第一篇：如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中打開學(xué)生的解題思路

如何在教學(xué)中打開學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思路

鹽城市登瀛小學(xué)

徐勇

【摘要】 ：拿到一個(gè)題目如何快速敏捷地想出正確的解題思路，是學(xué)生各種解題方法綜合應(yīng)用的能力的高度體現(xiàn)，它不是一下子就能產(chǎn)生，而是在豐富知識(shí)量和記憶儲(chǔ)備的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。要想快速打開思路，基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和基本技能是必要的條件。因此，雙基教學(xué)是重要的一環(huán)，在這前提下數(shù)學(xué)教學(xué)中可通過如下幾個(gè)方面來加強(qiáng)解題思路的培養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】 ：解題思路

思維展示

整體把握 雙基教學(xué) 在學(xué)生時(shí)期我們都認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥，數(shù)學(xué)難學(xué)。然而成功攻破數(shù)學(xué)難題又是學(xué)生公認(rèn)的最大快樂。拿到一個(gè)題目如何快速敏捷地想出正確的解題思路，是學(xué)生各種解題方法綜合應(yīng)用的能力的高度體現(xiàn)，它不是一下子就能產(chǎn)生，而是在豐富知識(shí)量和記憶儲(chǔ)備的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。要想快速打開思路，基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和基本技能是必要的條件。因此，雙基教學(xué)是重要的一環(huán)，在這前提下數(shù)學(xué)教學(xué)中可通過如下幾個(gè)方面來加強(qiáng)解題思路的培養(yǎng)：

一、給學(xué)生一個(gè)思維展示的舞臺(tái)

解題從審題開始，審題是解題的基礎(chǔ)。拿到題目先要弄清題意，搞清已知是什么？未知是什么？糟糕的情況是學(xué)生并沒有理解問題就進(jìn)行演算或作圖。一般來說，在尚沒看到主要聯(lián)系或者尚沒作出某種計(jì)劃的情況下，去處理細(xì)節(jié)是毫無用處的。但有些學(xué)生習(xí)慣于老師 講，自己聽。有時(shí)問題的解決因明顯的“暗示”輕易得到解決，甚至有的教師還怕學(xué)生不按自己的設(shè)想去思考，到時(shí)下不了臺(tái)，想方設(shè)法堵住學(xué)生“出軌”的想法，而到學(xué)生自己獨(dú)立解決問題時(shí)，這種特定的情景沒有了，問題以外的提示不存在了，于是學(xué)生也就不知道應(yīng)當(dāng)去想什么，或者根本想不出什么來了，解題思路自然也無法展開了，毫無題感可言，本來解題過程就是一個(gè)選擇知識(shí)、選擇方法的過程?！斑x擇就是能力”，我們把這最重要的過程跳過去了，那學(xué)生如何找到思路，學(xué)會(huì)解題，提高能力呢？所以在審題過程中：

1、多讓學(xué)生想

就是將要解決的問題展示給學(xué)生后，教師不要忙于分析、講解，而是留出足夠的時(shí)間，讓學(xué)生弄清題意，并告訴學(xué)生，試試看，你由“條件”能想到些什么？你由“結(jié)論”又想到些什么？只要是與條件或結(jié)論或本題有聯(lián)系的知識(shí)、或方法盡可能多的想出來!（經(jīng)常地從普通適用的問句與提示開始，經(jīng)常地啟發(fā)提問相同、類似的問句，指示相同、相類似步驟，以強(qiáng)化同一的心智活動(dòng)，并養(yǎng)成習(xí)慣，習(xí)慣的養(yǎng)成就是需要從強(qiáng)制到認(rèn)同再到自覺這樣一個(gè)過程的）

2、多讓學(xué)生畫

在弄清題意之后，首先想到要畫出一個(gè)能體現(xiàn)問題特征的圖形或圖表，以幫助自己直觀思考問題。不僅幾何問題需要這種畫圖意識(shí)，對(duì)非幾何問題這種畫圖意識(shí)更加重要，也更加有效，要讓學(xué)生養(yǎng)成“數(shù)形結(jié)合”的良好解題習(xí)慣。

