第一篇：利用幾何畫板畫橢圓的方法

利 用 幾 何 畫 板 畫 橢 圓 的 方 法

對于不熟悉flash的朋友來說，要想制作橢圓的形成動畫是十分困難的一件事。但有了幾何畫板程序后，再制作橢圓的形成動畫就顯得那么輕松、有趣。請大家試著跟我來一塊利用幾何畫板程序來制作橢圓的形成動畫。

啟動“幾何畫板程序” 開始制作：

第二篇：橢圓幾何性質(zhì)教學(xué)設(shè)計流程圖

篇一：教學(xué)設(shè)計-橢圓的簡單幾何性質(zhì)

《橢圓的簡單幾何性質(zhì)》說教學(xué)設(shè)計

一.教材分析 1.地位和作用

本節(jié)課是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)（選修2-1）第二章第2節(jié)，橢圓的簡單幾何性質(zhì)。在此之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，這節(jié)課是結(jié)合橢圓圖形發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì),再利用橢圓的方程探討橢圓的幾何性質(zhì),是數(shù)與形的完美結(jié)合，讓學(xué)生在了解如何用曲線的方程研究曲線的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，充分認(rèn)識到“由數(shù)到形，由形到數(shù)”的轉(zhuǎn)化，體會了數(shù)與形的辨證統(tǒng)一，也從中體驗了數(shù)學(xué)的對稱美，受到了數(shù)學(xué)文化熏陶，為后繼研究解析幾何中其它曲線的幾何性質(zhì)奠定了重要基礎(chǔ)。2.教材的內(nèi)容安排和處理

考慮到橢圓的性質(zhì)有較多拓展，我將本節(jié)內(nèi)容分為兩課時來完成，本課為第一課時，主要介紹橢圓的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、離心率）及其初步運用，在解析幾何中，利用曲線的方程討論曲線的幾何性質(zhì)對學(xué)生來說是第一次，因此可根據(jù)學(xué)生實際情況及認(rèn)知特點，改變了教材中原有研究順序，引導(dǎo)學(xué)生先從觀察課前預(yù)習(xí)所作的具體圖形入手，按照通過圖形先發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，在利用方程去說明性質(zhì)的研究思路，循序漸近進(jìn)行探究。在教學(xué)中不僅要注重對橢圓幾何性質(zhì)的理解和運用，而且更應(yīng)重視對學(xué)生進(jìn)行這種研究方法的思想滲透，通過教師合理的情境創(chuàng)設(shè)，師生的共同討論研究，學(xué)生的親身實踐體驗，使學(xué)生真正意義上理解在解析幾何中，怎樣用代數(shù)方法研究曲線的性質(zhì)，鞏固數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，達(dá)到切實地用數(shù)學(xué)分析解決問題的能力。3.重點、難點：

教學(xué)重點：知識上，要掌握如何利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征研究橢圓的幾何性質(zhì)；學(xué)生的體驗上，需要關(guān)注學(xué)生在探究橢圓性質(zhì)的過程中思維的過程展現(xiàn)，如思維角度和思維方法。

教學(xué)難點；利用曲線方程研究曲線幾何性質(zhì)的基本方法和離心率定義的給出過程。

二.學(xué)生的學(xué)情心理分析

我的任教班是普班,大多數(shù)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為薄弱, 獨立分析問題，解決問題的能力不是很強(qiáng), 但是他們的思維活躍，參與意識強(qiáng)烈,又具備了高一學(xué)習(xí)階段的知識基礎(chǔ)，因此依據(jù)以上特點,在教學(xué) 設(shè)計方面，我打算借助多媒體手段，創(chuàng)設(shè)問題情境，結(jié)合圖形啟發(fā)引導(dǎo)，組織學(xué)生合作探究等形式，都符合我班學(xué)生的認(rèn)知特點，為他們創(chuàng)設(shè)了一個自然和諧的課堂氛圍。

三.教學(xué)目標(biāo)

本著新課程標(biāo)準(zhǔn)的貫徹原則,結(jié)合我的學(xué)生的實際情況，我制定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

知識與技能：

掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì),并能初步運用其探索方法研究問題。

過程與方法：

通過學(xué)生親身的實踐體驗，利用橢圓的方程討論橢圓的幾何性質(zhì)，經(jīng)歷由形到數(shù),由數(shù)到形的

思想跨越，感知用代數(shù)的方法探究幾何性質(zhì)的過程，感受“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”的數(shù)學(xué)真諦，進(jìn)一步體會“數(shù)形結(jié)合”思想在數(shù)學(xué)中的重要地位。

情感、態(tài)度與價值觀：

在自然和諧的教學(xué)氛圍中，通過師生間的、生生間的平等交流，塑造學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作，鉆研探究的品質(zhì)和態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生研究問題的能力；通過對橢圓幾何性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)，學(xué)生得到美的感受，體驗到探究之后的成功與喜悅。四.教學(xué)方法與手段

課堂教學(xué)應(yīng)有利于學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)的形成與發(fā)展，使學(xué)生扎實地學(xué)會學(xué)習(xí)，真正的學(xué)以置用，為此我制定了本節(jié)課的教學(xué)方法和手段如下：

教學(xué)方法：

我采用的教學(xué)方法主要是情境激趣法、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、合作探究法等等。

（一）情境激趣法：注重數(shù)學(xué)知識與實際的聯(lián)系，同時也發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識，開闊他們的視野。

（二）引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法：符合教學(xué)原則，充分調(diào)動學(xué)生的主動性與積極性。

（三）合作探究法：1.體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識 2.使學(xué)生體驗到團(tuán)結(jié)協(xié)作的力量以及探索發(fā)現(xiàn)的成就，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

教學(xué)手段：

新課標(biāo)要求,立體幾何的教學(xué)要直觀感知,操作確認(rèn)。對于本節(jié)內(nèi)容,我也采用了這樣的思路。

本節(jié)借助多媒體輔助手段及實物投影，創(chuàng)設(shè)問題情境，并通過圖形引導(dǎo)學(xué)生形象直觀地體驗由數(shù)到形的過渡，便于學(xué)生觀察、認(rèn)知、探求、發(fā)現(xiàn)、歸納。

