2018-2019學(xué)年市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1．已知集合M＝{x∈Z|0＜x＜6}，N＝{x|x＞3}，P＝M∩N，則P的子集共有（）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．4個(gè)

D．8個(gè)

【答案】C

【解析】化簡(jiǎn)集合,根據(jù)交集定義,求出交集,根據(jù)子集定義,列舉出子集即可得到.【詳解】

因?yàn)?N＝{x|x＞3}

所以P＝M∩N,其子集有,共4個(gè).故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查了交集的運(yùn)算,考查了求子集的個(gè)數(shù),屬于基礎(chǔ)題.2．函數(shù)y的定義域是（）

A．（﹣1，+∞）

B．（﹣1，0）∪（0，+∞）

C．[﹣1，+∞）

D．[﹣2，0）∪（0，+∞）

【答案】B

【解析】由解得結(jié)果即可得到答案.【詳解】

由

得且,所以函數(shù)y的定義域是.故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查了求具體函數(shù)的定義域,容易漏掉,屬于基礎(chǔ)題.3．已知角α終邊上一點(diǎn)P（1，），則cosα＝（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】根據(jù)余弦函數(shù)的定義可得結(jié)果.【詳解】

因?yàn)榻铅两K邊上一點(diǎn)P（1，）,所以,所以,所以.故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查了余弦函數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)題.4．函數(shù)f（x）＝tan（2x）的最小正周期是（）

A．

B．π

C．2π

D．4π

【答案】A

【解析】根據(jù)周期公式,計(jì)算可得.【詳解】

由周期公式.故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查了的周期公式,熟練掌握公式是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.5．已知a，b為實(shí)數(shù)，集合M＝{b，1}，N＝{a，0}，f：x→x為集合M到集合N的映射，則a+b等于（）

A．﹣1

B．2

C．1

D．1或2

【答案】C

【解析】根據(jù)且,可得答案.【詳解】

依題意可知且,所以，所以.故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查了映射的概念,考查了集合中元素的互異性,屬于基礎(chǔ)題.6．冪函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)，則f（x）的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A．（0，+∞）

B．[0，+∞）

C．（﹣∞，0]

D．（﹣∞，0）

【答案】A

【解析】設(shè),根據(jù),解出,根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】

設(shè),則,即,所以,所以,所以的遞減區(qū)間為,故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查了求冪函數(shù)的解析式,考查了冪函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.7．下列函數(shù)中偶函數(shù)是（）

A．y

B．y＝sinx+2|sinx|

C．y＝ln（x）

D．y＝ex+e﹣x

【答案】D

【解析】利用特值排除法可排除,利用偶函數(shù)的定義可得正確.【詳解】

令,則,不正確;

令,則，,所以不正確;

令,則,所以不正確;

令,則,所以正確.故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查了特值排除法解選擇題,考查了偶函數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)題.8．直角坐標(biāo)系中，已知A（3，0），B（0，4），則△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）重心坐標(biāo)為（）

A．（0，0）

B．（1，1）

C．（1，）

D．（，2）

【答案】C

【解析】取的中點(diǎn),則重心為的一個(gè)靠近的三等分點(diǎn),根據(jù)中點(diǎn)公式求出的坐標(biāo),根據(jù)可以求得的坐標(biāo)即可.【詳解】

如圖:

設(shè)的中點(diǎn)為,重心為,則,為的靠近的三等分點(diǎn),即,設(shè),則,所以且,解得,所以.故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查了重心的性質(zhì),考查了中點(diǎn)公式,考查了向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題.9．已知x∈（e﹣1，1），令a＝lnx，b，c＝elnx，則a，b，c的大小關(guān)系為（）