3、多讓錯(cuò)誤曝光

在平時(shí)教學(xué)中，有些教師害怕學(xué)生出現(xiàn)解題錯(cuò)誤，只注重教給學(xué)生正確的結(jié)論，忽視揭示知識(shí)形成過程中錯(cuò)誤的緣由。事實(shí)上，錯(cuò)誤是正確的先導(dǎo)，成功的開始。有道失敗是成功之母，學(xué)生所犯錯(cuò)誤及其對(duì)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，是學(xué)生獲得和鞏固知識(shí)的重要途徑。

二、激發(fā)求知欲，訓(xùn)練思維的積極性。

思維的惰性是影響發(fā)散思維的障礙，而思維的積極性是思維惰性的克星。所以，培養(yǎng)思維的積極性是培養(yǎng)發(fā)散思維的極其重要的基矗在教學(xué)中，教師要十分注意激起學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)中，教師要十分注意激起學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)興趣和對(duì)知識(shí)的渴求，使他們能帶著一種高漲的情緒從事學(xué)習(xí)和思考。例如：在二年級(jí)《乘法初步認(rèn)識(shí)》一課中，教師可先出示幾道連加算式讓學(xué)生改寫為乘法算式。由于有乘法意義已經(jīng)掌握，雖然是二年級(jí)小學(xué)生，仍能較順暢地完成了上述練習(xí)。而后，教師又出示３＋３＋３＋３＋２，讓學(xué)生思考、討論能否改寫成一道含有乘法的算式呢？經(jīng)過學(xué)生的討論與教師及時(shí)予以點(diǎn)撥，學(xué)生列出了３＋３＋３＋３＋２＝３×５－１＝３×４＋２＝２×７……雖然課堂費(fèi)時(shí)多，但這樣的訓(xùn)練卻有效地激發(fā)了學(xué)生尋求新方法的積極情緒。我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中還經(jīng)常利用“障礙性引入”、“沖突性引入”、“問題性引入”、“趣味性引入”等，以激發(fā)學(xué)生對(duì)新知識(shí)、新方法的探知思維活動(dòng)，這將有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和求知欲。在學(xué)生不斷地解決知與不知的矛盾過程中，還要善于引導(dǎo)他們一環(huán)接一環(huán)地發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題。例如，在學(xué)習(xí)“直線”的認(rèn)識(shí)時(shí)，學(xué)生列舉了生活中見過的直線，例如：一條筆直的公路、一根電線、一支鉛 筆等，從而使學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)始終處于興奮狀態(tài)，這樣有利于思維活動(dòng)的積極開展與深入探尋。

三、適時(shí)借題發(fā)揮，開拓學(xué)生思路

教學(xué)中既要突出變，更要善于變，讓學(xué)生在充滿新奇的變化中，產(chǎn)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)欲望和對(duì)新問題的極大關(guān)注，從而啟發(fā)思維，發(fā)展思維能力。教學(xué)中要挖掘例題、習(xí)題的潛在功能，隨時(shí)對(duì)例題、習(xí)題求變，表現(xiàn)在：

1、一題多變

把題目進(jìn)行加工，引申發(fā)展，提問問題的背景，增加發(fā)散的成分，一般可通過隱去結(jié)論、增加限制、改變陳述方式、減少問題條件、逆向改編、引申發(fā)展等手段，增加問題變化不定的因素，讓學(xué)生在好奇、趣味中探索問題，使學(xué)生經(jīng)過聯(lián)想、探索，達(dá)到啟發(fā)學(xué)生思維的目的，提高學(xué)生良好的解題感覺,一題多變有助于鞏固所學(xué)的基本題,有助于把各章節(jié)有聯(lián)系的基本題穿成串便于分析比較,斷定正錯(cuò)和推理,掌握知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律性,促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐知識(shí)的飛躍。

