ABD]/S[△BCDACD])=(AB/AC)．又△ABD與△ACD等底同高，得出(S[△ABD]/S[△圖2-2等腰三角形三線合一ACD])=(BD/DC)．所以(AB/AC)=(BD/DC)．再由②BD=CD知AB=AC，余下證明略．

A方法3：由②BD=CD可以構(gòu)造倍長(zhǎng)中線的全等三角形結(jié)構(gòu)．即SAS證明△A’BD≌△ACD，從而∠BA’D=∠CAD=∠BAD，所以AB=A’B=CA，余下證明略．

方法4：輔助線圖形同方法3，但是輔助線的作法不同．過B作AC的平BCD行線與AD的延長(zhǎng)線相交于A’，則由平行+平分角結(jié)構(gòu)得出等腰AB=A’B，再由平行+平分線結(jié)構(gòu)得出△A’BD≌△ACD（AAS或ASA），其余證明略．

A' A O"問題2-3：如圖2-3，在四邊形CPOQ中，①OC平分∠

POQ，②CP=CQ，③∠CPQ+∠CQO=180°（等價(jià)于∠QCP+Q'∠QOP=180°）G由①②可知△OPC與△OQC滿足SSA．若OP=OQ，PC則二者全等，此時(shí)P與Q關(guān)于OC對(duì)稱．若OP≠OQ，則

二者不全等，即為SSA的反例圖形．下面研究下這個(gè)四邊P'B形CPOQ在如圖所示條件（OP≠OQ）下的互逆命題組，即

O'OQH①②③知二可證其余，即①②→③，②③→①，①③→②．

圖2-3 SSA的反例四邊形命題1：①②→③簡(jiǎn)證如下：構(gòu)造輔助線CG，CH，根

據(jù)角平分線的性質(zhì)定理（本質(zhì)是AAS證明△OCG≌△OCH）由①推出GG=CH，根據(jù)HL證明△CPG≌△CQH，從而得出∠CPG=∠CQH，從而∠CPQ+∠CQO=180°．

命題2：②③→①簡(jiǎn)證：相同的輔助線，先證△CPG≌△CQH，再用角平分線的判定定理（本質(zhì)是HL證明Rt△OCG≌Rt△OCH）推出①OC平分∠POQ．

命題3：①③→②簡(jiǎn)證：相同的輔助線，先證GG=CH，再根據(jù)AAS證明△CPG≌△CQH，余下證明略．

我們發(fā)現(xiàn)這三個(gè)命題的證明思路本質(zhì)是一樣的，證明兩對(duì)三角形全等，只是證明全等的方法路徑順序有所改變而已．

這個(gè)四邊形很重要，在許多常見的問題中都會(huì)見到它的身影，這是后話．

另外還可以應(yīng)用圓的知識(shí)來證明有關(guān)結(jié)論，略去．只是教材中缺乏“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四頂點(diǎn)共圓”的結(jié)論．還要注意這個(gè)四邊形與等腰△COO’的轉(zhuǎn)化，以及OQ + OP =2OH，OQ-OP =2QH．

問題2-4，如圖2-3，在四邊形ABCD中，F(xiàn)在邊CD上，①BC∥AD，②BF平分∠ABC，③AF平分∠BAC，④BF⊥AF，⑤ CF=DF，⑥BC+AD=AB．這個(gè)圖形存在一系列知道三個(gè)條件可以推出其余三個(gè)結(jié)論的命題，他們是否都是真命題？其中有這幾個(gè)是假命題：①④⑥→②③⑤，反例圖形如四邊形ABC’D’； ②④⑥→ ①③⑤，反例圖形是ABCD’；③④⑥→ ①②⑤，反例圖形是ABC’D；其他的命題都是真命題；其中①②③④四個(gè)命題知三可以推出第四個(gè)．

命題1：①②③→④⑤⑥簡(jiǎn)證如下：顯然兩平行直線AD，BC被AB所截得的同旁內(nèi)角的平分線BF與AF互相垂直，利用等式性質(zhì)對(duì)角的等量關(guān)系進(jìn)行變形可得．延長(zhǎng)BF，AD交于點(diǎn)G，由平行平分角結(jié)構(gòu)可以推出等腰AB=AG．在等腰△ABG中利用三線合一結(jié)構(gòu)（本質(zhì)是△AFB≌△AFG）得出BF=FG．再由平行平分線結(jié)構(gòu)推出△CFB≌△DFG，從而CF=FD．

