第一篇：四邊形的證明與計(jì)算

四邊形的證明與計(jì)算

（時(shí)間：100分鐘總分：100分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的）

1．下列命題正確的是（）

A．對(duì)角線互相平分的四邊形是菱形；

B．對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是菱形

C．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是菱形；

D．對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形.2．平行四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D四個(gè)角的度數(shù)比可能是（）

A．1：2：3：4B．2：3：2：3C．2：2：3：3D．1：2：2：

33．如果菱形的邊長(zhǎng)是a，一個(gè)內(nèi)角是60°，那么菱形較短的對(duì)角線長(zhǎng)等于（）

1A．2aB

．2aC．a(chǎn)D

4．用形狀、大小完全相同的圖形不能進(jìn)行密鋪的是（）

A．任意三角形B．任意四邊形C．正五邊形D．正四邊形

5．已知一個(gè)等腰梯形的下底與上底之差等于一腰長(zhǎng)，?則這個(gè)等腰梯形中的較小的角的度數(shù)為（）

A．30°B．60°C．45°D．75°

6．已知四邊形ABCD中，在①AB∥CD；②AD=BC；③AB=CD；④∠A=∠C四個(gè)條件中，不能推出四邊形ABCD是平行四邊形的條件是（）．

A．①②B．①③C．①④D．②③

7．如圖1，ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，如果AC=12，BD=10，則AB的長(zhǎng)m?取值范圍是（）

A．1

5

?

（1）(2)(3)(4)

8．如圖2，兩張寬度相等的紙條交叉重疊，重合部分是（）

A．平行四邊形B．菱形C．矩形D．正方形

9．如圖3，ABCD中，P是對(duì)角線BD上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作EF∥BC，HG∥AB，?則下列說(shuō)法不正確的是（）

A．S?AEPG=S?PHCFB．圖中有3對(duì)全等三角形

C．圖中共有9個(gè)平行四邊形D．S?AEFD≠S?GHCD

10．如圖4，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分線交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，?E為垂足，連結(jié)DF，則∠CDF等于（）

A．80°B．70°C．65°D．60°

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

11．如圖5，ABCD中，∠BAD的平分線AE交BC于E，且AD=a，AB=b，用含a、b的代數(shù)式表示EC，則EC=________． ??

(5)(6)(7)(8)

12．如圖6，平行四邊形ABCD中，E是BC中點(diǎn)，且AE=9，BD=12，AD=10，則該平行四邊形的面積是_________．

13．已知菱形的周長(zhǎng)為20cm，兩對(duì)角線之和為14cm，則菱形的面積為_(kāi)____cm2．

14．以邊長(zhǎng)為2cm的正方形的對(duì)角線為邊的正方形的面積為_(kāi)_______cm2．

15．一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是36°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是________．

16．矩形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，且MA⊥MD，若矩形的周長(zhǎng)為48cm，則矩形ABCD的面積為_(kāi)______cm2．

17．如圖7，若將四根木條釘成矩形木框，再變形為平行四邊形ABCD的形狀，并使其面積為矩形面積的一半，則這個(gè)平行四邊形的一個(gè)最小內(nèi)角的度數(shù)為_(kāi)______．

18．如圖8，菱形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)分別為2和5，P是對(duì)角線AC上任一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，則陰影部分的面積是_______．

三、解答題（本大題共46分，19～23題每題6分，24題、25題每題8分．解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

19．如圖，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，?垂足分別為E、F．求證：（1）△BDE≌CDF．（2）△ABC是直角三角形時(shí)，四邊形AEDF是正方形．

20．如圖，ABCD中，E、F為對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，且AE=CF，問(wèn)：四邊形EBFD是平行四邊形嗎？為什么？ ?

21．如圖，圓A、圓B、圓C、圓D、圓E、圓F相互外離，它們的半徑都是1，順次連結(jié)這

六個(gè)圓心，得到六邊形ABCDEF．

求：（1）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．（2）求圖中陰影部分的面積之和．

22．如圖，ABCD中，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，EF⊥AC交CD于E，交AB于F，問(wèn)四邊形AFCE是菱形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

?

