第一篇：高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3.1 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用—單調(diào)性教學(xué)設(shè)計1 蘇教版選修2-2

1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

教學(xué)目標(biāo)：

1、知識與技能目標(biāo)：通過實例，借助圖形直觀探索并了解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，理解并掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

2、過程與方法目標(biāo)：會用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，并會用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

3、情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：探究導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系的過程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想和從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，以及發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； 教學(xué)難點：發(fā)現(xiàn)和揭示導(dǎo)數(shù)值的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系； 教學(xué)方法與手段：探究式教學(xué)模式；利用多媒體現(xiàn)代設(shè)備教學(xué) 教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)回顧：

我們知道平均變化率可以刻畫函數(shù)的變化趨勢，大家還記得 問題1：函數(shù)y?f?x?在區(qū)間?x1,x2?上平均變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)式嗎？

f?x2??f?x1?生1：（教師板書），x2?x1師：那你能給出這個二次函數(shù)f?x??x?4x?3在?x1,x2?上的平均變化率嗎？

2問題2：導(dǎo)數(shù)的概念和它的幾何意義？

生2：x2?x1時，f?x2??f?x1??f??x1?（教師板書）

x2?x1師：這個導(dǎo)數(shù)又有什么幾何意義？

生2：曲線y?f?x?在點x1,f?x1?處切線的斜率

師：這個二次函數(shù)f?x??x?4x?3，它對應(yīng)的f??x1?又是什么？

2??生3：f??x1??2x1?4

師：今天我們一起來學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)變化率比較精確地刻畫了函數(shù)的變化趨勢，（板書“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù) 中的應(yīng)用”）

二、建構(gòu)數(shù)學(xué) 師：觀察二次函數(shù)f?x??x2?4x?3圖象，請大家給出在對稱軸左右兩側(cè)函數(shù)的變化趨勢 生：對稱軸x?2左邊下降趨勢，對稱軸x?2右邊上升趨勢，師：也就是在???,2?為減函數(shù)，在?2,???為增函數(shù)，這也是函數(shù)的單調(diào)性 師：你是怎樣判斷函數(shù)單調(diào)性的？ 生：圖象法（教師板書）

師：我們曾經(jīng)還學(xué)習(xí)過判斷函數(shù)單調(diào)性還有什么方法？ 生：定義法（教師板書）問題3：那函數(shù)單調(diào)性定義又是什么？

生：函數(shù)y?f?x?的定義域為A，區(qū)間I?A，任取x1,x2?I，當(dāng)x1?x2時，f?x1??f?x2?，則y?f?x?在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)； f?x1??f?x2?，則y?f?x?在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù)。

師：回答的非常好！請大家用定義法證明二次函數(shù)f?x??x?4x?3在?2,??? 為增函數(shù)

2生： ?x1,x2??2,???，不妨設(shè)x1?x2，則f?x2??f?x1???x2?x1??x1?x2?4??0，所以f?x1??f?x2?，所以函數(shù)在?2,???為增函數(shù)。

問題4：大家注意觀察，從形式上你發(fā)現(xiàn)定義法和平均變化率對應(yīng)的兩式之間有關(guān)系嗎？

f(x2)?f(x1)?x1?x2?4，f(x2)?f(x1)??x2?x1??x1?x2?4?

x2?x1生：有關(guān)系

師：說的很好！我們發(fā)現(xiàn)平均變化率與定義法之間存在某種密切的關(guān)系

問題5：當(dāng)自變量的改變量無限趨近于0時平均變化率無限趨近于導(dǎo)數(shù)，而定義法可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，大家發(fā)現(xiàn)了什么？

生：導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性之間可能也有關(guān)系

師：說的太好了！同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間可能也有著某種密切的關(guān)系，這個問題的發(fā)現(xiàn)是很非常了不起的，那今天我們就來學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用。（教師補(bǔ)全課題）

問題6：導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性之間究竟什么關(guān)系？

師：請大家結(jié)合切線斜率來觀察這個二次函數(shù)f?x??x?4x?3在對稱軸左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值有

