第一篇：1.3.2球的表面積與體積的教案

棗莊三中2012-2013學(xué)年第一學(xué)期高一數(shù)學(xué)教學(xué)案

1.3.2 球體的表面積與體積

備課人： 編號(hào)：

教材分析：本節(jié)教材直接給出了球的表面積和體積公式，并用兩個(gè)例題來(lái)說(shuō)明其應(yīng)用.值得注意的是教學(xué)的重點(diǎn)放在球與其他幾何體的組合體的有關(guān)計(jì)算上，這是高考的重點(diǎn).課時(shí)分配：1課時(shí) 教學(xué)目標(biāo)：

1、教學(xué)重點(diǎn)：球的表面積和體積公式的應(yīng)用.2、教學(xué)難點(diǎn)：關(guān)于球的組合體的計(jì)算.3、知識(shí)點(diǎn)：球的表面積和體積公式的應(yīng)用.4、能力點(diǎn)：通過(guò)對(duì)球體的研究，掌握球的表面積和體積的求法。

5、教育點(diǎn)：培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和思維能力。

6、自主探究點(diǎn)：讓學(xué)生通對(duì)照比較，理順柱體、錐體、臺(tái)體三間的表面積和體積的關(guān)系

7、考試點(diǎn)：能運(yùn)用公式求解，柱體、錐體和臺(tái)體的體積，并且熟悉臺(tái)體與柱體和錐體之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

8、易錯(cuò)易混點(diǎn)：正確運(yùn)用公式求解，柱體、錐體和臺(tái)體的體積

9：拓展點(diǎn)：通過(guò)讓學(xué)生感受幾何體面積和體積的求解過(guò)程，提高自己空間思維能力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性。

教具準(zhǔn)備：

圓規(guī)，黑板 引入新課：

思路1.位于香港棧橋回瀾閣西部、西陵峽路東端海濱，有一座新異奇秀的半球形建筑.由香港好世界飲食服務(wù)（中國(guó)）有限公司等三方合資興建，1996年9月正式開(kāi)業(yè)，既是島城飲食服務(wù)業(yè)的“特一級(jí)”店，又是新增加的一處景點(diǎn).酒店的總建筑面積11 380平方米，現(xiàn)酒店管理層決定在半球形屋頂嵌上一層特殊化學(xué)材料以更好地保護(hù)酒店，那么，需要多少面積的這種化學(xué)材料呢？

思路2.球既沒(méi)有底面，也無(wú)法像柱體、錐體和臺(tái)體那樣展開(kāi)成平面圖形，那么怎樣來(lái)求球的表面積與體積呢？球的大小與球的半徑有關(guān)，如何用球半徑來(lái)表示球的體積和面積？教師引出課題：球的體積和表面積.探究新知：

球的半徑為R，它的體積和表面積只與半徑R有關(guān)，是以R為自變量的函數(shù).事實(shí)上，如果球的半徑為R，那么S=4πR2,V=?R.注意：球的體積和表面積公式的證明以后證明.理解新知：

例1 如圖1所示，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，求證：

433

圖1（1）球的體積等于圓柱體積的2； 3（2）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.學(xué)生思考圓柱和球的結(jié)構(gòu)特征，并展開(kāi)空間想象.教師可以使用信息技術(shù)幫助學(xué)生讀懂圖形.證明：（1）設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R.則有V球=?R，V圓柱=πR2·2R=2πR3，所以V球=V圓柱.（2）因?yàn)镾球=4πR2，S圓柱側(cè)=2πR·2R=4πR2，所以S球=S圓柱側(cè).（設(shè)計(jì)意圖）本題主要考查有關(guān)球的組合體的表面積和體積的計(jì)算.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是明確組合體的結(jié)構(gòu)特征.例2 如圖3所示，表示一個(gè)用鮮花做成的花柱，它的下面是一個(gè)直徑為1 m、高為3 m的圓柱形物體，上面是一個(gè)半球形體.如果每平方米大約需要鮮花150朵，那么裝飾這個(gè)花柱大約需要多少朵鮮花（π取3.1）? 43323

圖3

活動(dòng)：學(xué)生思考和討論如何計(jì)算鮮花的朵數(shù).鮮花的朵數(shù)等于此幾何體的表面積（不含下底面）與每朵鮮花占用的面積.幾何體的表面積等于圓柱的側(cè)面積再加上半球的表面積.解：圓柱形物體的側(cè)面面積S1≈3.1×1×3=9.3(m2), 半球形物體的表面積為S2≈2×3.1×（1

2)≈1.6(m2), 2所以S1+S2≈9.3+1.6=10.9(m2).10.9×150≈1 635(朵).答：裝飾這個(gè)花柱大約需要1 635朵鮮花.（設(shè)計(jì)意圖：本題主要考查球和圓柱的組合體的應(yīng)用，以及解決實(shí)際問(wèn)題的能力.）運(yùn)用新知：

練習(xí)1.如圖2(1)所示，表面積為324π的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是14,求這個(gè)正四棱柱的表面積.圖2

解：設(shè)球的半徑為R，正四棱柱底面邊長(zhǎng)為a,則軸截面如圖2（2），所以AA′=14,AC=2a,又∵4πR2=324π,∴R=9.∴AC=AC'2?CC'2?82.∴a=8.∴S表=64×2+32×14=576,即這個(gè)正四棱柱的表面積為576.練習(xí)2.有一個(gè)軸截面為正三角形的圓錐容器，內(nèi)放一個(gè)半徑為R的內(nèi)切球，然后將容器注滿水，現(xiàn)把球從容器中取出，水不損耗，且取出球后水面與圓錐底面平行形成一圓臺(tái)體，問(wèn)容器中水的高度為多少？

分析：轉(zhuǎn)化為求水的體積.畫出軸截面，充分利用軸截面中的直角三角形來(lái)解決.解：作出圓錐和球的軸截面圖如圖4所示，圖4 圓錐底面半徑r=R?3R, tan30?圓錐母線l=2r=23R，圓錐高為h=3r=3R，∴V水=?3r2h?4?3?4?35?3R?·R?R，3R2·3R?3333球取出后，水形成一個(gè)圓臺(tái)，下底面半徑r=3R,設(shè)上底面半徑為r′，則高h(yuǎn)′=(r-r′)tan60°=3(3R?r'), ∴5?3?R?h'(r2+r′2+rr′),∴5R3=3(3R?r')(r'2?3Rr'?3R2), 33∴5R3=3(33R3?r'3)，解得r′=343R?616R, 3∴h′=(3?312)R.答：容器中水的高度為(3?312)R.(選做題)1.三個(gè)球的半徑之比為1∶2∶3，那么最大球的表面積是其余兩個(gè)球的表面積之和的（）