命題2：①②④→③⑤⑥簡(jiǎn)證如下：①②④→③，問題轉(zhuǎn)化為命題1． 命題3：①③④→②⑤⑥，同命題2思路． 命題4：②③④→①⑤⑥，同命題2思路．

命題5：①②⑤→③④⑥簡(jiǎn)證思路：①⑤平行平分線結(jié)構(gòu)推出△CFB≌△DFG，①②平行平分角結(jié)構(gòu)可以推出等腰AB=AG，在等腰△ABG中利用三線合一結(jié)構(gòu)得出BF⊥AF，其余問題略．

命題6：①②⑥→③④⑤簡(jiǎn)證思路：在AB上截取BE=BC，連接EF．②的條件得出軸對(duì)稱全等△BCF≌△BEF，再導(dǎo)角證明∠AEF=180°－∠BEF=180°－∠BCF=∠ADF，從而SAS證明△AFE≌△AFD．

命題7：①③⑤→②④⑥，由條件的對(duì)稱性知，同命題5． 命題8：①③⑥→②④⑤，由條件的對(duì)稱性知，同命題6． 其他真命題的本質(zhì)都是證明其中四對(duì)全等△AFB≌△AFG，△CFB≌△DFG，△BCF≌△BEF，△AFE≌△AFD，中有兩對(duì)成立．留待讀者自己思考，有個(gè)別題目需要設(shè)法繞開SSA的障礙或者證明三點(diǎn)共線．

當(dāng)條件強(qiáng)化為直角梯形的圖形時(shí)，所有命題都成立．

感悟：逆向思維帶來的逆問題變式可以產(chǎn)生很多有意義的問題．但是有些圖形的情況某些逆命題比較難，可以適當(dāng)向?qū)W生介紹統(tǒng)一法和反證法．這樣的例子后面的總結(jié)文章再介紹．

通過總結(jié)常見的基本結(jié)構(gòu)，在問題2-4中，我的思考模式都是模塊化的思路．如何培養(yǎng)學(xué)生這種思維能力是很值得推敲的教學(xué)問題，需要在教學(xué)實(shí)踐中慢慢思考總結(jié)． 一個(gè)圖形的互逆命題組放在一個(gè)整體來考慮它們圖形與思路的共性，是把局部問題放在整體來思考的研究路徑，有一定的價(jià)值．如果因此產(chǎn)生思維定式的局限，說明研究的問題還達(dá)不到足夠的高度與廣度．需要在學(xué)習(xí)中不斷突破，總結(jié)提升．

一些常見的特征圖形，這樣的學(xué)習(xí)思考有助于鞏固基礎(chǔ)．但是生僻的圖形結(jié)構(gòu)這樣的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生來說有些費(fèi)力不討好．

第二篇：變式教學(xué)

?

怎樣進(jìn)行變式教學(xué)

變式教學(xué)是指在教學(xué)過程中通過變更概念非本質(zhì)的特征、改變問題的條件或結(jié)論、轉(zhuǎn)換問題的形式或內(nèi)容，有意識(shí)、有目的地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究 “變”的規(guī)律的一種教學(xué)方式。數(shù)學(xué)變式教學(xué)是通過一個(gè)問題的變式來達(dá)到解決一類問題的目的，對(duì)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，掌握數(shù)學(xué)“雙基”，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，形成積極的情感態(tài)度，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力都具有很好的積極作用。

一、類比變式，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的含義

初中數(shù)學(xué)具有一定的抽象性，許多數(shù)學(xué)概念概括性比較強(qiáng)，學(xué)生理解非常困難；有些知識(shí)包含了隱性內(nèi)容，有僅僅依靠老師的情景創(chuàng)設(shè)和知識(shí)講解學(xué)生可能無法全面理解數(shù)學(xué)的內(nèi)涵的，所以需要運(yùn)用更加豐富的教學(xué)手段幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)。

例如在學(xué)習(xí)“分式的意義”時(shí)，一個(gè)分式的值為零是包含兩層含義：(1)分式的分子為零(2)分母不為零。因此，如果僅有“當(dāng)x為何值時(shí)分式 的值為零”，此類簡(jiǎn)單模仿性的問題，學(xué)生對(duì)“分子為零且分母不為零”這個(gè)條件還是很不清晰的，考慮“分母不為零” 意識(shí)還不會(huì)很強(qiáng)。但如果以下的變形訓(xùn)練，教學(xué)效果會(huì)大不相同：