五.學(xué)法指導(dǎo)

根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)難點，教師應(yīng)注意指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究式學(xué)習(xí)和體驗式學(xué)習(xí)（興趣是前提）。例如導(dǎo)入，通過“神六”號這樣一個人們關(guān)注的話題引入，有利于激發(fā)學(xué)生的興趣。再如，這節(jié)課是學(xué)生第一次利用曲線方程研究曲線性質(zhì)，為了解決這一難點，在課前設(shè)計中改變了教材中原有研究順序，讓學(xué)生從觀察一個具體橢圓圖形入手，從觀察到對稱性這一宏觀特征開始研究，符合學(xué)生的認(rèn)知特點，調(diào)動了學(xué)生主動參與教學(xué)的積極性，使他們進(jìn)行自主探究與合作交流，親身體驗幾何性質(zhì)的形成與論證過程，變靜態(tài)數(shù)學(xué)為動態(tài)數(shù)學(xué)。

教學(xué)中也突出多媒體輔助知識產(chǎn)生、發(fā)展和突破重、難點的優(yōu)勢，從而強(qiáng)化學(xué)生對知識的過程與方法的掌握，有利于學(xué)生對知識的理解和應(yīng)用。

六.教學(xué)過程

這是本節(jié)課教學(xué)過程的流程圖,我將本節(jié)課的教學(xué)過程設(shè)計為五大環(huán)節(jié),特點是以知識與技能為載體，過程與方法為主線，情感、態(tài)度與價值觀為目標(biāo)的設(shè)計原則，突出多媒體這一教學(xué)手段在本節(jié)課輔助知識產(chǎn)生，發(fā)展和突破重難點的優(yōu)勢。

篇二：橢圓的簡單幾何性質(zhì)教學(xué)設(shè)計

《橢圓的簡單幾何性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計

哈工大附中 閆曉麗

教材： 人民教育出版社a版選修1—1 【教學(xué)目標(biāo)】 1.知識目標(biāo)：

(1).使學(xué)生掌握橢圓的性質(zhì)，能根據(jù)性質(zhì)正確地作出橢圓草圖；掌握橢圓中 a、b、c的幾何意義及相互關(guān)系；

(2)通過對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，使學(xué)生知道在解析幾何中是怎樣用代數(shù)方法研究曲線性質(zhì)的，逐步領(lǐng)會解析法（坐標(biāo)法）的思想。(3)能利用橢圓的性質(zhì)解決實際問題。2.能力目標(biāo)：

培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括的邏輯思維能力和運用數(shù)形結(jié)合思想解決 實際問題的能力。

3.德育目標(biāo)：(1)通過對問題的探究活動，親歷知識的建構(gòu)過程，使學(xué)生領(lǐng)悟其中所蘊(yùn)涵 的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，體驗探索中的成功和快樂，使學(xué)生在探索中喜歡數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué)。(2)通過“神舟7號”飛天圓夢，激發(fā)學(xué)生愛國之情。

(3)培養(yǎng)學(xué)生既能獨立思考，又能積極與他人合作交流的意識和勇于探索創(chuàng)新的精神。

【教學(xué)重點】橢圓性質(zhì)的探索過程及性質(zhì)的運用。

【教學(xué)難點】利用曲線方程研究橢圓性質(zhì)的方法及離心率的概念。

【教學(xué)方法】發(fā)現(xiàn)探究式

【教學(xué)組織方式】學(xué)生獨立思考、合作交流、師生共同探究相結(jié)合。

【教學(xué)工具】多媒體課件、實物投影儀。

【教學(xué)過程】

一．創(chuàng)設(shè)情境

教師：請同學(xué)們看大屏幕（課件展示“神舟 七號”飛船在變軌前繞地球運 行的模擬圖）： 2008.9.25，是我國航天史上一個非常重要的日子，“神舟 七號”載人飛船成功發(fā)射，實現(xiàn)了幾代中國人遨游太空的夢想,這是我們中華民族的驕傲。我們知道，飛船繞地運行了十四圈，在變軌前的四圈中，是沿著以地球中 心為一個焦點的橢圓軌道運行的。如果告訴你飛船飛離地球表面最近和最遠(yuǎn)的距 離，即近地點距地面的距離和遠(yuǎn)地點距地面的距離，如何確定飛船運行的軌道方 程？要想解決這一實際問題，就有必要對橢圓做深入的研究，這節(jié)課我們就一起 探求橢圓的性質(zhì)。（引出課題）

教師：前面我們學(xué)習(xí)了橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，誰能說說橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（學(xué)生回答）。

二．探索研究 1.范圍

教師：同學(xué)們繼續(xù)觀察橢圓，如果分別過a1、a2作y軸的平行線，過b1、b2作x軸的平行線（課件展示），同學(xué)們能發(fā)現(xiàn)什么？

學(xué)生能答出：橢圓圍在一個矩形內(nèi)。

教師補(bǔ)充完整：橢圓位于四條直線x=±a, y=±b所圍成的矩形里，說明橢圓 是有范圍的。x2y2 教師：下面我們想辦法再用方程2+2=1(a>b>0)來證明這一結(jié)論的正確ab 性。啟發(fā)學(xué)生，用方程討論圖形的范圍就是確定方程中x、y的取值范圍。

從方程的結(jié)構(gòu)特點出發(fā)，師生共同分析，給出證明過程。x2y2 由2+2=1，利用兩個實數(shù)的平方和為1，結(jié)合不等式知識得，ab x2≤a2且y2≤b2,則有｜x｜≤a,｜y｜≤b, 所以-a≤x≤a,-b≤y≤b。2．對稱性的發(fā)現(xiàn)與證明

教師：橢圓的圖形給人們以視覺上的美感（課件展示橢圓），如果我們沿焦 點所在的直線上下對折，沿兩焦點連線的垂直平分線左右對折，大家猜想橢圓可能有什么性質(zhì)？（學(xué)生動手折紙，課前教師要求學(xué)生把上節(jié)學(xué)習(xí)橢圓定義時畫的橢圓拿來。）