2什么不同特點？切線在對稱軸左側(cè)移動時，觀察導(dǎo)數(shù)值特點并記錄你所觀察到的結(jié)果，切線在對稱軸右側(cè)移動時，同樣也觀察導(dǎo)數(shù)值特點并記錄你的觀察結(jié)果。

yf?x??x2?4x?3x

生： 在區(qū)間???,2?上，f??x??0?函數(shù)在該區(qū)間為減函數(shù)；

在區(qū)間?2,???上，f??x??0?函數(shù)在該區(qū)間為增函數(shù)。（教師板書）師：我們通過圖形直觀觀察得出結(jié)論，請大家回到導(dǎo)數(shù)定義中來，o2f?x2??f?x1?不妨假設(shè)x1?x2，x2?x1時，?f??x1??2x1?4

x2?x1問題7：你能從“數(shù)”的角度解釋為什么在?2,???上，f??x??0得到在該區(qū)間為增函數(shù)？

生：小組交流討論 教師點評歸納：

不妨設(shè)x1?x2，當(dāng)x2?x1時，f?x2??f?x1??x1?x2?4?f??x1??2x1?4，x2?x1f?x2??f?x1??0，所以 f?x2??f?x1?，x2?x1若f??x1??0，得到x1?2，x1?x2?4?0，得到在?2,???為增函數(shù)。

師：對于這個二次函數(shù)我們體會到平均變化率、定義法、導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性四者密切相關(guān)，通過這四者之間的關(guān)系，我們從圖形直觀觀察得到結(jié)論，又結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義從“數(shù)”的角度解釋了結(jié)論，做到了數(shù)形的完美結(jié)合。更一般地，我們也可以用導(dǎo)數(shù)值的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)性，你能歸納出一個一般性的結(jié)論嗎？ 生：對于函數(shù)y?f?x?，在某個區(qū)間上f??x??0?函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)； 在某個區(qū)間上f??x??0?函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)

師：歸納的很好！這樣大家便有了一種研究函數(shù)單調(diào)性新的方法——導(dǎo)數(shù)法。尤其對于那些很難作出圖象，或者用定義法也很難判斷單調(diào)性的函數(shù)，我們就可以選擇導(dǎo)數(shù)法（板書）。

三、數(shù)學(xué)運(yùn)用：

例1：用導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)f?x???x?2x?3在哪個區(qū)間上是增函數(shù)，在哪個區(qū)間上是減函數(shù)？

2解：f??x???2x?2，令f??x??0，解得x??1，即在區(qū)間???,?1?上為增函數(shù)

令f??x??0，解得x??1，即在區(qū)間??1,???上為減函數(shù)（教師板書）師：結(jié)合這道例題，你能歸納出利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的主要步驟嗎？ 生：回答 教師點評步驟：

（1）求導(dǎo)數(shù)f??x?；（2）解f??x??0和f??x??0；（3）寫出單調(diào)區(qū)間。最后不忘函數(shù)定義域

四、課堂練習(xí)：

例2：用導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)f?x??2x?6x?7在哪些區(qū)間上是增函數(shù)？在哪個區(qū)間上是減函數(shù)？

32（請學(xué)生板演）

解：f??x??6x?12x?6x(x?2)2令f??x??0，解得x?0或x?2，令f??x??0，解得0?x?2，因此函數(shù)在???,0?和?2,???上為增函數(shù)，在?0,2?上為減函數(shù)

教師追問：你能根據(jù)函數(shù)單調(diào)性在演練紙上作出反映三次函數(shù)f?x??2x3?6x2?7單調(diào)性變化趨勢的簡圖嗎？（實物投影學(xué)生演練紙）

生：解釋怎樣做出函數(shù)簡圖：（1）找導(dǎo)函數(shù)零點；（2）分區(qū)間；（3）由單調(diào)性作圖

師：我們利用導(dǎo)數(shù)值的符號來研究了函數(shù)的單調(diào)性，體會到導(dǎo)數(shù)法可以作為研究函數(shù)單調(diào)性的一般方法，那對于這個結(jié)論請大家思考：

問題8：若函數(shù)f?x?在某個區(qū)間單調(diào)遞增，那么在該區(qū)間上必有f??x??0嗎？大家請結(jié)合函數(shù)f?x??x3來思考

生：f??x??3x2，發(fā)現(xiàn) f??0??0

師：由此看來若函數(shù)f?x?在某個區(qū)間單調(diào)遞增，那么在該區(qū)間上不一定有f??x??0。師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)習(xí)了哪些知識？體會了哪些數(shù)學(xué)思想？

五、回顧小結(jié)：

生1： 學(xué)習(xí)到利用導(dǎo)數(shù)值的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)性，及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； 生2：在探究導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系時，通過圖形直觀觀察，體會到了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。