23．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，求梯形的面積．

24．如圖，正方形ABCD和正方形A′OB′C′是全等圖形，則當(dāng)正方形A?′OB′C′繞正方形ABCD的中心O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中．

（1）四邊形OECF的面積如何變化．

（2）若正方形ABCD的面積是4，求四邊形OECF的面積．

25．如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，動(dòng)點(diǎn)P?從A開(kāi)始沿AD邊向D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿CB以3cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)頂點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，?問(wèn)t為何值時(shí)．

（1）四邊形PQCD是平行四邊形．（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形．

答案:

一、選擇題

二、

第二篇：四邊形證明及計(jì)算提高練習(xí)

特殊四邊形證明及計(jì)算提高練習(xí)

平行四邊形

1．（2012?威海）（1）如圖①，?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，直線EF過(guò)點(diǎn)O，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．

求證：AE=CF．

（2）如圖②，將?ABCD（紙片）沿過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)O的直線EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A1處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B1處，設(shè)FB1交CD于點(diǎn)G，A1B1分別交CD，DE于點(diǎn)H，I． 求證：EI=FG．

2．（2007?黑龍江）在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作PE∥AC交AB于點(diǎn)E，PF∥AB交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F．若點(diǎn)P在BC邊上（如圖1），此時(shí)PD=0，可得結(jié)論：PD+PE+PF=AB．

請(qǐng)直接應(yīng)用上述信息解決下列問(wèn)題：

當(dāng)點(diǎn)P分別在△ABC內(nèi)（如圖2），△ABC外（如圖3）時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，PD，PE，PF與AB之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需要證明．

3．（2006?泰安）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接AF，CE．

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；

（2）若∠BAD的平分線與FC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，則△ACG是等腰三角形嗎？并說(shuō)明理由．

4．如圖，以△ABC三邊為邊在BC同側(cè)作三個(gè)等邊△ABD、△BCE、△ACF．請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是矩形．

菱形

5．（2010?盤(pán)錦）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，以AD為邊作等邊△ADE，過(guò)點(diǎn)C作CF∥DE交AB于點(diǎn)F．

（1）若點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)（如圖①），求證：EF=CD；

（2）在（1）的條件下直接寫(xiě)出△AEF和△ABC的面積比；

（3）若點(diǎn)D是BC邊上的任意一點(diǎn)（除B、C外如圖②），那么（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

6．（2009?龍巖）在邊長(zhǎng)為6的菱形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿A?B?C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接DM交AC于點(diǎn)N．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在AB邊上時(shí)，連接BN：

①求證：△ABN≌△ADN；

②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求點(diǎn)M到AD的距離及tanα的值．

（2）如圖2，若∠ABC=90°，記點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路程為x（6≤x≤12）．試問(wèn)：x為何值時(shí)，△ADN為等腰三角形．

7．（2001?河北）如圖，在菱形ABCD中，AB=10，∠BAD=60度．點(diǎn)M從點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著AD邊向點(diǎn)D移動(dòng)；設(shè)點(diǎn)M移動(dòng)的時(shí)間為t秒（0≤t≤10）．

（1）點(diǎn)N為BC邊上任意一點(diǎn)，在點(diǎn)M移動(dòng)過(guò)程中，線段MN是否一定可以將菱形分割成面積相等的兩部分并說(shuō)明理由；

（2）點(diǎn)N從點(diǎn)B（與點(diǎn)M出發(fā)的時(shí)刻相同）以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著B(niǎo)C邊向點(diǎn)C移動(dòng)，在什么時(shí)刻，梯形ABNM的面積最大并求出面積的最大值；

矩形

8．（2002?無(wú)錫）已知：如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)．

（1）在邊AD上取一點(diǎn)M，使點(diǎn)A關(guān)于BM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C恰好落在EF上．設(shè)BM與EF相交于點(diǎn)N，求證：四邊形ANGM是菱形；

（2）設(shè)P是AD上一點(diǎn)，∠PFB=3∠FBC，求線段AP的長(zhǎng)．

9．在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，以EC、CF為鄰邊作平行四邊形ECFG．

（1）如圖1，證明平行四邊形ECFG為菱形；

（2）如圖2，若∠ABC=90°，M是EF的中點(diǎn)，求∠BDM的度數(shù)；

（3）如圖3，若∠ABC=120°，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BDG的度數(shù)．

10．如圖1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，連接AE、AC和BE相交于點(diǎn)O．