學(xué)生們基本上能發(fā)現(xiàn)橢圓的軸對稱性。

教師：除了軸對稱性外，還可能有什么對稱性呢？

稍作提示容易發(fā)現(xiàn)中心對稱性。

教師：這僅僅是由觀察、猜想得到的結(jié)果，怎樣用方程證明它的對稱性？ 師生討論后，需要建立坐標(biāo)系，確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。不妨建立焦點在xx2y2 軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系，它的方程就是2+2=1。ab 教師：這節(jié)課就以焦點在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為例來研究橢圓的性質(zhì)。教師：這樣建立的坐標(biāo)系對稱軸恰好重合于坐標(biāo)軸，我們先證橢圓關(guān)于y軸對稱。

為了證明對稱性，先作如下鋪墊：（一起回顧）教師：在第一冊學(xué)過，曲線關(guān)于y軸對稱是指什么呢？

學(xué)生：曲線上的每一點關(guān)于y軸的對稱點仍在曲線上。

教師：要證曲線上每一點關(guān)于y軸的對稱點仍在曲線上，只要證明-----學(xué)生：曲線上任意一點關(guān)于y軸的對稱點仍在曲線上。

在學(xué)生嘗試進(jìn)行問題解決的過程中，當(dāng)他們難以把握問題解決的思維方向，難以建立起新舊知識的聯(lián)系時，這就需要教師適時進(jìn)行啟發(fā)點撥。

教師：同學(xué)們閱讀教材中橢圓對稱性的證明過程，仔細(xì)體會并思考“為什么把x換成-x時，方程不變，則橢圓關(guān)于y軸對稱”。

請一位學(xué)生講解橢圓對稱性的證明過程，以此來訓(xùn)練學(xué)生表述的邏輯性、完整性和推理的嚴(yán)謹(jǐn)性。

教師對學(xué)生的證明進(jìn)行評價。

教師：用類似的方法可以證明橢圓關(guān)于x軸對稱,關(guān)于原點對稱。課件展示x2y2 對稱性并總結(jié)：方程2+2=1表示的橢圓，坐標(biāo)軸是其對稱軸，原點是其對稱ab 中心.從而橢圓有兩條互相垂直的對稱軸,有一個對稱中心(簡稱中心).教師引導(dǎo)學(xué)生對這一環(huán)節(jié)進(jìn)行反思，即通過建立坐標(biāo)系，用橢圓的方程研究橢圓的性質(zhì)，這種方法我們今后經(jīng)常用到。

投影顯示下圖及問題

問題：圖中的橢圓有對稱軸和中心嗎？

指導(dǎo)學(xué)生思考討論后獲取共識：坐標(biāo)系是用來研究曲線的重要工具，而橢圓的對稱性是橢圓本身固有的性質(zhì)，無論橢圓在坐標(biāo)系的什么位置，它都有兩條互相垂直的對稱軸，有一個中心，與坐標(biāo)系的選取無關(guān)。（此問題也為后面研究平移變換埋下伏筆）。3.頂點的發(fā)現(xiàn)與確定

教師：我們研究曲線，常常需要根據(jù)曲線上特殊點的位置來確定曲線的位置。教師提問：你認(rèn)為橢圓上哪幾個點比較特殊？

由學(xué)生觀察容易發(fā)現(xiàn)，橢圓上存在著四個特殊點，這四個點就是橢圓與坐標(biāo) 軸的交點，同時也是橢圓與它的對稱軸的交點。

教師啟發(fā)學(xué)生與一元二次函數(shù)的圖像（拋物線）的頂點作類比，并給出橢圓的頂點定義。

教師：能根據(jù)方程確定這四個頂點的坐標(biāo)嗎？

由學(xué)生自主探究,求出四個頂點坐標(biāo)。即令x=0,得 y=±b，因此b1(0,-b), b2(0,b)，令y=0，得x=±a，因此a1(-a,0), a2(a,0)。

結(jié)合圖形指出長軸、短軸、長軸長、短軸長、長半軸長、短半軸長，半焦距，點明方程中a、b和c的幾何意義和數(shù)量關(guān)系。

由學(xué)生探究得出橢圓的一個焦點f2到長軸兩端點a1 , a2的距離分別為a+c 和a-c。教師指出，這在解決天體運行中的有關(guān)實際問題時經(jīng)常用到。4．離心率

教師：我們在學(xué)習(xí)橢圓定義時，用同樣長的一條細(xì)繩畫出的橢圓形狀一樣 嗎？

同學(xué)們能回答出：不一樣，有的圓一些，有的扁一些。

請同學(xué)們思考：橢圓的圓扁程度究竟與哪些量有關(guān)呢？

課件動畫演示

此時學(xué)生展開討論，可能有的說與a、c有關(guān)，也可能說與a、b有關(guān)等等。通過觀察演示實驗，化抽象為具體，引導(dǎo)學(xué)生思考。

教師引導(dǎo)學(xué)生從演示實驗觀察到由于橢圓位于直線x=±a,y=±b圍成的矩形 里，矩形的變化對橢圓形狀的影響。

矩形越狹長，橢圓越扁；矩形越接近于正方形，橢圓越接近于圓；當(dāng)矩形變?yōu)檎叫螘r，即a=b時,橢圓變?yōu)閳A。

即當(dāng)比值bb越小，橢圓越扁；比值越大，橢圓越接近于圓。aa bcbc2a2?c2a2?c2 由于 ===，所以當(dāng)越大時，越小，橢圓?()aaaaaa2 cbc越小時，越大，橢圓越接近于圓。把比值e=叫橢圓的離心率，aaa 分析出離心率的范圍：0＜e＜1。

