2018-2019學(xué)年市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1．已知集合，1，，則（）

A．，B．

C．

D．

【答案】A

【解析】直接利用交集的定義可得解.【詳解】，1，；，．

故選：．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了交集的定義，屬于基礎(chǔ)題.2．直線的斜率為（）

A．1

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】將直線轉(zhuǎn)化為斜截式可直接得斜率.【詳解】

由，得．

直線的斜率為．

故選：．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了斜率的概念，屬于基礎(chǔ)題.3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】直接由解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性即可得解.【詳解】

．函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)為非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤，．函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，不滿足條件．故錯(cuò)誤，．函數(shù)為奇函數(shù)，在上為減函數(shù)，不滿足條件．故錯(cuò)誤，．，函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，滿足條件．故正確

故選：．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.4．在一個(gè)倉庫里堆積著正方體的貨箱若干，要搬運(yùn)這些箱子很困難，可是倉庫管理員要清點(diǎn)一下箱子的數(shù)量，于是就想出一個(gè)辦法：將這堆貨物的三視圖畫了出來，你能根據(jù)三視圖，幫他清點(diǎn)一下箱子的數(shù)量嗎？這些正方體貨箱的個(gè)數(shù)為（）

A．6

B．7

C．8

D．9

【答案】C

【解析】結(jié)合三視圖分析每層小正方體的個(gè)數(shù)即可得解.【詳解】

解：由俯視圖可得所有小正方體共6摞，每摞小正方體的個(gè)數(shù)如下圖所示：

故這些正方體貨箱的個(gè)數(shù)為8個(gè)，故選：．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了識(shí)別幾何體的三視圖，考查了空間想象力，屬于基礎(chǔ)題.5．設(shè)，，則，大小關(guān)系正確的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】利用指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較三個(gè)數(shù)和0,1的關(guān)系即可得解.【詳解】，；

．

故選：．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了指數(shù)、對數(shù)的比較大小，考查了函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.6．當(dāng)時(shí)，下列選項(xiàng)中，函數(shù)和的大致圖象正確的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】結(jié)合判斷兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】

當(dāng)時(shí)，則是減函數(shù)，是過原點(diǎn)的增函數(shù)，故選：．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.7．將一個(gè)直角邊長為2的等腰直角三角形繞其一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周所形成幾何體的體積為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】直接由圓錐的體積公式求解即可.【詳解】

旋轉(zhuǎn)成的幾何體是圓錐，其底面半徑為，高為，如圖所示；

則圓錐的體積為．

故選：．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了圓錐的體積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.8．已知函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）

A．

B．，C．

D．，【答案】D

【解析】直接根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，由對稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系即可得解.【詳解】

依題意對稱軸，解得，故選：．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.9．過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為（）

A．或

B．或

C．或

D．

【答案】B

【解析】分直線過原點(diǎn)與不過原點(diǎn)兩種情況求解，不過原點(diǎn)時(shí)只需斜率為-1即可.【詳解】

直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，當(dāng)截距為0時(shí)，直線方程為：；

當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，斜率為，直線方程：．

直線方程為或．

故選：．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直線的截距的概念，容易忽略過原點(diǎn)的情況，屬于易錯(cuò)題.10．已知，是兩條不同的直線，，是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）

A．若，則

B．若，則

C．若，則

D．若，則

【答案】C

【解析】通過分析線面和面面的位置關(guān)系，通過找反例可知A,B,D不正確，由線面垂直的判斷得C.【詳解】

由，是兩條不同的直線，，是三個(gè)不同的平面，知：

在中，若，則與相交、平行或異面，故錯(cuò)誤；

在中，若，則與相交或平行，故錯(cuò)誤；

在中，若，則由面面垂直的判定定理得，故正確；

在中，若，則與相交、平行或，故錯(cuò)誤．

故選：．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線面和面面的位置關(guān)系，考查了空間想象力，屬于基礎(chǔ)題.11．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間，上單調(diào)遞減，若實(shí)數(shù)滿足（1），則的取值范圍為（）

A．，B．，C．，D．，【答案】D

【解析】由奇偶性和單調(diào)性可得，從而得解.【詳解】

函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間，上單調(diào)遞減，（1），等價(jià)為（1），即．即，得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.12．已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】作出的圖象如圖，令，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合二次拋物線的圖象根據(jù)根的分布列不等式求解即可.【詳解】

作出的圖象如圖：

設(shè)，則由圖象知當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)根，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)為函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，其中或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)另一個(gè)根為滿足題意；

當(dāng)時(shí)，則滿足，得，得，綜上：.故選：．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了復(fù)合型方程的根的個(gè)數(shù)問題，進(jìn)行合理的等價(jià)轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.二、填空題

13．__．

【答案】

【解析】直接利用對數(shù)的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】

原式．

故答案為：2．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了對數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.14．已知直線與相互平行，則兩直線與之間的距離為__．

【答案】

【解析】由平行得，再利用平行線的距離公式可得解.【詳解】

直線與相互平行，此時(shí)，兩直線與之間的距離為．

故答案為：．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直線的平行求參數(shù)及平行線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.15．已知函數(shù)，為常數(shù)），若，則__．

【答案】

【解析】設(shè)，可得函數(shù)為奇函數(shù)，從而可得，即得，代入條件即可得解.【詳解】

根據(jù)題意，設(shè)，有，則函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，變形可得，則有，則；

故答案為：5.【點(diǎn)睛】

本題主要考查了奇偶性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)，從而與奇偶性建立聯(lián)系進(jìn)而得解，屬于基礎(chǔ)題.16．已知直三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在球上，底面是直角三角形，且，側(cè)棱，則球的體積為__．