變形1：當(dāng)x______時(shí)，分式 的值為零？

變形2：當(dāng)x______時(shí)，分式 的值為零？

變形3：當(dāng)x______時(shí)，分式 的值為零？ 通過以上的變形，可以對(duì)概念的理解逐漸加深，對(duì)概念中本質(zhì)的東西有個(gè)非常清晰的認(rèn)識(shí)，因此，數(shù)學(xué)變式教學(xué)有助于養(yǎng)成學(xué)生深入反思數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣，善于抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)和規(guī)律，探索相關(guān)數(shù)學(xué)問題間的內(nèi)涵聯(lián)系以及外延關(guān)系。

二、模仿變式，更快熟悉數(shù)學(xué)的基本方法

數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要內(nèi)容，而這些數(shù)學(xué)方法的掌握往往需要通過適當(dāng)改變問題的背景或者提問方式，通過模仿訓(xùn)練來熟悉。所以，在教學(xué)中通過精心設(shè)計(jì)變式問題，或挖掘教材自身的資源可以更快地幫助學(xué)生熟悉數(shù)學(xué)的基本方法。

例如人教版課標(biāo)教材八年級(jí)《數(shù)學(xué)》（上）中，為了使學(xué)生更好地掌握三角形全等的判定的“SSS”方法的運(yùn)用，就很好地采用了變式教學(xué)的設(shè)計(jì)形式。

（1）如圖(1)，△ABC是一個(gè)鋼架，AB=AC，AD是連接點(diǎn)A和BC的中點(diǎn)D的支架，求證：△ABD≌△ACD；（例題1）

（2）如圖(2)，AB=AD,CB=CD,△ABC與△ADC全等嗎？(習(xí)題13.2中的復(fù)習(xí)鞏固)（3）如圖(3)，C是AB的中點(diǎn)，AD=CE,CD=BE，求證△ACD≌△CBE；(習(xí)題13.2中的復(fù)習(xí)鞏固)（4）如圖(4)，B、E、C、F在一條直線上，AB=DE,AC=DF,BE=CF.求證∠A＝∠D.(習(xí)題13.2中的綜合運(yùn)用)教材中為了讓學(xué)生掌握“SSS”方法，首先安排了（1）中的簡(jiǎn)單訓(xùn)練，其中全等的兩個(gè)三角形有公共邊的三角形，相等關(guān)系較為直接，只要驗(yàn)證全等的條件是否齊全、是否對(duì)應(yīng)即可以；而（2）則是例1的圖形略為變形，旨在增強(qiáng)學(xué)生針對(duì)圖形變化應(yīng)注意全等條件的驗(yàn)證意識(shí)；（3）、（4）中的兩個(gè)三角形雖然已經(jīng)一對(duì)邊之間有直接關(guān)系，但其中一對(duì)邊的相等關(guān)系需要經(jīng)過簡(jiǎn)單的推理而得到，難度有所加強(qiáng)，對(duì)學(xué)生是否掌握“SSS”方法的要求更高。這樣的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生通過模仿逐步掌握數(shù)學(xué)的基本方法，對(duì)初中學(xué)生有著更普遍的意義。

三、階梯變式，訓(xùn)練中總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律

初中數(shù)學(xué)內(nèi)容的形式化趨勢(shì)比較明顯，而學(xué)生的對(duì)形式化的數(shù)學(xué)知識(shí)理解普遍感到困難，對(duì)某些規(guī)律的形式化的歸納往往更是無從下手，所以，適當(dāng)?shù)貜膶W(xué)生的實(shí)際出發(fā)，設(shè)計(jì)變式教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生從變式問題中“變化量”的相互關(guān)系中，幫助學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律。

例如人教版課標(biāo)教材九年級(jí)《數(shù)學(xué)》（下）關(guān)于二次函數(shù)y=ax2的圖像的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)、開口等變化規(guī)律與a的取值的的關(guān)系時(shí)就是采用變式教學(xué)的形式，讓學(xué)生通過類比推理總結(jié)出這類函數(shù)的性質(zhì)的規(guī)律的。

首先，用描點(diǎn)法分別畫出兩個(gè)簡(jiǎn)單的二次函數(shù)“y= x2”和“ y=2x2”的圖像，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察它們與“y=x2”的圖像的不同點(diǎn)、共同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：