結(jié)論：橢圓在-a＜x＜a，-b＜x＜b內(nèi)，離心率e越大，它就越扁；離心率e越接近于0，它就越接近于圓。所以說離心率是描述橢圓圓扁程度的量。

bc由上面的分析可以看到，比值、的大小都能反映橢圓的圓扁程度，為什aa c么定義是橢圓的離心率呢？因為a、c這兩個量是橢圓定義中固有的，是決定a c橢圓形狀最關(guān)鍵的要素，隨著今后的學(xué)習(xí)可以看到還有更重要的幾何意義。a 三．鞏固與創(chuàng)新應(yīng)用 越扁；當(dāng)

例1求橢圓 16x2?25y2?400 的長軸長、短軸長、離心率和頂點，并畫出它的草圖。

本題采用講練結(jié)合的方式。前一部分由學(xué)生口述求解過程，后一部分由教師 介紹畫橢圓草圖的方法（考慮到畫草圖對學(xué)生來說比較實用）。

解：由于a=5, b=4，c=25?16=3 橢圓的長軸長2a=10，短軸長2b=8 c3 離心率e== a5 因為焦點在x軸上，所以橢圓的四個頂點的坐標(biāo)是(-5,0)、(5,0)、(0,-4)、(0,4)教師：根據(jù)橢圓的性質(zhì)，可以快捷地畫出反映橢圓基本形狀和大小的草圖，方法如下：（課件展示）

首先確定橢圓的四個頂點，其次畫出表示范圍的矩形框，然后畫出橢圓在第一象限的部分，最后根據(jù)對稱性用平滑的曲線將四個頂點連成一個橢圓的基本圖形。

教師提醒學(xué)生：畫圖時注意橢圓的對稱性和頂點附近的平滑性。

學(xué)生根據(jù)畫草圖的方法畫出上述方程表示的橢圓。

教師說明，如果需要比較準(zhǔn)確地畫出橢圓，可以按教材例1那樣，用描點法 畫出橢圓在第一象限的部分，再根據(jù)對稱性畫出整個橢圓（要求學(xué)生課下閱讀教材中的描點法作圖）。x2y2 練習(xí)：如果把例1中的橢圓方程改為+=1，則長軸長、短軸長、離心1625 率和頂點有什么變化。

此處是一個創(chuàng)新點，培養(yǎng)學(xué)生用類比的思想解決問題的能力，也通過與上題

做比較，使學(xué)生體會到橢圓的性質(zhì)是其本身固有的，是客觀存在的，與坐標(biāo)系的選取無關(guān)。

學(xué)生的回答可能會因為長軸位置發(fā)生變化而導(dǎo)致頂點坐標(biāo)出錯，教師要予以糾正。（此題用實物投影展示或由學(xué)生到黑板板書）

例2 我國發(fā)射的“神舟七號”飛船在變軌前是沿以地球的中心f2為一個焦 點的橢圓軌道運行的。已知它的近地點a（離地面最近的點）距地面約為200km,遠(yuǎn)地點b（離地面最遠(yuǎn)的點）距地面約為350km，地球半徑為6371km并且f2、a、b在同一直線上，求飛船運行的軌道方程。（結(jié)果精確到0.01km）

設(shè)置本題的主要意圖是:第一,為增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力；第二，為滿足中等及中等以上層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。

師生共同分析：先把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。（求神舟五號飛船的軌道方程，就是求橢圓的方程）。

教師：求橢圓的方程又需要先做什么呢？（建立坐標(biāo)系）。怎樣建系？（以過a、b的直線為x軸，f2為橢圓的右焦點，記f1為左焦點x2y2 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系（課件上作圖、建系）則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為2+2=1 ab(a>b>0)。

下面確定a、b的值，題中提供的信息是近地點、遠(yuǎn)地點到地面的距離以及地球的半徑，由這些條件我們可以知道些什么呢？

學(xué)生對照圖形認(rèn)真思考，相互討論由學(xué)生得出解法。

｜f2 a｜=6371+200，｜f2 b｜=6371+350 又∵｜f2 a｜=｜o a｜-｜of2｜=a-c 因此,有 a-c=｜o a｜-｜of2｜=｜f2 a｜=6371+200=6571 同理,得 a+c=｜o b｜+｜of2｜=｜f2b｜=6371+350=6721 解得 a=6646，c=75 b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=44163691≈6645.582 x2y2 因此，飛船的軌道方程為+=1 664626645.582 學(xué)生可能出現(xiàn)的另一種解法：

由2a =｜ab｜=｜bn｜+｜nm｜+｜ma｜ =350+2×6371+200 ∴ a =6646 c =｜of2｜=｜o a｜-｜f2 a｜ =6646-6371-200=75 以下做法同上。

計算過程由學(xué)生用計算器求得。

教師最后課件展示：用計算機(jī)畫出飛船運行的軌跡。

四．總結(jié)提煉

教師：通過這節(jié)課學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么？（教師引導(dǎo)學(xué)生從知識和方法兩方面進(jìn)行歸納總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生反思自己學(xué)習(xí)過程的意識）

篇三：橢圓的簡單幾何性質(zhì)教案

課題：橢圓的簡單幾何性質(zhì)

設(shè)計意圖：本節(jié)內(nèi)容是橢圓的簡單幾何性質(zhì)，是在學(xué)習(xí)了橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程之后展開的，它是繼續(xù)學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)。因此本節(jié)內(nèi)容起到一個鞏固舊知，熟練方法，拓展新知的承上啟下的作用，是發(fā)展學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)創(chuàng)新能力的好素材。本教案的設(shè)計遵循啟發(fā)式的教學(xué)原則，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、實驗、探究、驗證與交流等數(shù)學(xué)活動能力。

教學(xué)目標(biāo)：了解用方程的方法研究圖形的對稱性；理解橢圓的范圍、對稱性及對稱軸，對稱中心、離心率、頂點的概念；掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、會用橢圓的定義解決實際問題；通過例題了解橢圓的第二定義，準(zhǔn)線及焦半徑的概念，利用信息技術(shù)初步了解橢圓的第二定義． 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想方法。

教學(xué)重點：橢圓的簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用。

教學(xué)難點：橢圓的簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用。

二過程與方法目標(biāo)