（1）判斷四邊形ABCE是怎樣的四邊形，說(shuō)明理由；

（2）如圖2，P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（圖2），（不與點(diǎn)B、C重合），連接PO并延長(zhǎng)交線段AE于點(diǎn)Q，QR⊥BD，垂足為點(diǎn)R．四邊形PQED的面積是否隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出四邊形PQED的面積．

11．（2005?淮安）已知：平行四邊形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)為O，點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，分別沿DE、BF折疊四邊形ABCD，A、C兩點(diǎn)恰好都落在O點(diǎn)處，且四邊形DEBF為菱形（如圖）．

（1）求證：四邊形ABCD是矩形；

（2）在四邊形ABCD中，求的值．

12．如圖，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn)．

（1）求證：四邊形PMEN是平行四邊形；

（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)AP為何值時(shí)，四邊形PMEN是菱形；

（3）四邊形PMEN有可能是矩形嗎？若有可能，求出AP的長(zhǎng)；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

13．如圖：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分別在AD、BC上，且DE=BP=1．

（1）判斷△BEC的形狀，并說(shuō)明理由？

（2）判斷四邊形EFPH是什么特殊四邊形？并證明你的判斷；

（3）求四邊形EFPH的面積．

正方形

14．（2012?黑龍江）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若點(diǎn)D在線段BC上，以AD為邊長(zhǎng)作正方形ADEF，如圖1，易證：∠AFC=∠ACB+∠DAC；

（1）若點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上，其他條件不變，寫(xiě)出∠AFC、∠ACB、∠DAC的關(guān)系，并結(jié)合圖2給出證明；

（2）若點(diǎn)D在CB延長(zhǎng)線上，其他條件不變，直接寫(xiě)出∠AFC、∠ACB、∠DAC的關(guān)系式．

15．（2012?常德）已知四邊形ABCD是正方形，O為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從B開(kāi)始，沿射線BC運(yùn)動(dòng)，連接DP，作CN⊥DP于點(diǎn)M，且交直線AB于點(diǎn)N，連接OP，ON．（當(dāng)P在線段BC上時(shí)，如圖1：當(dāng)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2）

（1）請(qǐng)從圖1，圖2中任選一圖證明下面結(jié)論：①BN=CP；②OP=ON，且OP⊥ON；

（2）設(shè)AB=4，BP=x，試確定以O(shè)、P、B、N為頂點(diǎn)的四邊形的面積y與x的函數(shù)關(guān)系．

16．（2011?阜新）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在射線BC上，且PB=PE，連接PD，O為AC中點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時(shí)，試猜想PE與PD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，不用說(shuō)明理由；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，（1）中的猜想還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你在圖3中畫(huà)出相應(yīng)的圖形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法），并判斷（1）中的猜想是否成立？若成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

17．如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)P是BC上任意一點(diǎn)，DE⊥AP于點(diǎn)E，BF⊥AP于點(diǎn)F，CH⊥DE于點(diǎn)H，BF的延長(zhǎng)線交CH于點(diǎn)G．

（1）求證：AF﹣BF=EF；

（2）四邊形EFGH是什么四邊形？并證明；

（3）若AB=2，BP=1，求四邊形EFGH的面積．

18．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M在邊AB上，點(diǎn)N在邊AD的延長(zhǎng)線上，且BM=DN．點(diǎn)E為MN的中點(diǎn)，DE的延長(zhǎng)線與AC相交于點(diǎn)F．試猜想線段DF與線段AC的關(guān)系，并證你的猜想．

19．以△ABC的各邊，在邊BC的同側(cè)分別作三個(gè)正方形．他們分別是正方形ABDI，BCFE，ACHG，試探究：

（1）如圖中四邊形ADEG是什么四邊形？并說(shuō)明理由．

（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEG是矩形？

（3）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEG是正方形？

第三篇：四邊形的證明與計(jì)算2014年寒假（最終版）

明優(yōu)教育

四邊形的證明與計(jì)算

1、（2013?寧夏）在矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AE=AD，DF⊥AE，垂足為F；求證：DF=DC．

2、（13年山東青島、21）已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是線段BM、CM的中點(diǎn)

（1）求證：△ABM≌△DCM

（2）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論；

（3）當(dāng)AD：AB=____________時(shí)，四邊形MENF是正方形（只寫(xiě)結(jié)論，不需證明）

3、（2013?張家界）如圖，△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)O作直線MN∥BC．設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F．