A.1倍

B.2倍

C.97倍

D.倍 54分析：根據(jù)球的表面積等于其大圓面積的4倍，可設(shè)最小的一個(gè)半徑為r，則另兩個(gè)為2r、36?r29?3r，所以各球的表面積分別為4πr、16πr、36πr，（倍）.2254?r?16?r

222答案：C 2.若與球心距離為4的平面截球所得的截面圓的面積是9π，則球的表面積是____________.分析：畫出球的軸截面，則球心與截面圓心的連線、截面的半徑、球的半徑構(gòu)成直角三角形，又由題意得截面圓的半徑是3，則球的半徑為

42?32=5，所以球的表面積是4π×52=100π.答案：100π 課堂小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了： 1.球的表面積和體積.2.計(jì)算組合體的體積時(shí)，通常將其轉(zhuǎn)化為計(jì)算柱、錐、臺(tái)、球等常見(jiàn)的幾何體的體積.3.空間幾何體的表面積與體積的規(guī)律總結(jié)：

（1）表面積是各個(gè)面的面積之和，求多面體表面積時(shí)，只需將它們沿著若干條棱剪開(kāi)后展成平面圖形，利用平面圖形求多面體的表面積.求旋轉(zhuǎn)體的表面積時(shí)，可從回憶旋轉(zhuǎn)體的生成過(guò)程及其幾何特征入手，將其展開(kāi)求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)的側(cè)面展開(kāi)圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系，注意球面不可展開(kāi).（2）在體積公式中出現(xiàn)了幾何體的高，其含義是： 柱體的高：從柱體的一個(gè)底面上任一點(diǎn)向另一個(gè)底面作垂線，這點(diǎn)和垂足間的距離稱為柱體的高；

錐體的高：從錐體的頂點(diǎn)向底面作垂線，這點(diǎn)和垂足間的距離稱為錐體的高； 臺(tái)體的高：從臺(tái)體的一個(gè)底面上任一點(diǎn)向另一個(gè)底面作垂線，這點(diǎn)和垂足間的距離稱為臺(tái)體的高.注意球沒(méi)有高的結(jié)構(gòu)特征.（3）利用側(cè)面展開(kāi)圖或截面把空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題，是解決立體幾何問(wèn)題的常用手段.（4）柱體、錐體、臺(tái)體和球是以后學(xué)習(xí)第二章

點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的載體，高考試題中，通常是用本模塊第一章的圖，考查第二章的知識(shí).（5）與球有關(guān)的接、切問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)之一，常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，屬于低檔題.布置作業(yè)：1.課本本節(jié)練習(xí)1、2、3.2.自主學(xué)習(xí)叢書1.3.2 教后反思：

本節(jié)教學(xué)結(jié)合高考要求，主要是從組合體的角度來(lái)討論球的表面積和體積.值得注意的是其中的題目沒(méi)有涉及球的截面問(wèn)題（新課標(biāo)對(duì)球的截面不要求），在實(shí)際教學(xué)中，教師不要增加球的截面方面的練習(xí)題，那樣會(huì)增加學(xué)生的負(fù)擔(dān).板書設(shè)計(jì)：

1.3.2球體的表面積與體積

公式： 例一： 例二： 練習(xí)：

第二篇：《球的體積和表面積》教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能

⑴通過(guò)對(duì)球的體積和面積公式的推導(dǎo)，了解推導(dǎo)過(guò)程中所用的基本數(shù)學(xué)思想方法：“分割——求和——化為準(zhǔn)確和”，有利于同學(xué)們進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分和近代數(shù)學(xué)知識(shí)。

⑵能運(yùn)用球的面積和體積公式靈活解決實(shí)際問(wèn)題。

⑶培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力和空間想象能力。

過(guò)程與方法

通過(guò)球的體積和面積公式的推導(dǎo)，從而得到一種推導(dǎo)球體積公式V=

πR3和面積公式S=4πR2的方法，即“分割求近似值，再由近似和轉(zhuǎn)化為球的體積和面積”的方法，體現(xiàn)了極限思想。

情感與價(jià)值觀

通過(guò)學(xué)習(xí)，使我們對(duì)球的體積和面積公式的推導(dǎo)方法有了一定的了解，提高了空間思維能力和空間想象能力，增強(qiáng)了我們探索問(wèn)題和解決問(wèn)題的信心。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生了解推導(dǎo)球的體積和面積公式所運(yùn)用的基本思想方法。

難點(diǎn)：推導(dǎo)體積和面積公式中空間想象能力的形成。

三、學(xué)法和教學(xué)用具

學(xué)法：學(xué)生通過(guò)閱讀教材，發(fā)揮空間想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值 的、再由近似值的和轉(zhuǎn)化為球的體積和面積”的解題方法和步驟。

教學(xué)用具：投影儀

四、教學(xué)設(shè)計(jì)

創(chuàng)設(shè)情景

⑴教師提出問(wèn)題：球既沒(méi)有底面，也無(wú)法像在柱體、錐體和臺(tái)體那樣展開(kāi)成平面圖形，那么怎樣來(lái)求球的表面積與體積呢?引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考。

⑵教師設(shè)疑：球的大小是與球的半徑有關(guān)，如何用球半徑來(lái)表示球的體積和面積?激發(fā)學(xué)生推導(dǎo)球的體積和面積公式。

探究新知

1.球的體積：

如果用一組等距離的平面去切割球，當(dāng)距離很小之時(shí)得到很多“小圓片”，“小圓片”的體積的體積之和正好是球的體積，由于“小圓片”近似于圓柱形狀，所以它的體積也近似于圓柱形狀，所以它的體積有也近似于相應(yīng)的圓柱和體積，因此求球的體積可以按“分割——求和——化為準(zhǔn)確和”的方法來(lái)進(jìn)行。