師總結(jié)歸納：平均變化率、定義法、導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性四者密切相關(guān)，通過四者關(guān)系我們得到了一個結(jié)論，學(xué)習(xí)了判斷函數(shù)單調(diào)性新的方法—導(dǎo)數(shù)法，在探究這個結(jié)論的過程中，以一個二次函數(shù)為例，先從圖形直觀觀察得出結(jié)論，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義從“數(shù)”的角度解釋結(jié)論，最后將結(jié)論一般化，滲透了兩種思想：數(shù)形結(jié)合、研究問題從特殊到一般，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間時把握三個主要步驟“一求，二解，三寫”最后不忘定義域，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性是非常重要的，為后面用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值打下基礎(chǔ)，對后續(xù)學(xué)習(xí)非常重要。

六、課外作業(yè)：

1、課本29頁第1題（必做題）

2、課本29頁第3題（選做題）

第二篇：《導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用——單調(diào)性》教學(xué)反思

本節(jié)課是一節(jié)新授課，教材所提供的信息很簡單，如果直接得出結(jié)論學(xué)生也能接受。可學(xué)生只能進(jìn)行簡單的模仿應(yīng)用，為了突出知識的發(fā)生過程，不把新授課上成習(xí)題課。設(shè)計思路如下以便教會學(xué)生會思考解決問題。

1、首先從同學(xué)們熟悉的過山車模型入手，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，提出如何刻畫函數(shù)的變化趨勢，引出課題。研究從學(xué)生熟悉的一次函數(shù)，二次函數(shù)入手，尋找導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，用幾何畫板演示特殊的三次函數(shù)的圖像，研究單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)。在此基礎(chǔ)上提出問題：單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)到底有怎樣的關(guān)系？學(xué)生通過思考、討論、交流形成結(jié)論。也使學(xué)生感受到解決數(shù)學(xué)問題的一般方法：從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般。

2、在結(jié)論得出后，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考，提出自己的困惑，因為確實有學(xué)生對結(jié)論有不一樣的想法，所以，盡可能地暴露問題，讓學(xué)生徹底理解、掌握。

3、鋪墊：在引入部分，我涉及到了一個三次的函數(shù)，而例2就是此題的變式，這樣既可以在開始引起學(xué)生興趣，后來他們自己解決了看似復(fù)雜的問題，增加了信心，也做到了首尾呼應(yīng)。

4、在知識應(yīng)用中重點指導(dǎo)學(xué)生解題步驟，在學(xué)生自己總結(jié)解題步驟時，發(fā)現(xiàn)學(xué)生忽略了第一點求函數(shù)定義域，所以我就將錯就錯，給出了求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，很多學(xué)生栽了跟頭，然后自己總結(jié)出應(yīng)該先求函數(shù)定義域。雖然這道題花了些時間，但我覺得很值得，我想學(xué)生印象也會更深刻。

5、數(shù)形結(jié)合：數(shù)形結(jié)合不是光口頭去說，而是利用一切機(jī)會去實施，在例1的教學(xué)中，我讓學(xué)生先熟練法則，再從形上分析，加深印象，這樣在后面緊接的高考題中（沒有給解析式），學(xué)生會迎刃而解。

為了培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、自主思考的能力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，在教學(xué)中采取引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法，利用多媒體等手段引導(dǎo)學(xué)生動口、動腦、參與數(shù)學(xué)活動，發(fā)揮主觀能動性，主動探索新知。讓學(xué)生分組討論，合作交流，共同探討問題。但是，真正做到以學(xué)生為中心，學(xué)生100%參與，體現(xiàn)三維目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力還是比較困難。在今后的教學(xué)中，應(yīng)更注重學(xué)生的參與，引發(fā)認(rèn)知沖突，教會學(xué)生思考問題。

第三篇：1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)教學(xué)反思

一節(jié)課下來暴露了許多問題：

1、學(xué)生對函數(shù)的單調(diào)性有所遺忘，不會求單調(diào)區(qū)間。

2、學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的幾何意義不能深入理解。

3、學(xué)生對求導(dǎo)公式掌握不夠熟練，求導(dǎo)出現(xiàn)錯誤。

4、教師所設(shè)計的問題難度偏大，練習(xí)題目過少。

5、學(xué)生的討論與參與不夠主動。補(bǔ)救措施：

在下一節(jié)應(yīng)用課多設(shè)計一些基礎(chǔ)性典型問題及題目，注重層次性教學(xué)，對學(xué)生多鼓勵、多引導(dǎo)、多練習(xí)、多參 與。注重對學(xué)生的思維訓(xùn)練和數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)；注重夯實基礎(chǔ)，為今后的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