（1）求證：OE=OF；

（2）若CE=12，CF=5，求OC的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說(shuō)明理由．

4、（2013?遵義）如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，直線MN交BC于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N．

（1）求證：CM=CN；

（2）若△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，求

5、（2013?眉山）在矩形ABCD中，DC=

2接BF．

（1）求證：△DEC∽△FDC；

（2）當(dāng)F為AD的中點(diǎn)時(shí)，求sin∠FBD的值及BC的長(zhǎng)度．的值．，CF⊥BD分別交BD、AD于點(diǎn)E、F，連

6、如圖，點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，AE、AF分

別交BD于M、N，連接EF、EN．

（1）求證：EN⊥AF；

（2）若AB＝10，EF＝8，求四邊形MEFN的面積．

7、如圖，已知平行四邊形ABCD，過(guò)A作AM⊥BC于M，交BD于E，過(guò)C作CN

⊥AD于N，交BD于F，連接AF、CE．

（1）求證：四邊形AECF為平行四邊形；

（2）當(dāng)AECF為菱形，M點(diǎn)為BC的中點(diǎn)時(shí)，求AB : AE的值．

8、如圖，O是正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，使CF＝CE，連接DF交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接OG．

（1）求證：△BCE≌△DCF；

（2）OG與BF有什么數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；

（3）若GE·GB＝4－22，求正方形ABCD的面積．

9、已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊BC的中點(diǎn)，DF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)M，過(guò)M作ME⊥CD于點(diǎn)E，∠1＝∠2．

（1）若CE＝1，求BC的長(zhǎng)；

（2）求證：AM＝DF＋ME．

10、如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2α，點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在DC上，且∠BEF＝∠A．

（1）∠BEF＝____________（用含α的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)AB＝AD時(shí)，猜想線段EB、EF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（3）當(dāng)AB≠AD時(shí)，將“點(diǎn)E在AD上”改為“點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，且AE＞AB，AB＝mDE，AD＝nDE”，其他條件不變（如圖2），求的代數(shù)式表示）．

EB 的值（用含m、n EF11、如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，3）．將

正方形ABCO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0o＜α＜90o），得到正方形ADEF，ED交線段OC于點(diǎn)G，ED的延長(zhǎng)線交線段BC于點(diǎn)P，連AP、AG．

（1）求證：△AOG≌△ADG；

（2）求∠PAG的度數(shù)；并判斷線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關(guān)系，說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)∠1＝∠2時(shí)，求直線PE的解析式．

12、如圖，正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，DE＝CF，AF與BE相交于O，DG⊥AF，垂足為G．

（1）求證：AF⊥BE；

（2）試探究線段AO、BO、GO的長(zhǎng)度之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）若GO : CF＝4 : 5，試確定E點(diǎn)的位置．

13、已知：在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)C、D重合），CD＝mDE．AE的垂直平分線分別交AD、AE、BC于點(diǎn)F、H、G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．

（1）如圖1，當(dāng)m＝2時(shí)，F(xiàn)HFH

＝ ________，＝ ________；

AHPH

（2）如圖2，當(dāng)m＝3時(shí)，求證：FH＋PG＝HG；

（3）當(dāng)m為何值時(shí)，G是HP的中點(diǎn)．

14、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝BC＝6，AD＝3．點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，以M為頂點(diǎn)作∠EMF＝∠B，射線ME交腰AB于點(diǎn)E，射線MF交腰CD于點(diǎn)F，連接EF．

（1）求證：△MEF∽△BEM；

（2）若△BEM是等腰三角形，求EF的長(zhǎng)；

（3）若EF⊥CD，求BE的長(zhǎng)．

15、在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在線段BC上（不含點(diǎn)B），∠BPE＝PE交BO于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥PE，垂足為F，交AC于點(diǎn)G．

（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖①）．求證：

△BOG≌△POE；（4分）1∠ACB，2（2）通過(guò)觀察、測(cè)量、猜想：BF=▲，PE

并結(jié)合圖②證明你的猜想；（5分）

第四篇：四邊形證明

1.已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，AE = AF．

（1）求證：BE = DF；

（2）連接AC交EF于點(diǎn)O，延長(zhǎng)OC至點(diǎn)M，使OM = OA，連接EM、FM．判斷四

邊形AEMF是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．

B

M D

2．已知：如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，AE分別交DC，BD于F，G，點(diǎn)H為EF的中點(diǎn)．