步驟：

第一步：分割

如圖：把半球的垂直于底面的半徑OA作n等分，過(guò)這些等分點(diǎn)，用一組平行于底面的平面把半球切割成n個(gè)“小圓片”，“小圓片”厚度近似為，底面是“小圓片”的底面。

如圖：

得

第二步：求和

第三步：化為準(zhǔn)確的和

當(dāng)n→∞時(shí)，→0(同學(xué)們討論得出)

所以

得到定理：半徑是R的球的體積

練習(xí)：一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,外徑是5cm,求它的內(nèi)徑(鋼的密度是7.9g/cm3)

2.球的表面積：

球的表面積是球的表面大小的度量,它也是球半徑R的函數(shù),由于球面是不可展的曲面,所以不能像推導(dǎo)圓柱、圓錐的表面積公式那樣推導(dǎo)球的表面積公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和轉(zhuǎn)化為準(zhǔn)確和”方法推導(dǎo)。

思考：推導(dǎo)過(guò)程是以什么量作為等量變換的?

半徑為R的球的表面積為 S=4πR

2練習(xí)：長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)分別為3、4、5，是它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個(gè)球的表面積是。(答案50元)

典例分析

課本P47 例4和P29例

5鞏固深化、反饋矯正

⑴正方形的內(nèi)切球和外接球的體積的比為，表面積比為。

(答案： 3 ：1)

⑵在球心同側(cè)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為49πcm2和400πcm2，求球的表面積。(答案：2500πcm2)

分析：可畫出球的軸截面，利用球的截面性質(zhì)求球的半徑

課堂小結(jié)

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了球的體積和球的表面積公式的推導(dǎo)，以及利用公式解決相關(guān)的球的問(wèn)題，了解了推導(dǎo)中的“分割、求近似和，再由近似和轉(zhuǎn)化為準(zhǔn)確和”的解題方法。

評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

作業(yè) P30 練習(xí)1、3，B(1)

第三篇：示范教案(1.3.2 球的體積和表面積)

1.3.2 球的體積和表面積

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

本節(jié)教材直接給出了球的表面積和體積公式，并用兩個(gè)例題來(lái)說(shuō)明其應(yīng)用.值得注意的是教學(xué)的重點(diǎn)放在球與其他幾何體的組合體的有關(guān)計(jì)算上，這是高考的重點(diǎn).三維目標(biāo)

掌握球的表面積和體積公式，并能應(yīng)用其解決有關(guān)問(wèn)題，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法.重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：球的表面積和體積公式的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：關(guān)于球的組合體的計(jì)算.課時(shí)安排

約1課時(shí)

教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入新課

思路1.位于香港棧橋回瀾閣西部、西陵峽路東端海濱，有一座新異奇秀的半球形建筑.由香港好世界飲食服務(wù)（中國(guó)）有限公司等三方合資興建，1996年9月正式開(kāi)業(yè)，既是島城飲食服務(wù)業(yè)的“特一級(jí)”店，又是新增加的一處景點(diǎn).酒店的總建筑面積11 380平方米，現(xiàn)酒店管理層決定在半球形屋頂嵌上一層特殊化學(xué)材料以更好地保護(hù)酒店，那么，需要多少面積的這種化學(xué)材料呢？

思路2.球既沒(méi)有底面，也無(wú)法像柱體、錐體和臺(tái)體那樣展開(kāi)成平面圖形，那么怎樣來(lái)求球的表面積與體積呢？球的大小與球的半徑有關(guān)，如何用球半徑來(lái)表示球的體積和面積？教師引出課題：球的體積和表面積.推進(jìn)新課 新知探究

球的半徑為R，它的體積和表面積只與半徑R有關(guān)，是以R為自變量的函數(shù).事實(shí)上，如果球的半徑為R，那么S=4πR2,V=

43?R.3注意：球的體積和表面積公式的證明以后證明.應(yīng)用示例

思路1

例1 如圖1所示，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，求證：

圖1（1）球的體積等于圓柱體積的23；

（2）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.活動(dòng)：學(xué)生思考圓柱和球的結(jié)構(gòu)特征，并展開(kāi)空間想象.教師可以使用信息技術(shù)幫助學(xué)生讀懂圖形.證明：（1）設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R.則有V球=4332R=2πR，所以V球=?R，V圓柱=πR·

323V圓柱.（2）因?yàn)镾球=4πR，S圓柱側(cè)=2πR·2R=4πR，所以S球=S圓柱側(cè).點(diǎn)評(píng)：本題主要考查有關(guān)球的組合體的表面積和體積的計(jì)算.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是明確組合體的結(jié)構(gòu)特征.變式訓(xùn)練

1.如圖2(1)所示，表面積為324π的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是14,求這個(gè)正四棱柱的表面積.2

2圖2

解：設(shè)球的半徑為R，正四棱柱底面邊長(zhǎng)為a,則軸截面如圖2（2），所以AA′=14,AC=2a,又∵4πR2=324π,∴R=9.∴AC=AC'?CC'?82.∴a=8.22∴S表=64×2+32×14=576,即這個(gè)正四棱柱的表面積為576.2有一種空心鋼球，質(zhì)量為142 g,測(cè)得外徑（直徑）等于5 cm，求它的內(nèi)徑（鋼的密度為7.9 g/cm3，精確到0.1 cm）.解：設(shè)空心球內(nèi)徑（直徑）為2x cm,則鋼球質(zhì)量為

4?534?3?()?x］=142, 7.9·［323∴x3=()?35142?37.9?4?3.142≈11.3,∴x≈2.24,∴直徑2x≈4.5.答：空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5 cm.例2 如圖3所示，表示一個(gè)用鮮花做成的花柱，它的下面是一個(gè)直徑為1 m、高為3 m的圓柱形物體，上面是一個(gè)半球形體.如果每平方米大約需要鮮花150朵，那么裝飾這個(gè)花柱大約需要多少朵鮮花（π取3.1）?