【答案】

【解析】利用直三棱柱的幾何特征結(jié)合底面為直角三角形可找到球心，從而得半徑，即可得解.【詳解】

如圖，分別為，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，易知，即為外接球球心，計(jì)算可得，故答案為：．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三棱柱的外接球問題，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題

17．已知函數(shù)，．

（1）在同一直角坐標(biāo)系中作出與的圖象；

（2）請寫出的一個(gè)函數(shù)性質(zhì)，并給予證明；

（3）請寫出不等式的解集．

【答案】（1）圖像見解析（2）是偶函數(shù)，證明見解析（3）

【解析】（1）利用分段函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的圖象可作圖；

（2）由圖像可得函數(shù)為偶函數(shù)，進(jìn)而利用定義證明即可；

（3）結(jié)合圖象即可解不等式.【詳解】

（1），則對應(yīng)的圖象為

（2）函數(shù)是偶函數(shù)，是偶函數(shù)．

（3）當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，由，得，由圖象知若，則，即不等式的解集為.【點(diǎn)睛】

本題主要考查了分段函數(shù)的圖象及圖象的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18．已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．

（1）求邊所在直線的方程；

（2）若邊上的中線所在直線的方程為，求的面積．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）先求直線的斜率結(jié)合點(diǎn)斜式即可得解；

（2）先將點(diǎn)代入直線可得，再由的中點(diǎn)坐標(biāo)為，滿足直線可得，；利用點(diǎn)到直線的距離可求高，從而得面積.【詳解】

（1），邊所在直線的方程為：，即；

（2）把代入，解得．

中線的方程為，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，即．，點(diǎn)到直線的距離．

．

．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直線方程的求解，涉及點(diǎn)斜式，中點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)到直線的距離，屬于基礎(chǔ)題.19．用水清洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥，對用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1個(gè)單位量的水可洗掉蔬菜上殘留農(nóng)藥量的，用水越多洗掉的農(nóng)藥量也越多，但總還有農(nóng)藥殘留在蔬菜上．設(shè)用單位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為函數(shù)．

（1）試規(guī)定的值，并解釋其實(shí)際意義；

（2）試根據(jù)假定寫出函數(shù)應(yīng)該滿足的條件和具有的性質(zhì)；

（3）設(shè)．現(xiàn)有單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗兩次，試問用哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量比較省？說明理由．

【答案】（1），表示沒有用水洗時(shí)，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量將保持原樣（2）函數(shù)應(yīng)該滿足的條件和具有的性質(zhì)是：在，上單調(diào)遞減，且（3）答案不唯一，具體見解析

【解析】（1）由表示未清洗的意思，從而得解；

（2）結(jié)合題干信息可得和及的范圍；

（3）分別計(jì)算兩種方式的農(nóng)藥殘留量，進(jìn)而作差比較大小即可.【詳解】

（1），表示沒有用水洗時(shí)，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量將保持原樣．

（2）函數(shù)應(yīng)該滿足的條件和具有的性質(zhì)是：在，上單調(diào)遞減，且．

（3）設(shè)僅清洗一次，殘留在農(nóng)藥量為，清洗兩次后，殘留的農(nóng)藥量為，則；

于是，當(dāng)時(shí)，清洗兩次后殘留在農(nóng)藥量較少；當(dāng)時(shí)，兩種清洗方法具有相同的效果；

當(dāng)時(shí)，一次清洗殘留的農(nóng)藥量較少．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是分析題干信息，提取代數(shù)式，屬于基礎(chǔ)題.20．如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，．

（1）求證：；

（2）求點(diǎn)到面的距離．

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】（1）由和即可證得；

（2）由，可得，進(jìn)而可得解.【詳解】

證明：（1）底面是菱形，平面，平面，，是平面內(nèi)的兩條直交線，平面，又平面，．

解：（2）底面是菱形，又，平面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，且平面，即，是等邊三角形，，解得，點(diǎn)到面的距離為．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線面垂直的證明及性質(zhì)，考查了等體積法求點(diǎn)面距，屬于基礎(chǔ)題.21．已知二次函數(shù)．

（1）若函數(shù)為偶函數(shù)，求的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為，求的最小值．

【答案】（1）0；（2）

【解析】（1）求得的對稱軸方程，由偶函數(shù)的圖象可得的值；

（2）求得對稱軸方程，推理對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性可得的解析式，再由單調(diào)性可得的最小值．

【詳解】

（1）二次函數(shù)的對稱軸為，由為偶函數(shù)，可得；

（2）的對稱軸為，當(dāng)即時(shí)，在，遞增，可得，且的最小值為1；

當(dāng)即時(shí)，在，遞減，可得，且的最小值為3；

當(dāng)，即時(shí)，的最大值為，當(dāng)時(shí)，取得最小值，綜上可得的最小值為

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的對稱性和單調(diào)性的運(yùn)用：求最值，考查分類討論思想方法和化簡運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．

22．已知函數(shù)在區(qū)間，上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．

【答案】，【解析】分別討論和時(shí)，結(jié)合△和△分析，當(dāng)△時(shí)分和時(shí)討論即可.【詳解】

（1）若，則，令由得，，不符題意，（2）當(dāng)時(shí)，△，由題意可知：△可得，①若，則△，函數(shù)的零點(diǎn)為，不滿足題意；

②若，函數(shù)的零點(diǎn)是，滿足題意；

下面討論△時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的情況，由零點(diǎn)判斷定理有，即，解得，而△，（1），只需要討論時(shí)，另一個(gè)零點(diǎn)是否在區(qū)間，內(nèi)．

由可得．

此時(shí)，所以另一個(gè)零點(diǎn)是，滿足題意．

故實(shí)數(shù)的取值范圍為，．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次方程的根的分布，涉及分類討論，情況較多，屬于難題.