（1）復(fù)習(xí)與引入過程

引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)由函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質(zhì)或其圖像的特點，在本節(jié)中不僅要注意通過對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，研究橢圓的幾何性質(zhì)的理解和應(yīng)用，而且還注意對這種研究方法的培養(yǎng)．①由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和非負(fù)實數(shù)的概念能得到橢圓的范圍；②由方程的性質(zhì)得到橢圓的對稱性；③先定義圓錐曲線頂點的概念，容易得出橢圓的頂點的坐標(biāo)及長軸、短軸的概念；④通過p48的思考問題，探究橢圓的扁平程度量橢圓的離心率．

〖板書〗橢圓的簡單幾何性質(zhì)．

（2）新課講授過程

（i）通過復(fù)習(xí)和預(yù)習(xí)，知道對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論來研究橢圓的幾何性質(zhì)． 提問：研究曲線的幾何特征有什么意義？從哪些方面來研究？

通過對曲線的范圍、對稱性及特殊點的討論，可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置．要從范圍、對稱性、頂點及其他特征性質(zhì)來研究曲線的幾何性質(zhì)．

（ii）橢圓的簡單幾何性質(zhì) y2x2 ①范圍：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，2?1?2?0，進(jìn)一步得：?a?x?a，同理可ba 得：?b?y?b，即橢圓位于直線x??a和y??b所圍成的矩形框圖里；

②對稱性：由以?x代x，以?y代y和?x代x，且以?y代y這三個方面來研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程發(fā)生變化沒有，從而得到橢圓是以x軸和y軸為對稱軸，原點為對稱中心；

③頂點：先給出圓錐曲線的頂點的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點叫做圓錐曲線的頂點．因此橢圓有四個頂點，由于橢圓的對稱軸有長短之分，較長的對稱軸叫做長軸，較短的叫做短軸；

④離心率： 橢圓的焦距與長軸長的比e?c叫做橢圓的離心率（0?e?1），a，b?當(dāng)e?1時，c?a，?圓圖形越扁?橢?0?當(dāng)e?0時，c?0，b?a；? ． ?橢圓越接近于 圓

（iii）例題講解與引申、擴(kuò)展

例1 求橢圓16x?25y?400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標(biāo)． 分析：由橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，容易求出a,b,c．引導(dǎo)學(xué)生

用橢圓的長軸、短軸、離心率、焦點和頂點的定義即可求相關(guān)量．

擴(kuò)展：已知橢圓mx?5y?5m?m? 0?的離心率為e?22225 求m的值．

解法剖析：依題意，m?0,m?5，但橢圓的焦點位置沒有確定，應(yīng)分類討論：①當(dāng)焦點在x軸上，即0?m? 5時，有a?b?c?，∴?，得

m?3；②當(dāng)焦點在y軸上，即m?5時，有a?b?c?，∴?25?m?． 3 例2 如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面的一部分．過對對稱的截口bac是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點f1上，片門位于另一個焦點f2上，由橢圓一個焦點f1發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點f2．已知bc?f1f2，f1b?2.8cm，f1f2?4.5cm．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求截口bac所在橢圓的方程． x2y2 解法剖析：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2?2?1，算出a,b,c的ab 值；此題應(yīng)注意兩點：①注意建立直角坐標(biāo)系的兩個原則；②關(guān)于a,b,c的近似值，原則上在沒有注意精確度時，看題中其他量給定的有效數(shù)字來決定．

引申：如圖所示，“神舟”截人飛船發(fā)射升空，進(jìn)入預(yù)定

軌道開始巡天飛行，其軌道是以地球的中心f2為一個焦點的橢 圓，近地點a距地面200km，遠(yuǎn)地點b距地面350km，已知

地球的半徑r?6371km．建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出橢圓的軌跡方程．

例3如圖，設(shè)m?x,y?與定點f?4,0?的距離和它到直線l：x?25的距離的比是常數(shù)4 4，求點m的軌跡方程． 5 分析：若設(shè)點m?x,y?，則

mf?，到直線l：x?25的距離4d?x?25，則容易得點m的軌跡方程． 4 引申：（用《幾何畫板》探究）若點m?x,y?與定點f?c,0? a2 的距離和它到定直線l：x?的距離比是常數(shù)c a2cx?則點m的軌跡方程是橢圓．其中定點f?c,0?是焦點，定直線l：e??a?c?0?，ca a2 x??．相應(yīng)于f的準(zhǔn)線；由橢圓的對稱性，另一焦點f???c,0?，相應(yīng)于f?的準(zhǔn)線l?：(3)c 小結(jié)

1．知識總結(jié)：橢圓的幾何性質(zhì) 2．思想方法總結(jié)：

教師根據(jù)學(xué)生的總結(jié)做適當(dāng)補(bǔ)充、歸納、點評。

第三篇：橢圓的簡單幾何性質(zhì)教學(xué)設(shè)計

<<橢圓的幾何性質(zhì)>>教學(xué)設(shè)計

山西省運城中學(xué)

趙彥明

一、教學(xué)分析：

（一）教學(xué)內(nèi)容分析

橢圓是生活中常見的曲線，是學(xué)生學(xué)習(xí)第二章所接觸到的第一個重要的圓錐曲線，研究它的幾何性質(zhì)，對于后續(xù)學(xué)習(xí)圓錐曲線有著重要的指導(dǎo)作用，也為研究雙曲線和拋物線奠定了基礎(chǔ)。

（二）教學(xué)對象分析

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，根據(jù)方程研究曲線的性質(zhì)。按照學(xué)生的認(rèn)知特點，改變了教材中原有安排順序，引導(dǎo)學(xué)生從觀察課前預(yù)習(xí)所作的圖形入手，從分析對稱開始，循序漸進(jìn)進(jìn)行探究。

（三）教學(xué)環(huán)境分析

因為本節(jié)內(nèi)容比較抽象，再者學(xué)校條件的有限所以利用電腦模擬動點運動,增強(qiáng)直觀性,激勵學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī),培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、數(shù)學(xué)想像能力和抽象思維能力。

二、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識與技能

掌握橢圓的簡單的幾何性質(zhì)，學(xué)會由已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的幾何性質(zhì)的一般方法與步驟。