求證：⑴ ∠DAG＝∠DCG；

⑵ GC⊥CH．(6分)

AD

B C E

3．小明在研究正方形的有關(guān)問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)有這樣一道題：“如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E

是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC邊上的一點(diǎn)，且∠FAE＝∠EAD．你能夠得出什么樣的正確的結(jié)論？”

⑴ 小明經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)：EF⊥AE．請(qǐng)你對(duì)小明所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論加以證明；

B F 圖① D E C

⑵ 小明之后又繼續(xù)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行研究，將“正方形”改為“矩形”、“菱形”和“任意平行四邊形”(如圖②、圖③、圖④)，其它條件均不變，認(rèn)為仍然有“EF⊥AE”．你同意小明的觀點(diǎn)嗎？若你同意小明的觀點(diǎn)，請(qǐng)取圖③為例加以證明；若你不同意小明的觀點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．(7分)

B 圖②E F C 圖③B F C

圖④

4．如圖，矩形ABCD和矩形AEFG關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱(chēng)，(1)試說(shuō)明：BD=ED=EG=BG；

(2)若矩形ABCD面積為2，求四邊形BDEG的面積。(本題6分)

5如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝110o，∠BOC＝a．將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60o得△ADC，連結(jié)OD．

(1)求證：△COD是等邊三角形；

(2)當(dāng)a＝150o時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)探究：當(dāng)a為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？

第五篇：如何構(gòu)造特殊四邊形解決相關(guān)計(jì)算證明問(wèn)題（模版）

如何構(gòu)造特殊四邊形解決相關(guān)計(jì)算證明問(wèn)題

特殊的四邊形在生活中有非常廣泛的應(yīng)用，也是現(xiàn)行教材中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。學(xué)生在運(yùn)用特殊四邊形的性質(zhì)，特別是構(gòu)造四邊形來(lái)解決有關(guān)的計(jì)算，證明問(wèn)題時(shí)，存在嚴(yán)重缺陷。我認(rèn)為構(gòu)造特殊的四邊形來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)，能夠另辟佳徑,減少繁難的計(jì)算和證明，同時(shí)能夠開(kāi)闊學(xué)生視野,增強(qiáng)學(xué)生觀察圖形，分解圖形，構(gòu)造基本圖形的能力。

一、數(shù)形結(jié)合，巧妙構(gòu)造特殊的四邊形。

1、如圖,點(diǎn)A、B是反比例函數(shù)y=(k>0,x>0)的圖象上兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線,過(guò)點(diǎn)B作y軸的垂線，垂足分別為C、D,AC、BD交于點(diǎn)F,則（）：AS△ADE>S△BECBS△ADE=S△BECCS△ADE

法確定解析：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥y軸，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥x軸，垂足分別為M、N,則S矩形AMOC=S矩形BNOD

矩形BNCE,=k ,即S矩形MADE=S矩形BNCE，又S△ADE= MADE，S△BEC=S

S2矩形∴S△ADE=S△BEC。解決此類(lèi)問(wèn)題一般的同學(xué)采用參

數(shù)法通過(guò)計(jì)算三角形的面積來(lái)解，計(jì)算量比較大，同時(shí)引入的參數(shù)個(gè)數(shù)也別較多，給學(xué)生造成較大的障礙，而我們采用數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化的思想，利用矩形的性質(zhì)就很巧妙地加以解決。

二；培養(yǎng)數(shù)感，從直覺(jué)出發(fā)，構(gòu)造特殊的四邊形。

2，如圖，AB=8，DB⊥AB，EA⊥AB，BD=6AE=12，點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)，求BM的長(zhǎng)。

解析：AE和BD的位置關(guān)系為平行，數(shù)量關(guān)系為BD=6，AE=12，BD=AE，延長(zhǎng)DB至F點(diǎn)，使DF=12,連接EF、AD，則四邊形ADFE是平行四邊形。MB