第四篇：導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)是解決高中數(shù)學(xué)問題的重要工具之一，很多數(shù)學(xué)問題如果利用導(dǎo)數(shù)的方法來解決，不僅能迅速找到解題的切入點，甚至解決一些原來只是解決不了的問題。而且能夠把復(fù)雜的分析推理轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)運(yùn)算，化難為易，事半功倍的效果.如在求曲線的切線方程、方程的根、函數(shù)的單調(diào)性、最值問題；數(shù)列，不等式等相關(guān)問題方面，導(dǎo)數(shù)都能發(fā)揮重要的作用。

導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡稱）是一個特殊函數(shù)，所以它始終貫穿著函數(shù)思想。隨著課改的不斷深入，新課程增加了導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容，導(dǎo)數(shù)知識考查的要求逐漸加強(qiáng)，而且導(dǎo)數(shù)已經(jīng)在高考中占有很重要的地位，導(dǎo)數(shù)已經(jīng)成為解決問題的不可缺少的工具。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)研究導(dǎo)數(shù)的一個重要載體，近年好多省的高考題中都出現(xiàn)以函數(shù)為載體，通過研究導(dǎo)函數(shù)其圖像性質(zhì)，來研究原函數(shù)的性質(zhì)。本人結(jié)合教學(xué)實踐，就導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用作個初步探究。

導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用主要類型有：求函數(shù)的切線，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值和最值，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，尤其函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值及最值，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點之一，預(yù)計也是“新課標(biāo)”下高考的重點。

一、用導(dǎo)數(shù)求切線方程

方法提升：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是近年高考中出現(xiàn)的一種熱點題型。其方法可以歸納為“構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值”。

總之，導(dǎo)數(shù)作為一種工具，在解決數(shù)學(xué)問題時使用非常方便，尤其是可以利用導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值。在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用過程中，要加強(qiáng)對基礎(chǔ)知識的理解，重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，達(dá)到優(yōu)化解題思維，簡化解題過程的目的，更在于使學(xué)生掌握一種科學(xué)的語言和工具，進(jìn)一步加深對函數(shù)的深刻理解和直觀認(rèn)識。

第五篇：導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

【摘要】導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，是聯(lián)系初、高等數(shù)學(xué)的紐帶，它的引入為解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題提供了新的視野，是研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式、探求函數(shù)的極值最值、求曲線的斜率的有力工具。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)函數(shù)曲線的斜率極值和最值導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡稱）是一個特殊函數(shù)，它的引出和定義始終貫穿著函數(shù)思想。新課程增加了導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容，隨著課改的不斷深入，導(dǎo)數(shù)知識考查的要求逐漸加強(qiáng)，而且導(dǎo)數(shù)已經(jīng)由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析和解決問題時的不可缺少的工具。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)研究導(dǎo)數(shù)的一個重要載體，函數(shù)問題涉及高中數(shù)學(xué)較多的知識點和數(shù)學(xué)思想方法。近年好多省的高考題中都出現(xiàn)以函數(shù)為載體，通過研究其圖像性質(zhì)，來考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和探究能力的試題。本人結(jié)合教學(xué)實踐，就導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用作個初步探究。

有關(guān)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用主要類型有：求函數(shù)的切線，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值，用導(dǎo)數(shù)證明不等式。這些類型成為近兩年最閃亮的熱點，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點之一，預(yù)計也是“新課標(biāo)”下高考的重點。

一、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線

例1：已知曲線y=x3-3x2-1，過點（1，-3）作其切線，求切線方程。

分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解。

解：y′=3x2-6x，當(dāng)x=1時y′=-3，即所求切線的斜率為-3.故所求切線的方程為y+3=-3(x-1)，即為：y=-3x.方法提升：函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點P（x0，y=f(x0)）處的切線的斜率。既就是說，曲線y=f(x)在點P（x0，y=f(x0)）處的切線的斜率是f′(x0)，相應(yīng)的切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0)。

二、用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

例2：求函數(shù)y=x3-3x2-1的單調(diào)區(qū)間。

分析：求出導(dǎo)數(shù)y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范圍即可。

解：y′=3x2-6x，由y′>0得3x2-6x?0，解得x?0或x?2。

由y′<0得3x2-6x?0，解得0?x＜2。

故所求單調(diào)增區(qū)間為(-∞，0)∪(2，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0，2)。