圖3

活動(dòng)：學(xué)生思考和討論如何計(jì)算鮮花的朵數(shù).鮮花的朵數(shù)等于此幾何體的表面積（不含下底面）與每朵鮮花占用的面積.幾何體的表面積等于圓柱的側(cè)面積再加上半球的表面積.解：圓柱形物體的側(cè)面面積S1≈3.1×1×3=9.3(m2), 半球形物體的表面積為S2≈2×3.1×（12)≈1.6(m)，22所以S1+S2≈9.3+1.6=10.9(m2).10.9×150≈1 635(朵).答：裝飾這個(gè)花柱大約需要1 635朵鮮花.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查球和圓柱的組合體的應(yīng)用，以及解決實(shí)際問(wèn)題的能力.變式訓(xùn)練

有一個(gè)軸截面為正三角形的圓錐容器，內(nèi)放一個(gè)半徑為R的內(nèi)切球，然后將容器注滿水，現(xiàn)把球從容器中取出，水不損耗，且取出球后水面與圓錐底面平行形成一圓臺(tái)體，問(wèn)容器中水的高度為多少？

分析：轉(zhuǎn)化為求水的體積.畫出軸截面，充分利用軸截面中的直角三角形來(lái)解決.解：作出圓錐和球的軸截面圖如圖4所示，圖4 圓錐底面半徑r=Rtan30??3R, 圓錐母線l=2r=23R，圓錐高為h=3r=3R，∴V水=?3rh?24?3R3??3·3R2·3R?4?3R3?5?3R，3球取出后，水形成一個(gè)圓臺(tái)，下底面半徑r=3R,設(shè)上底面半徑為r′，則高h(yuǎn)′=(r-r′)tan60°=3(3R?r'), ∴5?3R3??3h'(r+r′+rr′),∴5R=3(3R?r')(r'?3Rr'?3R), 22322∴5R3=3(33R3?r'3)，43163解得r′=3R?6R, ∴h′=(3?312)R.答：容器中水的高度為(3?312)R.思路2

例1（2006廣東高考，12）若棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_(kāi)___________.活動(dòng)：學(xué)生思考長(zhǎng)方體和球的結(jié)構(gòu)特征.教師可以借助于信息技術(shù)畫出圖形.分析：畫出球的軸截面可得，球的直徑是正方體的對(duì)角線，所以球的半徑R=

332，則該球的表面積為S=4πR=27π.答案：27π

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查簡(jiǎn)單的組合體和球的表面積.球的表面積和體積都是半徑R的函數(shù).對(duì)于和球有關(guān)的問(wèn)題，通?？梢栽谳S截面中建立關(guān)系.畫出軸截面是正確解題的關(guān)鍵.變式訓(xùn)練

1.（2006全國(guó)高考卷Ⅰ，理7）已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（）

A.16π

B.20π

C.24π

D.32π

分析：由V=Sh，得S=4，得正四棱柱底面邊長(zhǎng)為2.畫出球的軸截面可得，該正四棱柱的對(duì)角線即為球的直徑，所以，球的半徑為R=S=4πR=24π.答案：C 2.（2005湖南數(shù)學(xué)競(jìng)賽，13）一個(gè)球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長(zhǎng)為a，則這個(gè)球的體積為_(kāi)____________.分析：把正四面體補(bǔ)成正方體的內(nèi)接正四面體，此時(shí)正方體的棱長(zhǎng)為

22a，于是球的半徑2

2122?2?4222?6，所以球的表面積為為24a，V=2?24a.3答案：2?24a 33.（2007天津高考，理12）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1,2,3，則此球的表面積為_(kāi)__________.分析：長(zhǎng)方體的對(duì)角線為1?2?3222?14，則球的半徑為

142,則球的表面積為4π(142)2=14π.答案：14π

例2 圖5是一個(gè)底面直徑為20 cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為6 cm，高為20 cm的一個(gè)圓錐形鉛錘，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降幾厘米？

圖5

活動(dòng)：學(xué)生思考杯里的水將下降的原因，通過(guò)交流和討論得出解題思路.因?yàn)椴ＡП菆A柱形的，所以鉛錘取出后，水面下降部分實(shí)際是一個(gè)小圓柱，這個(gè)圓柱的底面與玻璃杯的底面一樣，是一直徑為20 cm的圓，它的體積正好等于圓錐形鉛錘的體積，這個(gè)小圓柱的高就是水面下降的高度.解：因?yàn)閳A錐形鉛錘的體積為???()2×20=60π（cm），32163設(shè)水面下降的高度為x，則小圓柱的體積為?(202)x=100πx（cm）.23所以有60π=100πx，解此方程得x=0.6（cm）.答：杯里的水下降了0.6 cm.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何體的體積問(wèn)題，以及應(yīng)用體積解決實(shí)際問(wèn)題的能力.明確幾何體的形狀及相應(yīng)的體積公式是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵.解實(shí)際應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型.本題的數(shù)學(xué)模型是下降的水的體積等于取出的圓錐形鉛錘的體積.明確其體積公式中的相關(guān)量是列出方程的關(guān)鍵.變式訓(xùn)練

1.一個(gè)空心鋼球，外直徑為12 cm，壁厚0.2 cm，問(wèn)它在水中能浮起來(lái)嗎？（鋼的密度為7.9 g/cm）和它一樣尺寸的空心鉛球呢？（鉛的密度為11.4 g/cm）

分析：本題的關(guān)鍵在于如何判斷球浮起和沉沒(méi)，因此很自然要先算出空心鋼球的體積，而空心鋼球的體積相當(dāng)于是里、外球的體積之差，根據(jù)球的體積公式很容易得到空心鋼球的體積，從而算出空心鋼球的質(zhì)量，然后把它與水的質(zhì)量相比較即可得出結(jié)論，同理可以判斷鉛球會(huì)沉沒(méi).解：空心鋼球的體積為V鋼=

4?3?6?33

34?3?5.8?34?3×20.888≈87.45(cm3)，∴鋼的質(zhì)量為m鋼=87.45×7.9=690.86(g).4?∵水的體積為V水=×63=904.32(cm3)，3∴水的質(zhì)量為m水=904.32×1=904.32(g)＞m鋼.∴鋼球能浮起來(lái)，而鉛球的質(zhì)量為m鉛=87.45×11.4=996.93(g)＞m水.∴同樣大小的鉛球會(huì)沉沒(méi).答：鋼球能浮起來(lái)，同樣大小的鉛球會(huì)沉沒(méi).2.（2006全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試，10）底面半徑為1 cm的圓柱形容器里放有四個(gè)半徑為12cm的實(shí)心鐵球，四個(gè)球兩兩相切，其中底層兩球與容器底面相切.現(xiàn)往容器里注水使水面恰好浸沒(méi)所有鐵球，則需要注水___________cm3.分析：設(shè)四個(gè)實(shí)心鐵球的球心為O1、O2、O3、O4，其中O1、O2為下層兩球的球心，A、B、C、D分別為四個(gè)球心在底面的射影，則ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為cm的正方形，所以注水高為(1+2213)cm.故應(yīng)注水π(1+