（1）三個(gè)函數(shù)對(duì)稱軸都是y軸；（2）三個(gè)函數(shù)的頂點(diǎn)都是原點(diǎn)；（3）開口均向上。

其次，進(jìn)行變式后再嘗試驗(yàn)證。同樣用描點(diǎn)法別畫出兩個(gè)簡(jiǎn)單的二次函數(shù)“y=-x2”、“y=-x2”、“ y=-2x2”的圖像引導(dǎo)學(xué)生通過觀察它們與圖像的不同點(diǎn)、共同點(diǎn)的系數(shù)的可以引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證上述結(jié)論，發(fā)現(xiàn)（1）、（2）依然成立，而（3）有了不同的變化，就是拋物線的開口方向?qū)嶋H上與函數(shù)中系數(shù)的正負(fù)有關(guān)，當(dāng)a＞0時(shí)，開口向上；當(dāng)a＜0時(shí)開口向下。

這樣，因?yàn)樾枰獙?duì)圖形的幾何性質(zhì)等規(guī)律性知識(shí)進(jìn)行總結(jié)或驗(yàn)證時(shí)，從簡(jiǎn)單的一類問題開始進(jìn)行變式，借助變式教學(xué)的方法可以很好地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，數(shù)學(xué)中其它規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證都可以使用變式教學(xué)。

四、拓展變式，有利于學(xué)生形成數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系

數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系往往不是十分明顯，經(jīng)常隱藏于例題或習(xí)題之中，教學(xué)中如果重視對(duì)課本例題和習(xí)題的“改裝”或引申，進(jìn)行必要的挖掘，即通過一個(gè)典型的例題進(jìn)行拓展，最大可能的覆蓋知識(shí)點(diǎn)，把分散的知識(shí)點(diǎn)串成一條線，往往會(huì)起到意想不到的效果，有利于學(xué)生知識(shí)的建構(gòu)。

? 例如下面問題可以進(jìn)行充分運(yùn)用會(huì)有更加意想不到的效果：

如圖

（一）在DABC中，?/SPAN>B=?/SPAN>C，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，DE^AC，DF^AB，垂足分別是E、F，AB=10cm，DE=5cm，DF=3 cm，求（1）SDABC。（2）AB上的高。

上題通過連接AD分割成兩個(gè)以腰為底的三角形即可求解SDABC=40 cm2 ；借助于添加AB上的高CH，利用面積公式和第一題的結(jié)論，不難求的AB上的高為8cm。我在教學(xué)中并未把求得結(jié)論作為終極目標(biāo)，而是繼續(xù)問：3+5=8，在此題中是否是一個(gè)巧合？探究DE、DF、CH之間的內(nèi)在聯(lián)系，（引導(dǎo)學(xué)生猜想CH=DE+DF）。

引出變式題（1）如圖

（二）在DABC中，?/SPAN>B=?/SPAN>C，點(diǎn)D是邊BC上的任一點(diǎn)，DE^AC，DF^AB，CH^AB，垂足分別是E、F、H，求證：CH=DE+DF 在計(jì)算例題的基礎(chǔ)上，學(xué)生已經(jīng)具有了用面積的不同求法把各條垂線段聯(lián)系起來的意識(shí)，此題的證明很容易解決。

在學(xué)生思維的積極性充分調(diào)動(dòng)起來的此時(shí)，我又借機(jī)給出變式（2）如圖

（三）在等邊DABC中，P是形內(nèi)任意一點(diǎn)，PD^AB于D，PE^BC于E，PF^AC于F，求證PD+PE+PF是一個(gè)定值。通過這組變式訓(xùn)練，面積法在幾何計(jì)算和證明中的應(yīng)用得到了很好的體現(xiàn)，同時(shí)這一組變式訓(xùn)練經(jīng)歷了一個(gè)特殊到一般的過程，有助于深化、鞏固知識(shí)，學(xué)生猜想、歸納能力也有了進(jìn)一步提高，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)和探究意識(shí)。

五、背景變式，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練

在解題教學(xué)的思維訓(xùn)練中，通過改變問題背景進(jìn)行變式訓(xùn)練是一種很有效的方法。通過從不同角度去改變題目，通過解題后的反思，歸納出同一類問題的解題思維的形成過程與方法的采用，通過改變條件，可以讓學(xué)生對(duì)滿足不同條件的情況作出正確的分析，通過改變結(jié)論等培養(yǎng)學(xué)生推理、探索的思維能力，使學(xué)生的思維更加靈活性和嚴(yán)密性。

例如：已知等腰三角形的腰長(zhǎng)是5，底長(zhǎng)為6，求周長(zhǎng)。我們可以將此例題進(jìn)行一題多變。

變式1：已知等腰三角形一腰長(zhǎng)為5，周長(zhǎng)為16，求底邊長(zhǎng)。變式2：已等腰三角形一邊長(zhǎng)為5；另一邊長(zhǎng)為