A．a(chǎn)＜c＜b

B．b＜a＜c

C．c＜a＜b

D．c＜b＜a

【答案】A

【解析】根據(jù)為增函數(shù),可得,根據(jù)為遞減函數(shù),可得,根據(jù)對(duì)數(shù)恒等式可得.【詳解】

因?yàn)?且為增函數(shù),所以,因?yàn)榍覟檫f減函數(shù),所以，所以.故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小,關(guān)鍵是找中間值進(jìn)行比較,屬于基礎(chǔ)題.10．已知函數(shù)f（x）（a∈R），若f[f（﹣1）]＝2，則a＝（）

A．

B．

C．1

D．

【答案】B

【解析】按照從內(nèi)到外的順序,先求得,再求得,解方程即可得到答案.【詳解】

因?yàn)?所以,解得.故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查了求分段函數(shù)的函數(shù)值,對(duì)于有多層函數(shù)符號(hào)的,要按照從內(nèi)到外的順序計(jì)算是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11．若O點(diǎn)是△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，且滿足，則△OBC與△ABC的面積比為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】連并延長(zhǎng)交于,設(shè)，根據(jù)向量減法的逆運(yùn)算可得,結(jié)合已知可得,解得,由此可得結(jié)果.【詳解】

如圖所示:連并延長(zhǎng)交于,設(shè)，則,所以,所以,又,所以,解得,所以,所以,所以.故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量共線定理,考查了向量減法的逆運(yùn)算,考查了平面向量基本定理,考查了三角形的面積,屬于中檔題.12．已知曲線C1：y＝sinx，C2：y＝cos（2x），則下面結(jié)論正確的是（）

A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2

B．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2

C．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2

D．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2

【答案】D

【解析】將變成后,根據(jù)周期變換和平移變換結(jié)論可得答案.【詳解】

由,因此把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線是正確的.故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查了誘導(dǎo)公式,考查了三角函數(shù)圖像的周期變換和平移變換,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題

13．若的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為3π，則該扇形的面積為_____.【答案】6π

【解析】先用弧長(zhǎng)公式求得半徑,再用面積公式求得面積即可.【詳解】

設(shè)弧長(zhǎng)為,半徑為,則,所以,所以扇形的面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】

本題考查了扇形的弧長(zhǎng)公式,考查了扇形的面積公式,屬于基礎(chǔ)題.14．若函數(shù)y＝cos（ωx）（ω＞0）的一個(gè)對(duì)稱中心是（，0），則ω的最小值為_____.【答案】2

【解析】根據(jù)余弦函數(shù)的對(duì)稱中心為,列式可解得ω＝6k+2,進(jìn)一步可求得正數(shù)的最小值.【詳解】

令ω（k∈Z），整理得ω＝6k+2（k∈Z），當(dāng)k＝0時(shí)，ω的最小值為2．

故答案為:

【點(diǎn)睛】

本題考查了余弦函數(shù)的對(duì)稱中心,令ω是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.15．已知函數(shù)f（x），若f（x）的最大值為3，則a＝_____.【答案】2

【解析】根據(jù)f（t）是遞減函數(shù),將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為t＝ax2﹣4x+1有最小值,再根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)可得答案.【詳解】

由題意，f（t）是遞減函數(shù)，那么t＝ax2﹣4x+1必有最小值使得f（t）的最大值為3；

即3，那么tmin＝﹣1，所以且,解得：a＝2.故答案為:

【點(diǎn)睛】

本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查了二次函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題.16．設(shè)f（x）＝x2+bx+c，方程f（x）＝x的兩根是x1和x2，且x1＞0，x2﹣x1＞1．若0＜t＜x1，則f（t）_____x1（填“＞”，“＜”或“＝”）．

【答案】＞

【解析】作差后分解因式,根據(jù)韋達(dá)定理以及已知條件可判斷出差的符號(hào).【詳解】

因?yàn)榉匠蘤（x）＝x的兩根是x1和x2

即的兩根為,所以,又∵x1是方程f（x）＝x的根，∴f（x1）＝x1，∴f（t）﹣x1＝f（t）﹣f（x1）＝（t﹣x1）（t+x1+b）＝（t﹣x1）（t+1﹣x2），∵x1+x2＝1﹣b，0＜t＜x1，∴t﹣x1＜0，又x2﹣x1＞1，即x1+1﹣x2＜0，∴t+1﹣x2＜x1+1﹣x2＜0，故f（t）﹣x1＞0，即f（t）＞x1．