方法提升：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定f(x)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)f′(x)；（3）在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f′

(x)>0和f′(x)<0；（4）確定f(x)的單調(diào)區(qū)間.若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論。

三、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值

例3．求函數(shù)f(x)=(1/3)x3-4x+4的極值

解：由f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=－2.當(dāng)x變化時，y′、y的變化情況如下：

當(dāng)x=－2時，y有極大值f(-2)=－（28/3），當(dāng)x=2時，y有極小值f(2)=－(4/3).方法提升：求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟是：（1）確定函數(shù)定義域，求導(dǎo)數(shù)f′(x)；（2）求f′(x)=0的所有實數(shù)根；（3）對每個實數(shù)根進(jìn)行檢驗，判斷在每個根（如x0）的左右側(cè)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的符號如何變化，如果f′(x)的符號由正變負(fù)，則f(x0)是極大值；如果f′(x)的符號由負(fù)變正，則f(x0)是極小值.。注意：如果f′(x)=0的根x=x0的左右側(cè)符號不變，則f(x0)不是極值。

四、用導(dǎo)數(shù)證明不等式

證明不等式彰顯導(dǎo)數(shù)方法運(yùn)用的靈活性把要證明的一元不等式通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為f(x)>0(<0)再通過求f(x)的最值,實現(xiàn)對不等式證明,導(dǎo)數(shù)應(yīng)用為解決此類問題開辟了新的路子,使過去不等式的證明方法從特殊技巧變?yōu)橥ǚ?彰顯導(dǎo)數(shù)方法運(yùn)用的靈活性、普適性。

例(1)求證:當(dāng)a≥1時,不等式對于n∈R恒成立.(2)對于在(0,1)中的任一個常a,問是否存在x0>0使得ex0-x0-1>a?x022ex0成立?如果存在,求出符合條件的一個x0;否則說明理由。

分析:(1)證明:(Ⅰ)在x≥0時,要使(ex-x-1)≤ax2e|x|2成立。

只需證:ex≤a2x2ex+x+1即需證:1≤a2x2+x+1ex①

令y(x)=a2x2+x+1ex,求導(dǎo)數(shù)y′(x)=ax+1?ex-(x+1)ex(ex)2=ax+-xex

∴y′(x)=x(a-1ex),又a≥1,求x≥0,故y′(x)≥0

∴f(x)為增函數(shù),故f(x)≥y(0)=1,從而①式得證

(Ⅱ)在時x≤0時,要使ex-x-1≤ax2e|x|2成立。

只需證:ex≤a2x2ex+x+1,即需證:1≤ax22e-2x+(x+1)e-x②

令m(x)=ax22e-2x+(x+1)e-x,求導(dǎo)數(shù)得m′(x)=-xe-2x[ex+a(x-1)]

而φ(x)=ex+a(x-1)在x≤0時為增函數(shù)

故φ(x)≤φ(0)=1-a≤0,從而m(x)≤0

∴m(x)在x≤0時為減函數(shù),則m(x)≥m(0)=1,從而②式得證

由于①②討論可知,原不等式ex-x-1≤ax2e|x|2在a≥1時,恒成立

(2)解:ex0-x0-1≤a?x02|x|2ex0將變形為ax022+x0+1ex0-1<0③

要找一個x0>0,使③式成立,只需找到函t(x)=ax22+x+1ex-1的最小值，滿足t(x)min<0即可,對t(x)求導(dǎo)數(shù)t′(x)=x(a-1ex)

令t′(x)=0得ex=1a,則x=-lna,取X0=-lna

在0-lna時,t′(x)>0

t(x)在x=-lna時,取得最小值t(x0)=a2(lna)2+a(-lna+1)-1

下面只需證明:a2(lna)2-alna+a-1<0,在0

又令p(a)=a2(lna)2-alna+a-1,對p(a)關(guān)于a求導(dǎo)數(shù)

則p′(a)=12(lna)2≥0,從而p(a)為增函數(shù)

則p(a)

于是t(x)的最小值t(-lna)<0

因此可找到一個常數(shù)x0=-lna(0

導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用,為我們解決函數(shù)問題提供了有力的工具,用導(dǎo)數(shù)可以解決函數(shù)中的最值問題,不等式問題,還可以解析幾何相聯(lián)系,可以在知識的網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計問題。因此,在教學(xué)中,要突出導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。