6，求周長(zhǎng)。

變式3：已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為2，另一邊長(zhǎng)為16，求周長(zhǎng)。

變式4：已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為x，求底邊長(zhǎng)y的取值范圍。

變式5：已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為x，底邊長(zhǎng)為y，周長(zhǎng)是16。請(qǐng)先寫出二者的函數(shù)關(guān)系式，再在平面直角坐標(biāo)內(nèi)畫出二者的圖象。

變式1是在原問題的基礎(chǔ)上訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維能力，變式2與前兩題相比需要改變思維策略，進(jìn)行分類討論，而變式3中的“5”顯然只能為底的長(zhǎng)，否則與三角形兩邊之和大于第三邊相矛盾，這有利于培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)密性，變式4與前面相比，要求又提高了，特別是對(duì)條件0﹤y﹤2x的理解運(yùn)用，是完成此問題的關(guān)鍵。通過問題的層層變式，學(xué)生對(duì)三邊關(guān)系定理的認(rèn)識(shí)又深了一步，有利于培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般，從具體到抽象地分析問題、解決問題；通過例題解法多變的教學(xué)則有利于幫助學(xué)生形成思維定勢(shì)，而又打破思維定勢(shì)，有利于培養(yǎng)思維的靈活性和嚴(yán)密性。

變式教學(xué)實(shí)際上是在教學(xué)中根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)要求、授課對(duì)象、數(shù)學(xué)教材內(nèi)容和教學(xué)環(huán)境形成的一種教學(xué)方法。變式教學(xué)是一種教學(xué)形式,要想它能取得較好的課堂教學(xué)效益，必須充分考慮上述教學(xué)因素；變式教學(xué)就是外因，學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)則是內(nèi)因，變式教學(xué)能為學(xué)生提供更多的主動(dòng)參與學(xué)習(xí)的時(shí)間、空間,促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)化的機(jī)會(huì)。

第三篇：變式教學(xué)釋義

變式教學(xué)釋義

1引言

在新課程標(biāo)準(zhǔn)的指引下，數(shù)學(xué)教學(xué)方法也在不斷改進(jìn)、創(chuàng)新。數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)局限于一個(gè)狹窄的課本知識(shí)領(lǐng)域里，應(yīng)該是讓學(xué)生對(duì)知識(shí)和技能初步理解與掌握后，進(jìn)一步的深化和熟練，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)運(yùn)用課本的知識(shí)舉一反三，應(yīng)用數(shù)學(xué)“變式教學(xué)”的方法是十分有效的手段。所謂“變式”，就是指教師有目的、有計(jì)劃地對(duì)命題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化。即教師可不斷更換命題中的非本質(zhì)特征；變換問題中的條件或結(jié)論；轉(zhuǎn)換問題的內(nèi)容和形式；配置實(shí)際應(yīng)用的各種環(huán)境，但應(yīng)保留好對(duì)象中的本質(zhì)因素，從而使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性。在學(xué)校做了幾年的數(shù)學(xué)教師，下面我結(jié)合自己的教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)變式教學(xué)談幾點(diǎn)看法。

變式教學(xué)的原則

1.1 針對(duì)性原則 數(shù)學(xué)課通常有新授課、習(xí)題課和復(fù)習(xí)課，數(shù)學(xué)變式教學(xué)中遇到最多的是概念變式和習(xí)題變式。對(duì)于不同的授課，變式教學(xué)服務(wù)的對(duì)象也應(yīng)不同。例如，新授課的習(xí)題或概念變式應(yīng)服務(wù)于本節(jié)課的教學(xué)目的；習(xí)題課的習(xí)題變式應(yīng)以本章節(jié)內(nèi)容為主，適當(dāng)滲透一些數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法；復(fù)習(xí)課的習(xí)題變式不但要滲透數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，還要進(jìn)行縱向和橫向的聯(lián)系。

1.2 適用性原則 選擇課本內(nèi)容進(jìn)行變式，不能“變”得過于簡(jiǎn)單，過于簡(jiǎn)單的變式題對(duì)學(xué)生來說是重復(fù)勞動(dòng)，學(xué)生思維的質(zhì)量得不到很好的提高；也不能“變”得過于難，難度太大容易挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，起不到很好的教學(xué)效果。因此在選擇課本習(xí)題進(jìn)行變式時(shí)要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，在適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)變式。