22)-4×

4?13123()?(?)π cm.3232答案：（+22）π

知能訓(xùn)練

1.三個(gè)球的半徑之比為1∶2∶3，那么最大球的表面積是其余兩個(gè)球的表面積之和的（）A.1倍

B.2倍

C.9574倍

D.倍 分析：根據(jù)球的表面積等于其大圓面積的4倍，可設(shè)最小的一個(gè)半徑為r，則另兩個(gè)為2r、3r，所以各球的表面積分別為4πr、16πr、36πr，答案：C 2.（2006安徽高考，理9）表面積為23的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為（）A.2?

3222

36?r2224?r?16?r?95（倍）.B.?3

C.2?3

D.22?3

分析：此正八面體是每個(gè)面的邊長(zhǎng)均為a的正三角形，所以由8×3a42?23知，a=1，則此球的直徑為2.答案：A 3.（2007北京西城抽樣，文11）若與球心距離為4的平面截球所得的截面圓的面積是9π，則球的表面積是____________.分析：畫出球的軸截面，則球心與截面圓心的連線、截面的半徑、球的半徑構(gòu)成直角三角形，又由題意得截面圓的半徑是3，則球的半徑為

4?322=5，所以球的表面積是4π×52=100π.答案：100π

4.某街心花園有許多鋼球（鋼的密度是7.9 g/cm3）,每個(gè)鋼球重145 kg,并且外徑等于50 cm,試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷鋼球是實(shí)心的還是空心的.如果是空心的，請(qǐng)你計(jì)算出它的內(nèi)徑（π取3.14,結(jié)果精確到1 cm）.4?503?()≈516 792(g), 解：由于外徑為50 cm的鋼球的質(zhì)量為7.9×32街心花園中鋼球的質(zhì)量為145 000 g,而145 000＜516 792, 所以鋼球是空心的.設(shè)球的內(nèi)徑是2x cm，那么球的質(zhì)量為7.9·［解得x3≈11 240.98,x≈22.4,2x≈45(cm).答：鋼球是空心的，其內(nèi)徑約為45 cm.5.（2007海南高考，文11）已知三棱錐S—ABC的各頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC=

2r,則球的體積與三棱錐體積之比是（）

4?3?(502)?34?3x］=145 000，3A.π

B.2π

C.3π

D.4π 分析：由題意得SO=r為三棱錐的高，△ABC是等腰直角三角形，所以其面積是13r312×2r×r=r,2所以三棱錐體積是?r?r?23，又球的體積為

4?r33，則球的體積與三棱錐體積之比是4π.答案：D 點(diǎn)評(píng)：面積和體積往往涉及空間距離，而新課標(biāo)對(duì)空間距離不作要求，因此在高考試題中其難度很低，屬于容易題，2007年新課標(biāo)高考試題就體現(xiàn)了這一點(diǎn).高考試題中通?？疾榍?、三棱錐、四棱錐、長(zhǎng)方體、正方體等這些簡(jiǎn)單幾何體或它們的組合體的面積或體積的計(jì)算.我們應(yīng)高度重視這方面的應(yīng)用.拓展提升

問(wèn)題：如圖6，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過(guò)四面體的內(nèi)切球（與四個(gè)面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐A—BEFD與三棱錐A—EFC的表面積分別是S1，S2，則必有（）

圖6 A.S1＜S

2B.S1＞S2

C.S1=S2

D.S1,S2的大小關(guān)系不能確定

探究：如圖7，連OA、OB、OC、OD，則VA—BEFD=VO—ABD＋VO—ABE＋VO—BEFD+VO—ADF，VA—EFC=VO—AFC＋VO—AEC＋VO—EFC，又VA—BEFD=VA—EFC，而每個(gè)小三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故S△ABD＋S△ABE＋SBEFD+S△ADF=S△AFC＋S△AEC＋S△EFC，又面AEF是公共面，故選C.圖7

答案：C 課堂小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了：

1.球的表面積和體積.2.計(jì)算組合體的體積時(shí)，通常將其轉(zhuǎn)化為計(jì)算柱、錐、臺(tái)、球等常見(jiàn)的幾何體的體積.3.空間幾何體的表面積與體積的規(guī)律總結(jié)：

（1）表面積是各個(gè)面的面積之和，求多面體表面積時(shí)，只需將它們沿著若干條棱剪開(kāi)后展成平面圖形，利用平面圖形求多面體的表面積.求旋轉(zhuǎn)體的表面積時(shí)，可從回憶旋轉(zhuǎn)體的生成過(guò)程及其幾何特征入手，將其展開(kāi)求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)的側(cè)面展開(kāi)圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系，注意球面不可展開(kāi).（2）在體積公式中出現(xiàn)了幾何體的高，其含義是：

柱體的高：從柱體的一個(gè)底面上任一點(diǎn)向另一個(gè)底面作垂線，這點(diǎn)和垂足間的距離稱為柱體的高；

錐體的高：從錐體的頂點(diǎn)向底面作垂線，這點(diǎn)和垂足間的距離稱為錐體的高； 臺(tái)體的高：從臺(tái)體的一個(gè)底面上任一點(diǎn)向另一個(gè)底面作垂線，這點(diǎn)和垂足間的距離稱為臺(tái)體的高.注意球沒(méi)有高的結(jié)構(gòu)特征.（3）利用側(cè)面展開(kāi)圖或截面把空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題，是解決立體幾何問(wèn)題的常用手段.（4）柱體、錐體、臺(tái)體和球是以后學(xué)習(xí)第二章

點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的載體，高考試題中，通常是用本模塊第一章的圖，考查第二章的知識(shí).（5）與球有關(guān)的接、切問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)之一，常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，屬于低檔題.作業(yè)

課本本節(jié)練習(xí)1、2、3.設(shè)計(jì)感想

本節(jié)教學(xué)結(jié)合高考要求，主要是從組合體的角度來(lái)討論球的表面積和體積.值得注意的是其中的題目沒(méi)有涉及球的截面問(wèn)題（新課標(biāo)對(duì)球的截面不要求），在實(shí)際教學(xué)中，教師不要增加球的截面方面的練習(xí)題，那樣會(huì)增加學(xué)生的負(fù)擔(dān).