分別是DE DF的中點(diǎn)，∴BM=EF,EF=AD，通過(guò)勾股定理可求出AD，從而解決BM長(zhǎng)的計(jì)算問(wèn)題。

我們利用學(xué)生對(duì)數(shù)字的敏感程度，對(duì)圖形中相應(yīng)邊的位置關(guān)系和數(shù)量

關(guān)系進(jìn)行分析，利用我們的直覺(jué)來(lái)構(gòu)圖，同時(shí)進(jìn)行思維的發(fā)散，通過(guò)構(gòu)造平行四邊形將邊的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，聯(lián)系三角形的中位線和勾股定理來(lái)進(jìn)行計(jì)算。這是一道解法靈活多變的綜合性較高的習(xí)題，學(xué)生沒(méi)有現(xiàn)成的模式

可以套用，也不能簡(jiǎn)單依靠知識(shí)的疊加來(lái)實(shí)現(xiàn)解題，需要進(jìn)行細(xì)致的觀察。對(duì)數(shù)學(xué)敏感的程度和較好的構(gòu)造圖形的能力。．．．．．．．．．．．．．

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2練習(xí)：如圖所示，已知六邊形ABCDEF,其中∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=

∠F=120°, AB=10㎝，BC=70㎝，CD=20㎝，DE=40㎝。求AF、EF的長(zhǎng)度。

解析：延長(zhǎng)FA、CB交于點(diǎn)P ,延長(zhǎng)FE、CD交于點(diǎn)Q,△APB △DEQ

均為等邊三角形，從而可以證明四邊形PCQF為平行四邊形，利用方程思想可求出AF、EF的長(zhǎng)。

三：生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化，建立數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造特殊的四邊形。

E

F

B G

C4、如圖，是某城市部分街道示意圖，AF∥BC BA∥DE BD∥AE EC⊥BC,甲乙兩人同時(shí)從B站乘車(chē)到F站，甲乘1路車(chē)，路線是B→A→E→F,乙乘2路車(chē)，路線是B→D→C→F,假設(shè)兩車(chē)速度相同，途中耽誤的時(shí)間相同，那么誰(shuí)先到達(dá)F站？請(qǐng)說(shuō)明理由！

解析：1路車(chē)路程：BA+AE+EF ,2路車(chē)路程：BD+DC+CF,誰(shuí)先到達(dá)F站，即比較BA+AE+EF與BD+DC+CF的大小。延長(zhǎng)ED交BC于G點(diǎn)，則四邊形ABGD為平行四邊形，∴DG=AB 又四邊形ABDE是平行四邊形 ∴DE=AB ∴D為直角三角形ECG斜邊上的中點(diǎn) ∴CD=DG=AB, ∵DF∥CG,D為EG的中點(diǎn)∴EF=CF ∴1路車(chē)2路車(chē)同時(shí)到達(dá)F站.這是一些立意新穎的情景性習(xí)題，充滿濃厚的生活氣息，它強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)文字、圖形、符號(hào)語(yǔ)言的理解，并能將生活實(shí)際問(wèn)題純數(shù)學(xué)化，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，來(lái)解決問(wèn)題。它讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又能指導(dǎo)我們的生活生產(chǎn)。從而培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)在生活中的價(jià)值，同時(shí)體驗(yàn)成功的快感，感覺(jué)學(xué)有所獲。

四：構(gòu)造特殊的四邊形解決探究性問(wèn)題

D5、如圖，E是平行四邊形ABCD邊DC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=DC=AC，連AE分別交BC、BD于F、G，連AC交BD于點(diǎn)O，則下列結(jié)論：（1）AE⊥BC（2）AB=2OF（3）S△CEF=S平行四邊形ABCD（4）四邊形AOFB為等腰梯形，其中正確的是＿＿＿，若將條件改為CE=CD，那么正確的結(jié)論呢？

解析：連接BE，則四邊形ABEC為菱形?！郃E⊥BC,F為BC中點(diǎn) ∵O為AC中點(diǎn) ∴S△CEF =S△ABC=S平行四邊形，而（4）只有在AB=AD時(shí)

才成立。

我們?cè)O(shè)計(jì)一些探究性練習(xí)，給學(xué)生提供資助探索的機(jī)會(huì)，使其經(jīng)歷觀察 實(shí)驗(yàn) 猜想 證明 比較 推理 反設(shè) 驗(yàn)證 等數(shù)學(xué)思考，體驗(yàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探索性和挑戰(zhàn)性，培養(yǎng)提高學(xué)生的探究能力，并通過(guò)變換命題，變換條件，變換圖形來(lái)引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，從而進(jìn)一步探索新問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)新見(jiàn)解。

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