1.3 參與性原則 在變式教學(xué)中，教師不能總是自己變題，然后讓學(xué)生練，要鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與變題，然后再練習(xí)，這樣能更好鍛煉學(xué)生的思維能力。

變式教學(xué)的方法

下面舉一些具體的例子，談?wù)勛兪浇虒W(xué)的方法。

2.1 變換條件或結(jié)論 變換條件或結(jié)論是將原題的條件或結(jié)論進(jìn)行變動(dòng)或加深，但所用的知識(shí)不離開原題的范圍。

在學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，老師可以講解這樣的例題：判斷函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。y=x2，x∈(0，+∞)。變式1：y=x2，x∈（-∞，0）可讓學(xué)生練習(xí)。變式2：y=x2，將后面的條件都去掉，問學(xué)生此時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，學(xué)生要認(rèn)真思考，會(huì)發(fā)現(xiàn)此時(shí)這個(gè)函數(shù)不具備單調(diào)性。又如在三角函數(shù)中，已知cosα=-，<α<π，求α的其他三角函數(shù)值。已知了α的范圍，相對(duì)來說解題比較簡(jiǎn)單。如果作這樣的變式：已知cosα=-，求α的其他三角函數(shù)值，改變后的題少了一個(gè)條件，角α的范圍，這樣就要分情況討論了。這樣的變式可以讓學(xué)生接觸到同一類型題的不同情況，有利于學(xué)生更全面的掌握所學(xué)知識(shí)。

2.2 條件一般化 條件一般化是指將原題中特殊條件，改為具有普遍性的條件，使題目具有一般性，這是設(shè)計(jì)變式題經(jīng)?？紤]的一種方法。

已知拋物線的方程是y2=4x，在曲線上求一點(diǎn)M（x，y），使它到原點(diǎn)的距離最短。變式1：已知拋物線的方程是y2=4x，在曲線上求一點(diǎn)M（x，y），使它到點(diǎn)A（a，0）的距離最短。變式2：已知拋物線的方程是y2=2px，在曲線上求一點(diǎn)M（x，y），使它到原點(diǎn)的距離最短。

這種變式將特殊的條件變得更一般，符合由特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律，學(xué)生容易接受。

2.3 聯(lián)系實(shí)際 聯(lián)系實(shí)際是將數(shù)學(xué)問題與日常生活中常見的問題聯(lián)系起來，這要求教師要有豐富的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，教師在教學(xué)過程中，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情景，引起或指引學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想，讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)與生活是緊密聯(lián)系，不可分割的，很多數(shù)學(xué)問題在生活中都能找到模型。通過聯(lián)系實(shí)際的變式教學(xué)來提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

已知拋物線的焦點(diǎn)是F（0，8），準(zhǔn)線方程是y=8，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。這是完完全全的數(shù)學(xué)問題，可將這類題變式為：橋洞是拋物線拱形，當(dāng)水面寬4米時(shí)，橋洞高2米，當(dāng)水面下降1米后，水面的寬是多少？

這樣與實(shí)際結(jié)合的變式練習(xí)，能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而更好的達(dá)到教學(xué)目的。

變式教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

3.1 運(yùn)用變式教學(xué)能促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。課堂教學(xué)效果很大程度上取決于學(xué)生的參與情況，這就首先要求學(xué)生有學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，有了學(xué)習(xí)主動(dòng)性才能積極參與學(xué)習(xí)。增強(qiáng)學(xué)生在課堂中的主動(dòng)學(xué)習(xí)意識(shí)，使學(xué)生真正成為課堂的主人，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的趨勢(shì)。變式教學(xué)使一題多用，多題重組，給人一種新鮮、生動(dòng)的感覺，能喚起學(xué)生的好奇心和求知欲，因而能夠產(chǎn)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)的動(dòng)力，保持其參與教學(xué)活動(dòng)的興趣和熱情

3.2 運(yùn)用變式教學(xué)能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。創(chuàng)新，即通過舊的知識(shí)，新的組合，得出新的結(jié)果的過程?！靶隆笨梢允桥c別人不一樣的，也可以是自己新的提高，它突出與眾不同。創(chuàng)新學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生的“問題’意識(shí)，學(xué)生有疑問，才會(huì)去思考，才能有所創(chuàng)新。在課堂中運(yùn)用變式教學(xué)可以引導(dǎo)學(xué)生多側(cè)面，多角度，多渠道地思考問題，讓學(xué)生多探討，多爭(zhēng)論，能有效地訓(xùn)練學(xué)生思維創(chuàng)造性，大大地激發(fā)了學(xué)生的興趣，從而培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力。