第四篇：球的體積教案

球的體積教案

教學(xué)目的

通過(guò)“球的體積”的教學(xué)，不僅要求學(xué)生熟記球的體積公式，更要培養(yǎng)學(xué)生觀察、估算、猜想、構(gòu)造和論證能力．并注意完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

[若只要求學(xué)生記住有關(guān)公式，剩下的就是反復(fù)練習(xí)——解幾個(gè)一元方程；已知半徑求體積；已知體積求半徑，??；這是降低教學(xué)要求．]

教學(xué)過(guò)程

師：(板書)已知球的半徑為R，求V球=？(出示小黑板——圖1．)

[思維從問(wèn)題開(kāi)始．]

師：為了計(jì)算半徑為R的球的體積，可以先計(jì)算半球的體積V半球．觀察圖1，你一定能在V圓柱、V半球、V圓錐這三個(gè)量之間正確地寫上不等符號(hào)(學(xué)生完成)，得

V圓柱＞V半球＞V圓錐．

[提供類比，讓學(xué)生目測(cè)大小，溫故而知新，用以強(qiáng)化認(rèn)識(shí)過(guò)程．]

[向“量化”過(guò)渡．]

你能猜測(cè)V半球=？

[引誘學(xué)生猜想．猜想是發(fā)現(xiàn)的開(kāi)始！]

生：??

師：可以大膽一些，準(zhǔn)許猜錯(cuò)．

(此答案不一定出自成績(jī)最好的學(xué)生，而是膽大者，思維活躍者．)

[既鼓勵(lì)，又提出更高要求，使學(xué)生仍處于激奮境地．]

(用行動(dòng)支持敢于大膽猜想的學(xué)生．)

師：我們不妨做一個(gè)試驗(yàn)，用以驗(yàn)證這個(gè)猜想．

[理、化有實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)也可以有實(shí)驗(yàn)．美國(guó)盛行“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)法”，這對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力都十分有利．]

(取一個(gè)半徑為R的半球面，再取半徑和高都是R的圓桶和圓錐各一個(gè)，都是鐵皮制成的容器．將圓錐放入圓桶內(nèi)(圖2)，再將半球容器裝滿細(xì)沙，然后把半球內(nèi)的細(xì)沙倒入圓桶內(nèi)，發(fā)現(xiàn)圓桶恰好被裝滿．)

師：你能將實(shí)驗(yàn)結(jié)果用一個(gè)等式表達(dá)出來(lái)嗎？

[鼓勵(lì)學(xué)生將實(shí)驗(yàn)結(jié)果“量化”(構(gòu)造一個(gè)等式)是十分重要的數(shù)學(xué)方法．]

生甲：(板書．)

V圓柱－V圓錐=V半球．

生乙：(板書．)

V半球=V圓柱－V圓錐

師：于是得(板書)

且 V圓柱∶V半球∶V圓錐=3∶2∶1．

師：中學(xué)數(shù)學(xué)是建立在推理的基礎(chǔ)上的，實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否可靠，還要進(jìn)行論證才行．

[中學(xué)理、化是建立在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上的．用數(shù)學(xué)工具去證明實(shí)驗(yàn)結(jié)果，學(xué)生興趣盎然．]

師：我們現(xiàn)在的任務(wù)是證明這個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果．或者說(shuō)，是要證明圖2右邊充滿細(xì)沙的幾何體與左邊充滿細(xì)沙的半球是等積形．而右邊幾何體的體積是已知的．(板書．)

如果再能證明它又符合祖暅原理中的“條件”，我們就可以將它作為半球的參照體了．

(為了運(yùn)用祖暅原理，所引入的幾何體必須符合兩個(gè)條件：一是它的計(jì)算公式是已知的；二是它符合祖暅原理的條件，即該幾何體與原幾何體要夾在兩個(gè)平行平面之間，且用平行于這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面去截時(shí)，截得的截面面積總相等，符合以上兩個(gè)條件的幾何體可叫做原幾何體的參照體．在前面推導(dǎo)柱、錐的體積的多次教學(xué)中應(yīng)該引用這個(gè)術(shù)語(yǔ)，讓學(xué)生熟悉祖暅原理與該術(shù)語(yǔ)的關(guān)系．)

該幾何體與半球同高(R)，這說(shuō)明它與半球可以?shī)A在兩個(gè)平行平面之間，剩下的問(wèn)題是要證明它與半球的等距截面的面積相等．

用與底面平行的任一平面去截圖2的兩個(gè)幾何體(圖3)，截面分別是圓面和圓環(huán)

R，小圓半徑為l，因此

S圓=πr2=π(R2－l2)，S圓環(huán)=πR2－πl(wèi)2=π(R2－l2)，所以S圓=S環(huán)．

根據(jù)祖暅原理，這兩個(gè)幾何體的體積相等，即

由此，“猜想”得到證明，可以寫成定理形式：

[從猜想到證明是“質(zhì)”的升華！是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最重要的素質(zhì)．]

定理：如果球的半徑是R，那么它的體積是

師：你準(zhǔn)備怎樣記憶這個(gè)結(jié)論呢？

[不管是意義識(shí)記或是機(jī)械識(shí)記，在這里都是有效的，都是可行的．根據(jù)各個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣，不必強(qiáng)求一律．]

生甲：根據(jù)“細(xì)沙實(shí)驗(yàn)”，生乙：我只要記住

V圓柱∶V半球∶V圓錐=3∶2∶1就行了．

師：還有其他的記憶方法嗎？例如，把球體視為擬柱體，采用擬柱體的體積公式試試看．

[數(shù)學(xué)教師要不要培養(yǎng)學(xué)生的記憶能力，這是有爭(zhēng)議的．看來(lái)，數(shù)學(xué)教師有可能，也有必要去培養(yǎng)學(xué)生的記憶能力．]

生：(板演)

(隨時(shí)復(fù)習(xí)與應(yīng)用擬柱體體積公式．)