（二）過程與方法

通過實際活動培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、觀察、歸納的能力；培養(yǎng)分析、抽象、概括的能力，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)；經(jīng)歷幾何問題代數(shù)化的過程，感受解析幾何研究問題的思路和方法。

（三）情感與態(tài)度

通過有關(guān)橢圓幾何性質(zhì)的實際應(yīng)用的介紹，激發(fā)學(xué)生研究橢圓的幾何性質(zhì)的積極性。

三、教學(xué)重難點及教具

（一）教學(xué)重點：由標(biāo)準(zhǔn)方程分析出橢圓的幾何性質(zhì)

（二）教學(xué)難點：橢圓離心率幾何意義的理解

（三）教學(xué)用具：電腦，課件（媒體資料），投影儀，幻燈片，學(xué)生每人一個橢圓形紙板（同桌相同），直尺

四、教學(xué)方法過程及整合點

（一）教學(xué)方法：講授法、啟發(fā)法、討論法、情境教學(xué)法、小組合作交流

（二）教學(xué)過程： １.創(chuàng)設(shè)情境，欣賞傾聽

這節(jié)課我們繼續(xù)研究有關(guān)橢圓的相關(guān)知識，在進(jìn)入本節(jié)課的知識之前，我們先看一段視頻短片：

（整合點：播放中央電視臺新聞中關(guān)于國家大劇院外部景觀介紹的視頻短片）﹝設(shè)計意圖:提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣﹞

提出問題：為什么國家大劇院最終會選擇了橢球形設(shè)計呢？ ﹝設(shè)計意圖:激發(fā)學(xué)生的求知欲，引入課題﹞

教師指出其根本原因是橢球形非常美觀，這源于橢圓的美！那么橢圓到底美在何處？它又具有哪些特性？讓我們一起來研究一下——橢圓的幾何性質(zhì)，以方程x2y2??1(a?b?0)為研究對象。a2b2（板書）12.1.2 橢圓的幾何性質(zhì)

2．探究問題，觀察發(fā)現(xiàn)

從哪幾方面研究研究橢圓的幾何性質(zhì)呢?學(xué)生紛紛討論之后老師確定從橢圓的 2

對稱性、頂點、范圍、離心率來探究。探究一：橢圓的對稱性

問題1：你能找到橢圓紙板的中心嗎？

﹝設(shè)計意圖:讓學(xué)生直觀感知，操作確認(rèn)，更深入認(rèn)識橢圓的對稱性﹞

學(xué)生活動:用手中的紙板折紙——把橢圓紙板折疊，使兩部分完全重合，兩條折痕的交點，即為橢圓紙板的中心，兩條折痕為對稱軸。實物演示部分可以由學(xué)生同桌兩兩一組共同完成（整合點：學(xué)生通過實物投影儀展示活動成果，教師通過幾何畫板演示 “橢圓的對稱性.gsp”）

得出結(jié)論：橢圓具有對稱性。

①兩條折痕為對稱軸——橢圓是軸對稱圖形，它關(guān)于x軸和y軸對稱； ②實物演示：橢圓繞中心旋轉(zhuǎn)180?后與原橢圓重合——橢圓也是中心對稱圖形，這時坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。

問題2：從方程看如何判斷橢圓的對稱性？

﹝設(shè)計意圖:經(jīng)歷幾何問題代數(shù)化的過程，感受解析幾何研究問題的思路和方法。﹞

學(xué)生討論：設(shè)P（x，y），則P點關(guān)于x軸、y軸和坐標(biāo)原點的對稱點分別是（x，-y）、（-x，y）、（-x，-y）若曲線關(guān)于x軸對稱，則P點關(guān)于x軸對稱點也在曲線上，即（x，-y）滿足方程。同理可以推出另外兩種情況。問題3：通過上面研究同學(xué)們歸納出方程要滿足什么條件曲線才具有這些對稱性？

﹝設(shè)計意圖: 為培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納問題的能力。為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。﹞

學(xué)生討論得出：以-x代x，方程不變，則曲線關(guān)于y軸對稱；以-y代y，方程不變，則曲線關(guān)于x軸對稱；同時以-x代x、以-y代 y，方程不變，則曲線關(guān)于原點對稱。

（板書）橢圓的對稱性：橢圓關(guān)于x軸，y軸和原點對稱。探究二：橢圓的頂點

問題4：橢圓與它的對稱軸有交點嗎？若有，那么橢圓與它的對稱軸有幾個交點？你能求出交點的坐標(biāo)嗎?

學(xué)生易得：橢圓與對稱軸有交點，有四個交點。問題5：從方程看如何求出橢圓的頂點？ ﹝設(shè)計意圖:體驗用代數(shù)的方法研究幾何問題過程﹞ 令x=0則有y=b或y=-b;同理可得x=a或x=-a

22教師指出：其實，我們把橢圓x2?y2?1(a?b?0)與坐標(biāo)軸的交點

abA1(?a,0),A2(a,0),B1(0,?b),B2(0,b)就叫做橢圓的頂點。

其中線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸。顯然長軸長|A1A2|＝2a，短軸長|B1B2|＝2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長，此時長軸在x 軸上。（整合點：教師通過ppt演示 “橢圓的頂點”）

（板書）橢圓的頂點：A1(?a,0),A2(a,0),B1(0,?b),B2(0,b)。探究三：橢圓的范圍

問題6：請同學(xué)們拿起手中的作業(yè)紙，思考如果在一張矩形紙上作橢圓，要求所作橢圓盡可能最大，應(yīng)如何做？

﹝設(shè)計意圖: 讓學(xué)生通過動手操作更深入認(rèn)識橢圓的范圍﹞

學(xué)生活動:分小組討論，并動手解決本問題，盡量使回答準(zhǔn)確、精練。得出結(jié)論：橢圓是有范圍的。

教師引導(dǎo)學(xué)生動手動腦，將具體實例抽象成數(shù)學(xué)圖形，數(shù)學(xué)問題，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)來研究：如下圖，﹝設(shè)計意圖:利用“橢圓的頂點.ppt”課件展示，使學(xué)生直觀