3.3 運(yùn)用變式教學(xué)能培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。變式教學(xué)變換問題的條件和結(jié)論，變換問題的形式，但不改變問題的本質(zhì)，使本質(zhì)的東西更全面。使學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)不只是停留于事物的表象，而能自覺地從本質(zhì)看問題，同時(shí)學(xué)會(huì)比較全面地看問題，注意從事物之間的聯(lián)系的矛盾上來理解事物的本質(zhì)，在一定程度上可以克服和減少思維僵化及思維惰性，從而可以更深刻地理解課堂教學(xué)的內(nèi)容。

變式教學(xué)可以讓教師有目的、有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，可以幫助學(xué)生使所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，從而讓學(xué)生在無窮的變化中領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。總之，在新課標(biāo)下的教師要不斷更新觀念，因材施教，繼續(xù)完善好“變式”教學(xué)模式，最終達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量的目的，并為學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)打下良好的基礎(chǔ)。

第四篇：變式教學(xué)讀后感（推薦）

變式教學(xué)研究讀后感

對(duì)于一個(gè)毫無毫無教學(xué)經(jīng)歷并且對(duì)變式教學(xué)一無所知的我來說,想要讀懂看懂這篇文章無疑是難如登天。在這里，我就大膽的寫下我閱讀時(shí)的聯(lián)想和感想。

文章的開始比較了中國(guó)、日本和美國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就，有些西方學(xué)者認(rèn)為中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)是“被動(dòng)灌輸”和“機(jī)械訓(xùn)練”的，也有少數(shù)西方學(xué)者認(rèn)為中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)是精心設(shè)計(jì)的而并非是機(jī)械的單純講授式的。我從小學(xué)到大學(xué)都接受著傳統(tǒng)的中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)，我認(rèn)為它就是一門藝術(shù)，一門科學(xué)藝術(shù)，老師對(duì)課堂教學(xué)的精心設(shè)計(jì)，使得知識(shí)更加容易被理解掌握。

對(duì)于變式，我之前的認(rèn)識(shí)僅僅就是中學(xué)數(shù)學(xué)題目里的變式

一、變式二等。如，二次函數(shù)定義式的變式：

2f(x)?ax?bx?c，其中a,b,c為常數(shù)且a?0。二次函數(shù)定義式：

2f(x)?a(x?m)?n,其中a，m,n為常數(shù)且a?0，(m,n)為其圖像的頂變式一：點(diǎn)。

變式二：個(gè)根。

變式一和變式二的靈活運(yùn)用為我們的解題帶來的極大的便利，相信這種經(jīng)驗(yàn)大家都是親身感受過的。

到底什么是變式呢？百度百科如是說:變式一是指通過變更對(duì)象的非本質(zhì)特征以突出對(duì)象的本質(zhì)特征而形成的表現(xiàn)形式。二是指通過變更對(duì)象的本質(zhì)特征以突出對(duì)象的非本質(zhì)特征，從而顯示概念的內(nèi)涵發(fā)生了變化。它的特點(diǎn)就是變更人們觀察事物的角度或方法，以突出對(duì)象的本質(zhì)特征，突出那些隱蔽的本質(zhì)要素。

在學(xué)習(xí)過程中,老師反復(fù)強(qiáng)調(diào)要舉一反三,只有通過舉一反三，我們才能觸類旁通。而且通過老師精心挑選的的變式題,使我們免于“題海戰(zhàn)術(shù)”的折磨，從而減輕了我們的負(fù)擔(dān)，同時(shí)讓我們深化了對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解。另外,無論中考高考還是其他的一些考試都要根據(jù)考試大綱出題,而這些考試題目也就是我們課本例題和練習(xí)題的變式,因此變式教學(xué)也是一種高f(x)?a(x?x1)(x?x2)，其中a?0，x1、x22是方程ax?bx?c?0的兩效的應(yīng)試教學(xué)模式。

然而，說到中國(guó)教育的不足，文中也提到中國(guó)學(xué)生在解決應(yīng)用性和開放性等問題上不盡人意，這也是我國(guó)教育不能忽視的問題。因此培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和實(shí)際問題的解決能力是我國(guó)教育努力的方向。老師要拋給學(xué)生一些問題但不直接給予答案，讓學(xué)生根據(jù)問題自己動(dòng)手實(shí)踐、分析探究，自行提取信息，互相交流討論并最終解決問題。在這一環(huán)節(jié)中還應(yīng)注重學(xué)生與學(xué)生，學(xué)生與教師之間的相互協(xié)作關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的人際交往能力以及合作的意識(shí)和能力。現(xiàn)在的社會(huì)是團(tuán)結(jié)合作共同發(fā)展的社會(huì)，學(xué)習(xí)上也要發(fā)展分享和合作的團(tuán)隊(duì)精神。