師：這能作為球體積公式的證明嗎？

生：球體不是擬柱體，不能作為證明，但可以作為一種記憶方法．

師：還有其他的記憶方法嗎？例如，將球體分割成許多小的錐體，球心是這些小錐體的頂點(diǎn)，錐的底面不是平面，而是球面的一小部分(是曲面)請(qǐng)看圖4．

[是重要的數(shù)學(xué)思想．]

于是，V球=許多小錐體之和，而這許多小錐體的高可視為球半徑R．又因?yàn)樗行″F體的底面之和=球面積=4πR2，所以

[發(fā)展學(xué)生的空間想象能力．]

同樣，這也不能作為球體積公式的證明．但是，使人感到興趣的是，擬柱體、小錐體與球體的這種“默契”，這種內(nèi)部的一致，給人們以合諧的感覺(jué)，它不僅幫助人們記憶，還給人以和諧美的感受！

[升華了！]

師：現(xiàn)在再請(qǐng)大家自己解答一個(gè)問(wèn)題：(板書．)

[不十分困難的例題由學(xué)生自己解答，然后再對(duì)照課本并進(jìn)行議論，有時(shí)比教師直接講解要收效大些，不妨一試．]

有一種空心鋼球，重142 g，測(cè)得外徑等于5.0 cm，求它的內(nèi)徑(鋼比重是7.9g/cm3)．

師：這是課本的例題，解完后自行對(duì)照課本．

(學(xué)生議論，同時(shí)由一位學(xué)生板演．)

師：今天這堂課的關(guān)鍵是構(gòu)造一個(gè)球的參照體，而“細(xì)沙實(shí)驗(yàn)”幫助我們解決了這個(gè)問(wèn)題．你能離開(kāi)實(shí)驗(yàn)，經(jīng)過(guò)分析直接構(gòu)造這個(gè)參照體嗎？

(代替小結(jié)，將課內(nèi)效果引向課外——直接構(gòu)造參照體．)

教案說(shuō)明

這份教案顯然是寫給別人看的，如果只是為了自己教學(xué)，我想，只要記下教學(xué)過(guò)程就行了：

(1)提出問(wèn)題：V球=？

(2)自測(cè)圓柱、半球、圓錐這三者之間的大小關(guān)系(圖1)．

(4)細(xì)沙實(shí)驗(yàn)——驗(yàn)證“猜想”．

(5)構(gòu)造參照體，證明“猜想”．

(6)得定理、談?dòng)洃洠?/p>

(7)例題、小結(jié)、作業(yè)．

我為什么要采取上面這幾個(gè)環(huán)節(jié)？理由如下：

目前的數(shù)學(xué)教材是從少數(shù)公理和原理出發(fā)，通過(guò)演繹，將知識(shí)展開(kāi)．于是，過(guò)程(1)～(4)都可以省略．并且，“參照體”也是由教材直接給出的(不需要構(gòu)造)．師生的

和方法用定論的形式直接呈現(xiàn)在學(xué)生面前，新、舊知識(shí)的銜接點(diǎn)直接給出，內(nèi)化任務(wù)很快就完成．因此，這種做法的優(yōu)點(diǎn)是直截了當(dāng)，節(jié)約時(shí)間；缺點(diǎn)是學(xué)生缺乏一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)過(guò)程，把知識(shí)或方法不是作為“過(guò)程”而是作為“結(jié)果”直接拋給學(xué)生．長(zhǎng)此以往，越“拋”越多，學(xué)生頭腦中很難形成一個(gè)有效的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，結(jié)果成績(jī)分化，出現(xiàn)大量差生．

反之，插入環(huán)節(jié)(1)～(4)，則環(huán)節(jié)(5)的“構(gòu)造參照體”(這是全課的關(guān)鍵)就十分自然．從“目測(cè)”到“猜想”，這是“發(fā)現(xiàn)”；從“猜想”到“實(shí)驗(yàn)”，這是強(qiáng)化“發(fā)現(xiàn)”，而環(huán)節(jié)(5)則是內(nèi)化．這種先發(fā)現(xiàn)后內(nèi)化的過(guò)程又是在教師指導(dǎo)下進(jìn)行的，教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性十分融洽．

“目測(cè)”、“大膽猜想”、“實(shí)驗(yàn)”等環(huán)節(jié)，所有差生都有發(fā)言權(quán)，優(yōu)生也不乏味；從“實(shí)驗(yàn)”到“構(gòu)造參照體”，隨流而下，直闖關(guān)鍵(出現(xiàn)參照體)，終達(dá)彼岸(得定理)．最后“談?dòng)洃洝?，生?dòng)活潑，乃至升華；“小結(jié)提問(wèn)”，余味不盡．

數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)質(zhì)是思維過(guò)程的教學(xué)，“直截了當(dāng)”則掩蓋了“思維過(guò)程”，把知識(shí)和方法不是作為思維過(guò)程暴露在學(xué)生面前，而是作為結(jié)果拋給學(xué)生，這種“奉送”的做法勢(shì)必回避了數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)．長(zhǎng)此以往，學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)很難得到提高．

最后，還要說(shuō)明一點(diǎn)，“構(gòu)造參照體”是本課的難點(diǎn)，本教案采用了“細(xì)沙實(shí)驗(yàn)”，也就回避了“構(gòu)造性困難”，因此本教案是為普通班設(shè)計(jì)的．而“好班”就不應(yīng)該回避構(gòu)造困難，何況“構(gòu)造參照體”是運(yùn)用祖暅原理的關(guān)鍵，也是學(xué)習(xí)這一段教材(從柱體開(kāi)始)的關(guān)鍵所在．因此，建議根據(jù)學(xué)生情況補(bǔ)充下述內(nèi)容：

參照體與祖暅原理

為了利用祖暅原理計(jì)算某個(gè)幾何體的體積，常要構(gòu)造另一個(gè)幾何體，此幾何體必須符合兩個(gè)條件：(1)它的計(jì)算公式是已知的；(2)它符合祖暅原理的條件，即該幾何體與原幾何體能夾在兩個(gè)平行平面之間，且用平行于這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面去截它們時(shí)，截得的截面面積總相等．為了下面的敘述方便起見(jiàn)，把符合這兩個(gè)條件的幾何體叫做原幾何體的參照體，或簡(jiǎn)稱參照體．