感性認(rèn)識橢圓范圍所在區(qū)域﹞

學(xué)生得出：橢圓位于直線x??a,y??b所圍成的矩形內(nèi)。

問題7：如何從數(shù)的角度（也就是方程）來驗證我們剛才從直觀（也就是形）得來的結(jié)論呢？

﹝設(shè)計意圖:體驗用代數(shù)的方法研究幾何問題過程，體會數(shù)形結(jié)合的思想﹞

（整合點：用多種方法探究，匯報研究成果并用實物投影展示或到黑板板書。）學(xué)生可能有如下方法: 方法1：由且，則有

利用兩個實數(shù)的平方和為1，結(jié)合不等式知識得

。那么它的范圍就是直線所圍成的區(qū)域。

方法2：從中解出，利用可得y的取值范圍，同樣可得x的取值范圍。

方法3：把和分別看作是一個函數(shù)，只需求范圍。的定義域、值域即可，然后利用對稱性可得(板書)教師指出橢圓的范圍：-a≤x≤a,-b≤y≤b 5

探究四：橢圓的離心率

橢圓的簡單的幾何性質(zhì)中，比較抽象的難于理解的就是橢圓的離心率問題。為了能將抽象的問題形象化，利于學(xué)生的理解與接受，設(shè)計如下的課堂活動，讓全體學(xué)生參與到課堂中來，在自己的探究中獲得學(xué)習(xí)的樂趣，學(xué)習(xí)的快樂，并且可以使不同程度的學(xué)生都有所收獲。

問題8：請同學(xué)們舉起手中的橢圓，大家觀察它們的形狀有何不同？圓的形狀都是相同的，而橢圓卻有些比較“扁”，有些比較“圓”，用什么樣的量來刻畫橢圓“扁”的程度呢？

﹝設(shè)計意圖:在同學(xué)們參與到課堂活動中的時候，在自己舉起自己手的橢圓的時候希望得到大家的關(guān)注想與大家交流，同時，在其他同學(xué)們舉起手中的橢圓的時候，他們也會更加去關(guān)注其他同學(xué)手中的橢圓的形狀，進(jìn)而與自己手中的橢圓進(jìn)行比較。在比較的過程中就會發(fā)現(xiàn)橢圓形狀的變化，引起思考。﹞

有的同學(xué)手中的橢圓形紙板扁長，有的同學(xué)手中的橢圓形紙板稍圓，有的同學(xué)手中的橢圓更接近于圓形。

本過程中，由具體的同學(xué)們的手中的橢圓形狀的變化到抽象的平面直角坐標(biāo)系中橢圓形狀的變化的過程中，幾何畫板的強(qiáng)大功能會發(fā)揮巨大的作用。在幾何畫板中展示橢圓的形狀變化的同時，還可以讓學(xué)生觀察到橢圓中a,b,c三個參量的變化，進(jìn)而對橢圓的離心率充分了解。觀看課件演示，加深對離心率問題的直觀認(rèn)識。

(整合點：展示“橢圓的離心率.gsp”幾何畫板，取橢圓的長軸長不變，拖動兩焦點改變它們之間的距離，再畫橢圓，由學(xué)生觀察出橢圓形狀的變化。)

教師指出：在剛才的演示中，我們發(fā)現(xiàn)在橢圓長軸長不變的前提下，兩個焦點離開中心的程度不一樣，可以用離心率來描述

1）概念：橢圓焦距與長軸長之比。2）定義式：問題9：那么離心率與橢圓的扁圓程度有什么關(guān)系呢？

﹝設(shè)計意圖:學(xué)生通過觀察動畫更容易找出橢圓圖形隨e的變化而變化的規(guī)律，他到突破難點的效果﹞

再一次演示幾何畫板。學(xué)生發(fā)現(xiàn)不變時，c變大，即離心率變大時，橢圓越扁；c變小即離心率變小時，橢圓越圓。

從式子上看：，橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時

時的特例。，此時也可認(rèn)為線段為橢圓也可認(rèn)為圓為橢圓在橢圓變扁，直至成為極限位置線段在時的特例。

(板書)橢圓的離心率：3．反思構(gòu)建，性質(zhì)應(yīng)用，1）求橢圓9x2＋25y2＝225的長軸和短軸的長，離心率、交點和頂點的坐標(biāo)。2）下列各組橢圓中，哪一個更接近于圓？

x2y2(1)4x?9y?36與??12520x2y222(2)9x?4y?36與??11216223）請你動手用尺子測量一下你手中的橢圓的長軸長和短軸長，寫出該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

由于每個同學(xué)手里的橢圓長軸與短軸長度不一樣，因此在這個過程中學(xué)生都熱情非常高的參與到這個測量的活動中來，進(jìn)而寫出其手中的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

本過程兩個方面考察學(xué)生對于橢圓及其幾何性質(zhì)的掌握,應(yīng)用2)更是突出了對學(xué)生的實際動手能力和觀察能力的培養(yǎng)。4．課堂小結(jié)，競爭合作

請你談?wù)勍ㄟ^這節(jié)課的學(xué)習(xí),你學(xué)習(xí)到了什么?并且請各組成員互相評價。5．首尾呼應(yīng), 解決問題

我們對于橢圓的幾何性質(zhì)的探索由來已久，現(xiàn)在橢圓的幾何性質(zhì)也正在被廣泛的應(yīng)用于各種設(shè)計中，國家大劇院是其中最典型的代表之一。當(dāng)然,國家大劇 7

院之所以會選擇了橢球形的設(shè)計，還有其他方面的考慮，例如很多科技方面的因素,感興趣的同學(xué)可以自己課下查找一些資料,對這個問題全面了解。6．課后作業(yè)，鞏固提高