故答案為:

＞

【點(diǎn)睛】

本題考查了差值法比較大小,考查了韋達(dá)定理,屬于中檔題.三、解答題

17．計(jì)算：（1）[（1﹣log63）2+log62×log618]×log46；

（2）sin（﹣120°）cos210°+cos（﹣60°）sin150°+tan225°．

【答案】（1）1

（2）2

【解析】(1)利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得;

(2)利用誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算可得.【詳解】

（1）原式＝[（log62）2+log62×（2﹣log62）]×log46＝2log62×log46＝log64×log46＝1；

（2）原式＝﹣sin60°cos（180°+30°）+cos60°sin30°+tan（180°+45°）

＝sin60°cos30°+cos60°sin30°+tan45°

11＝1+1＝2．

【點(diǎn)睛】

本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),考查了誘導(dǎo)公式,考查了特殊角的三角函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.18．已知集合A＝{x|a﹣3＜x＜a+3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞4}．

（1）若a＝﹣1，求A∩（?RB）；

（2）若A∪B＝R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【答案】（1）{x|﹣1≤x＜2}

（2）（1，2）

【解析】(1)根據(jù)集合的補(bǔ)集和交集概念運(yùn)算可得;

(2)根據(jù)并集結(jié)果列式可得.【詳解】

（1）a＝﹣1時(shí)，A＝{x|﹣4＜x＜2}，且B＝{x|x＜﹣1或x＞4}，∴?RB＝{x|﹣1≤x≤4}，A∩（?RB）＝{x|﹣1≤x＜2}；

（2）∵A∪B＝R，∴，解得1＜a＜2，∴a的取值范圍為（1，2）．

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合補(bǔ)集和交集運(yùn)算,考查了根據(jù)并集結(jié)果求參數(shù)的取值范圍,屬于基礎(chǔ)題.19．已知點(diǎn)A（﹣1，1），B（0，3），C（3，x）．

（1）若A，B，C三點(diǎn)共線，求x的值；

（2）若與夾角為銳角，求x的取值范圍；

（3）若x＝﹣2，求在方向上的投影．

【答案】（1）x＝9

（2）x＞﹣1且x≠9

（3）

【解析】(1)轉(zhuǎn)化為∥,利用坐標(biāo)表示可得答案;

(2)利用?且與不平行可得答案;

(3)根據(jù)方向投影的概念計(jì)算可得.【詳解】

（1）∵A（﹣1，1），B（0，3），C（3，x）．

∴（1，2），（4，x﹣1）

∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴∥，∴x﹣1＝8，即x＝9．

（2）與夾角為銳角知，?4+2（x﹣1）＝2x+2＞0，∴x＞﹣1；

由（1）知，x＝9時(shí)∥，不符合題意，∴x＞﹣1且x≠9．

（3）x＝﹣2時(shí)，（1，2），（4，﹣3），在方向上的投影．

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量平行的坐標(biāo)表示,考查了向量的夾角,考查了向量在向量上的投影的概念,屬于基礎(chǔ)題.20．已知函數(shù)f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）+sinx．

（1）判斷并證明函數(shù)（x）的奇偶性；

（2）解關(guān)于x的不等式：f（3x+2）+f（x）＞0．

【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析

（2）（）

【解析】(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式，以及奇函數(shù)的定義可證;