用祖暅原理求幾何體的體積，關(guān)鍵在于構(gòu)造參照體．

軸，求該旋轉(zhuǎn)體的體積．

解 將此旋轉(zhuǎn)體放在平面α上(圖5)，用與平面α平行且相距h的平面去截，得

這說(shuō)明參照體的截面可以是一個(gè)矩形，其一邊長(zhǎng)π，另一邊長(zhǎng)為變量h．于是得

[例2] 求半徑為R的半球的體積．

[例3] 汽車內(nèi)胎或游泳時(shí)用的救生圈是旋轉(zhuǎn)體(圖6)，它的母線是半徑為r的圓，圓心與旋轉(zhuǎn)軸MN的距離等于d(d＞r)，能否用構(gòu)造參照體的思想方法去尋求它的體積公式？

解 取環(huán)體的上半部研究，它的下底面是圓環(huán)(圖6，外半徑=d+r，內(nèi)半徑=d－r)，上底是半徑為d的圓周(面積為零)，半環(huán)體的高為r．用平行于底面的平面去截，設(shè)截面距底面h(h＜r)，則截面是另一個(gè)圓環(huán)(圖7)．

(變量)，據(jù)此，可構(gòu)造一個(gè)參照體如下：取一個(gè)半徑為r的圓為底面，高為4πd的圓柱的1/4，并將此1/4圓柱橫臥(圖8)，此參照體的體積為圓柱的1/4，由祖暅原理

此結(jié)論與直覺(jué)是一致的：將環(huán)體沿?cái)嗝?圖6中的小圓)切開(kāi)后，拉直成一個(gè)圓柱，[培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維能力．]

第五篇：空間幾何體的表面積與體積 教案

空間幾何體的表面積與體積

教學(xué)任務(wù)分析:根據(jù)柱，錐，臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，并結(jié)合它們的展開(kāi)圖，推導(dǎo)它們的表面積的計(jì)算公式，從度量的角度認(rèn)識(shí)空間幾何體；用極限思想推導(dǎo)球的體積公式和表面公式，使學(xué)生初步了解利用極限思想解決問(wèn)題的基本步驟，體會(huì)極限思想的基本內(nèi)涵。與此同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生積極探索的科學(xué)精神，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，空間想象能力。

教學(xué)重點(diǎn)：柱體，錐體，臺(tái)體的表面積和體積的計(jì)算公式。教學(xué)難點(diǎn)：球的體積和表面積的推導(dǎo) 教學(xué)設(shè)計(jì)：

1． 從學(xué)生熟悉的正方體和長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖入手，分析展開(kāi)圖與其表面積的關(guān)系。其目的是㈠復(fù)習(xí)表面積的概念，即表面積是各個(gè)面的面積的和㈡介紹求幾何體表面積的方法，把它們展開(kāi)成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積。

2． 通過(guò)類比正方體和長(zhǎng)方體的表面積，討論棱柱，棱錐，棱臺(tái)的表面積問(wèn)題。實(shí)際上，求棱柱，棱錐，棱臺(tái)的表面積問(wèn)題可轉(zhuǎn)化成求平行四邊形，三角形和梯形問(wèn)題。

3． 利用計(jì)算機(jī)或?qū)嵨镎故緢A柱的側(cè)面可以展開(kāi)成一個(gè)矩形。圓錐的側(cè)面可以展開(kāi)成一個(gè)扇形。

隨后的有關(guān)圓臺(tái)表面積的探究，也可以按照這樣的思路進(jìn)行教學(xué)。說(shuō)明圓臺(tái)表面積公式時(shí),可推導(dǎo)側(cè)面積公式。

圓臺(tái)側(cè)面積的推導(dǎo)：

設(shè)圓臺(tái)側(cè)面的母線長(zhǎng)為，上，下底周長(zhǎng)分別是，半徑分別是

11c?l?x??c?x

則S圓臺(tái)側(cè)=221?cl??c?c??x? 21

=

cx?c?x?lc?l?x?c?c??1?c?l?S圓臺(tái)側(cè)??cl??c?c??2?c?c???1??c?c??l???r?r??l2

在分別學(xué)習(xí)了圓柱，圓錐，圓臺(tái)的表面積公式后，可以引導(dǎo)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)，變化的觀點(diǎn)分析它們之間的關(guān)系。圓柱可看成上，下兩底面全等的圓臺(tái)，圓錐可看成上底面半徑為零的圓臺(tái)。因此，圓柱，圓錐可看成圓臺(tái)的特例。（可用計(jì)算機(jī)演示）

4．柱體，錐體和臺(tái)體的體積

從正方體，長(zhǎng)方體的體積公式引入到一般棱柱的體積也是V=Sh

若有時(shí)間，可推導(dǎo)棱錐的體積公式

棱錐的體積公式的推導(dǎo)

如圖,設(shè)三棱柱ABC-ABC的底面積(即ΔABC的面積)為S，高（即點(diǎn)A1到平面ABC的距離）為h，則它的體積為Sh，沿平面A1BC和平面A1B1C，將這個(gè)三棱柱分割為3個(gè)三棱錐，其中三棱錐1，2的底面積相等（SΔA1AB=SΔA1B1B），高也相等點(diǎn)C到平面AB，BA的距離）三棱錐也有相等的底面積，和相等的高（點(diǎn)A1到平面BCC1B1 的高）因此，這三個(gè)三棱錐的體積相等，每個(gè)三棱錐體積是sh，得sh 臺(tái)體 推導(dǎo)出臺(tái)體的體積公式 V=S1+Sh 讓學(xué)生思考，柱體，錐體臺(tái)體的體積公式之間的聯(lián)系。

B`C'A`A'B`B`A`C'A'A'BACBBACC

5.球的表面積和體積

本節(jié)課可以用多媒體課件演示球體的分割過(guò)程，使整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程更加形象直觀。

本課的重點(diǎn)放在引導(dǎo)學(xué)生了解其所運(yùn)用的基本思想方法，即‘分割、求近似和、再由近似和

轉(zhuǎn)化為球的體積（表面積）’的極限思想方法。例四和例五都是球的體積公式和表面公式的應(yīng)用。例五的教學(xué)可以先要學(xué)生分析幾何組合體的結(jié)構(gòu)特征，分析清楚之后自然明白花柱的表面積由哪些部分構(gòu)成。