1）求出你的橢圓的焦點、頂點的坐標(biāo)，離心率，并通過測量將焦點坐標(biāo)標(biāo)在你的橢圓上；

2）完成焦點在y軸上的橢圓的幾何性質(zhì)的研究。

探究活動：課后查閱資料嘗試找到橢圓的幾何性質(zhì)在現(xiàn)實生活中的其他應(yīng)用。

第四篇：幾何證明題方法

(初中、高中)幾何證明題一些技巧

初中幾何證明技巧（分類）

證明兩線段相等

1.兩全等三角形中對應(yīng)邊相等。

2.同一三角形中等角對等邊。

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。

4.平行四邊形的對邊或?qū)蔷€被交點分成的兩段相等。

5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。

6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。

7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。

8.過三角形一邊的中點且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。*9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。

*10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。

11.兩前項（或兩后項）相等的比例式中的兩后項（或兩前項）相等。*12.兩圓的內(nèi)（外）公切線的長相等。

13.等于同一線段的兩條線段相等。

證明兩個角相等

1.兩全等三角形的對應(yīng)角相等。

2.同一三角形中等邊對等角。

3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。

4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯角或平行四邊形的對角相等。

5.同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等。

*6.同圓（或圓）中，等弦（或?。┧鶎Φ膱A心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。

*7.圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

8.相似三角形的對應(yīng)角相等。

*9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角。

10.等于同一角的兩個角相等。

證明兩條直線互相垂直

1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。

2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。

3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。

4.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。

5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。

6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。

7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的對角線互相垂直。

*10.在圓中平分弦（或?。┑闹睆酱怪庇谙?。

*11.利用半圓上的圓周角是直角。

證明兩直線平行

1.垂直于同一直線的各直線平行。

2.同位角相等，內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。

3.平行四邊形的對邊平行。

4.三角形的中位線平行于第三邊。

5.梯形的中位線平行于兩底。

6.平行于同一直線的兩直線平行。

7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊。

證明線段的和差倍分

1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。

2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。

3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。

4.取長線段的中點，再證其一半等于短線段。

5.利用一些定理（三角形的中位線、含 30 度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三 角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）。

證明 角的和差倍分

1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。

2.利用角平分線的定義。

3.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。

證明線段不等

1.同一三角形中，大角對大邊。

2.垂線段最短。

3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

4.在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。*5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。

6.全量大于它的任何一部分。

證明兩角的不等

1.同一三角形中，大邊對大角。

2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。

3.在兩個三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。*4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。

5.全量大于它的任何一部分。

證明比例式或等積式

1.利用相似三角形對應(yīng)線段成比例。

2.利用內(nèi)外角平分線定理。

3.平行線截線段成比例。

4.直角三角形中的比例中項定理即射影定理。

*5.與圓有關(guān)的比例定理---相交弦定理、切割線定理及其推論。

6.利用比利式或等積式化得。

證明四點共圓

*1.對角互補(bǔ)的四邊形的頂點共圓。

*2.外角等于內(nèi)對角的四邊形內(nèi)接于圓。

*3.同底邊等頂角的三角形的頂點共圓（頂角在底邊的同側(cè)）。

*4.同斜邊的直角三角形的頂點共圓。

*5.到頂點距離相等的各點共圓

知識歸納：

1.幾何證明是平面幾何中的一個重要問題，它對培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作 用。幾何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問題。

2.掌握分析、證明幾何問題的常用方法：（1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐 步向前推進(jìn)，直到問題的解決；（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再 把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實為止；（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來，分析法利于思考，綜合法易于 表達(dá)，因此，在實際思考問題時，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。

3.掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜 圖形分解成基本圖形。在更多時候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時往往需要添加輔助 線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的。一.證明線段相等或角相等 兩條線段或兩個角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其 兩條線段或兩個角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。它問題最后都可化歸為此類問題來證。它問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等 三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等 也經(jīng)常用到。也經(jīng)常用到。

第五篇：2、橢圓的簡單幾何性質(zhì)復(fù)習(xí)教案

橢圓的簡單幾何性質(zhì)

一、知識歸納：

1、幾何性質(zhì)：

2、橢圓的

三、強(qiáng)化訓(xùn)練：

1、求下列各橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)，并畫出草圖。（1）4x2?y2?16

（2）9x2?y2?4

2、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）橢圓經(jīng)過兩點P(?22,0),Q(0,5)；（2）長軸是短軸的3倍，橢圓經(jīng)過P(3,0)；（3）離心率等于0.8，焦距是8。

3、若直線4x?3y?12?0過橢圓b2x2?a2y2?a2b2(a?b?0)的一個焦點，離心率e?35，求該橢圓的方程。

225xy4、橢圓，那么P到右焦點的距離??1上有一點P，它到左準(zhǔn)線的距離等于

2259是。

5、在橢圓x225為

。?y29?1上有一點P，它到左焦點的距離等于它到右焦點距離的3倍，則P的坐標(biāo)

6、過橢圓4x2?2y2?1的一個焦點F1的直線與橢圓交于A、B兩點，則A、B與橢圓的另一焦點F2構(gòu)成?ABF2，那么?ABF2的周長是

（）A.2B.2

C.2

D.1

7、若橢圓兩準(zhǔn)線間的距離等于焦距的4倍，則這個橢圓的離心率為

A．14（）

xB．222 ?1和

x2C．?y224 D．

8、已知k＜4，則曲線

9?k4?k94A.相同的準(zhǔn)線

B.相同的焦點

C.相同的離心率

D.相同的長軸

x2?y2?1有

（）

9、若點P在橢圓2積是

（）?y2?1上，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的兩焦點，且?F1PF2?90，則?F1PF2的面

?A.2

B.1

C.22

D.10、方程2(x?1)?(y?1)?|x?y?2|的曲線是（）A.橢圓 B.線段 C.拋物線 D.無法確定

?x?3cos?

11、曲線?（?為參數(shù)）的準(zhǔn)線方程是。

y?sin??

12、若實數(shù)x,y滿足

13、橢圓x2x216?y225?1，則y?3x的最大值為。

128?m?2y29?1的離心率是2，則兩準(zhǔn)線間的距離是。

14、已知橢圓x?8y?8，在橢圓上求一點P，使P導(dǎo)直線x?y?4?0的距離最小并求出最小值。