閱讀了這篇文章之后，對(duì)于我自己，我有以下收獲：對(duì)變式有了進(jìn)一步的表面認(rèn)識(shí)。變式有概念性變式（使學(xué)生獲得對(duì)概念的多角度理解）和過程性變式，其中概念變式又分為標(biāo)準(zhǔn)變式和非標(biāo)準(zhǔn)變式，我想對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)師范生來說，這些變式本質(zhì)和作用的清楚理解以及合理運(yùn)用理應(yīng)是我們必備的技能。但對(duì)于目前的我們來說，去理解這樣的一篇文章都有很大的難度，可見我們專業(yè)知識(shí)的匱乏。而且，隨著教學(xué)模式的進(jìn)一步發(fā)展和改革，未來，我們需要學(xué)習(xí)和掌握的理論也會(huì)不斷增加，并且要懂得將理論用于實(shí)踐中去。教育是一門科學(xué)藝術(shù)，想要教書育人，我們必須要有真材實(shí)料并堅(jiān)持持之以恒地學(xué)習(xí)。

第五篇：巧用變式解決數(shù)學(xué)問題)

巧用變式解決數(shù)學(xué)問題

變式訓(xùn)練是我們經(jīng)常用的一種教學(xué)方式，它從多個(gè)方面鍛煉學(xué)生的思維。在教學(xué)過程中，有些知識(shí)比較抽象，學(xué)生難以理解，不容易接受，要想幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，需要因勢(shì)利導(dǎo)的利用變式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納、概括的能力。利用變式訓(xùn)練，可以把一些看似孤立的問題從不同角度整合起來，并形成一個(gè)規(guī)律，幫助學(xué)生在解答問題的過程中去尋找解決類似問題的思路、方法，有意識(shí)地展現(xiàn)教學(xué)過程中教師與學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過程，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)地參與教學(xué)的全過程，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析和解決問題的能力，以及大膽創(chuàng)新、勇于探索的精神，從而真正把學(xué)生能力的培養(yǎng)落到實(shí)處。學(xué)生也不需要大量、重復(fù)地做同一樣類型的題目，為學(xué)生節(jié)約很多時(shí)間，實(shí)現(xiàn)真正的減負(fù)與增效。

變式訓(xùn)練能通過一個(gè)問題解決一類問題，變式訓(xùn)練其實(shí)就是適當(dāng)?shù)母淖儐栴}題目或者結(jié)論改變學(xué)生的思維角度，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力，通過例題的層層變式，引導(dǎo)學(xué)生從不同途徑尋求解決問題的方法。通過多想、多疑、多練等激發(fā)學(xué)生思維的積極性和深刻性。

變式訓(xùn)練是我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中采用得最多的一種策略，變式訓(xùn)練最常用的類型有：多變條件式，多解結(jié)論式。通過改變條件、問題、結(jié)論等的變式教學(xué)，讓學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)問題之間的區(qū)別和聯(lián)系，拓展學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)變能力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。設(shè)計(jì)通過改變條件、改變問題、改變情景，一題多變，讓學(xué)生有更多的思考空間，有更多的機(jī)會(huì)發(fā)現(xiàn)應(yīng)用問題之間的關(guān)系，可以更深入的發(fā)現(xiàn)應(yīng)用問題之間的區(qū)別、內(nèi)在聯(lián)系，解法的共性，從而拓展學(xué)生的思維，在變式教學(xué)中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)解決問題的方法，并加以歸納、總結(jié)，形成技巧，學(xué)會(huì)用這些方法解決其它問題，培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)、方法的潛移默化的能力。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅是學(xué)習(xí)知識(shí)，更重要的是提高自己的思維能力，變式訓(xùn)練是很有效的手段，也是啟迪學(xué)生思維、拓展學(xué)生思維的重要方法，因此加強(qiáng)變式訓(xùn)練對(duì)于我們提高課堂實(shí)效大有幫助，設(shè)置適當(dāng)?shù)牡湫屠}和習(xí)題，可以引導(dǎo)學(xué)生更好地掌握知識(shí)，更好地培養(yǎng)和拓展學(xué)生的思維。