(2)先判斷函數(shù)為（﹣1，1）上的單調(diào)性,然后根據(jù)奇偶性和單調(diào)性解不等式即可得到答案.【詳解】

（1）定義域?yàn)椋ī?，1），∵f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）+sinx．

∴f（﹣x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x）﹣sinx＝﹣f（x），∴f（x）為奇函數(shù)，（2）∵f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x），y＝sinx在（﹣1，1）上均為單調(diào)遞增的函數(shù)，∴f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）+sinx在（﹣1，1）上單調(diào)遞增，∵f（3x+2）+f（x）＞0，∴f（3x+2）＞﹣f（x）＝f（﹣x），∴1＞3x+2＞﹣x＞﹣1，解可得，即不等式的解集為（）

【點(diǎn)睛】

本題考查了用定義證明函數(shù)為奇函數(shù),考查了誘導(dǎo)公式,考查了利用奇偶性和單調(diào)性解不等式,屬于中檔題.21．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分圖象如圖所示．

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）若x∈[，]，求函數(shù)f（x）的值域．

【答案】（1）f（x）＝sin（）

（2）[，1]

【解析】(1)根據(jù)圖像可得最大值,周期,根據(jù)最大值和周期可得和,根據(jù)五點(diǎn)作圖法中的第一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)可得;

(2)根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得最大最小值,進(jìn)一步可得值域.【詳解】

（1）由圖象知函數(shù)的最大值為1，即A＝1，3﹣（﹣1）＝4，即周期T＝8，即8，得ω，則f（x）＝2sin（x+φ），由五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法得1+φ，得φ，即f（x）＝sin（）．

（2）若x∈[，]，則∈[，]，∴當(dāng)時(shí)，即x時(shí)，f（x）最小，最小值為f（），當(dāng)時(shí)，即x＝1時(shí)，f（x）最大，最大值為f（1）＝1，∴f（x）的值域?yàn)閇，1]．

【點(diǎn)睛】

本題考查了由圖像求解析式,考查了求正弦型函數(shù)在指定區(qū)間上的值域,屬于中檔題.22．已知函數(shù)f（x）＝x2．

（1）證明：函數(shù)f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在+∞）上單調(diào)遞增；

（2）討論函數(shù)g（x）＝4x3﹣4ax+1在區(qū)間（0，1）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

【答案】（1）證明見解析

（2）見解析

【解析】(1)根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義證明即可;

(2)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論在上的實(shí)根個(gè)數(shù),根據(jù)(1)問(wèn)中函數(shù)的單調(diào)性,討論可得答案.【詳解】

（1）證明：?x1，x2，假設(shè)x1＜x2，則；

∵，∴；

∴4x1x2（x1+x2）﹣1＜0；

∴f（x1）﹣f（x2）0；

即f（x）在（0，）上單調(diào)遞減；

同理f（x）在（，+∞）上單調(diào)遞增．

（2）由g（x）＝0得：a．

由（1）知：f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增；

∴；

①當(dāng)a，則，∴f（x）＝a在（0，1）上無(wú)解，即g（x）在（0，1）上無(wú)零點(diǎn)，②當(dāng)a，則a，∴f（x）＝a在（0，1）上有且僅有一個(gè)解；即g（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)，由，f（x）在（0，）上單調(diào)遞減可知，f（x）＝a在（0，）上有且只有一解；

由，a，且f（x）在（，+∞）上單調(diào)遞增；

f（x）＝a在（，1）上有且只有一解；

即g（x）在（0，1）上有2個(gè)零點(diǎn)；

④當(dāng)a時(shí)，則時(shí)，f（x），∴f（x）＝a在（，1）上無(wú)解，∵，f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，∴f（x）＝a在（0，）上有且只有一解；

即g（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

綜上所述：①當(dāng)a，g（x）在（0，1）上無(wú)零點(diǎn)，②當(dāng)a或a時(shí)，g（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，③當(dāng)，g（x）在（0，1）上有2個(gè)零點(diǎn)．

【點(diǎn)睛】

本題考查了用定義證明函數(shù)的單調(diào)性,考查了求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù),屬于難題