2、一題多解

這是通過對(duì)解題方法的限制加大問題的難度，使學(xué)生思路廣闊，一題多解要求學(xué)生善于從多角度、多方位、多層次分析題目的內(nèi)容和所提出的問題。用不同的方法解答同一道題目，一方面可以起到互相檢驗(yàn)的作用，另一方面通過對(duì)不同解法的比較，可以發(fā)現(xiàn)哪種方法更簡(jiǎn)單，哪種方法更容易理解，教師應(yīng)適時(shí)的引導(dǎo)學(xué)生從不同的方法、角度、思維方式去觀察、聯(lián)想、分析，根據(jù)問題的特定條件探索出一 系列的解題思路。激發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和去創(chuàng)造的強(qiáng)烈欲望，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的深刻理解，訓(xùn)練學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的嫻熟運(yùn)用，鍛煉學(xué)生思維的廣闊性和深刻性、靈活性和獨(dú)創(chuàng)性，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，這對(duì)學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用將產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。但是在采用一題“多”解教學(xué)時(shí)應(yīng)注意,不要一味追求不同解題方法的數(shù)量,而要注意各種方法的比較,注意解題思想、方法的挖掘。四．整體把握分析，突破難點(diǎn)，找出解題思路

同學(xué)們?cè)诳紤]問題時(shí)，通常會(huì)從局部因素入手，但是有些問題，從局部條件入手相當(dāng)復(fù)雜，如果站在整體的角度來看，就會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)。

例：甲、乙兩數(shù)和是92，乙、丙兩數(shù)和是96，甲、丙兩數(shù)和是94人，問甲、乙、丙三個(gè)數(shù)各是多少？

分析：如果分別求出三個(gè)數(shù)各是多少，顯然很困難，所以，可以從整體把握，觀察思考：已知的三個(gè)條件中，每個(gè)條件都包含兩個(gè)數(shù)，合到一起就是六個(gè)數(shù)的和，厘米包含有2個(gè)甲、2個(gè)乙、2個(gè)丙，求出一半，就是甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的和，然后根據(jù)條件中每?jī)蓚€(gè)數(shù)的和都可以求出第三個(gè)數(shù)。像這樣盡可能地分散難點(diǎn)，各個(gè)擊破，就可將問題逐一解決。

五、注重雙基教學(xué)，培養(yǎng)數(shù)感、圖感

讓學(xué)生對(duì)一些基本的方法、基本的圖形基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行必要的記憶儲(chǔ)備，培養(yǎng)數(shù)的感覺、圖形的感覺?！稑?biāo)準(zhǔn)》中強(qiáng)調(diào)：“要引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系自己身邊的具體、有趣的事物，通過觀察、操作、解決問題等豐富的活動(dòng)，感受數(shù)的意義，體會(huì)數(shù)用來表述和交流的作用，初步建立 數(shù)感”。教學(xué)中，教師要充分利用現(xiàn)實(shí)生活的資源，創(chuàng)設(shè)有助于兒童理解數(shù)學(xué)的教學(xué)情境，喚醒學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，再現(xiàn)數(shù)的概念的現(xiàn)實(shí)來源和實(shí)際應(yīng)用，達(dá)到讓學(xué)生把握數(shù)概念的實(shí)質(zhì)，真正理解數(shù)的意義，建立良好的數(shù)感。例如，教學(xué)“數(shù)一數(shù)”時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生觀察書上的主題圖，歡快、溫馨、富有童趣的畫面帶給學(xué)生對(duì)幼兒生活的美好回憶，更是對(duì)多彩的小學(xué)生活的熱切向往。由于一般都有幼兒園里的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，小朋友們會(huì)興致盎然地去數(shù)：1只木梯、2個(gè)秋千、3只木馬、4架飛機(jī)……無一不是他們生活中常見的東西，數(shù)學(xué)就是這樣的無處不在；數(shù)完了，學(xué)生之間就要互相說一說圖有些什么。于是“數(shù)”成為學(xué)生之間進(jìn)行交流的必不可少的工具，實(shí)實(shí)在在的作用?？傊诮虒W(xué)中，學(xué)生的解題思路的培養(yǎng)不是一朝一夕就能得到的，需要我們老師長(zhǎng)期引導(dǎo)和啟迪才能形成的。

第二篇：初三數(shù)學(xué)解題思路

三、名詞解釋

1.2.3.4.5.土的可松性：自然狀態(tài)下的土經(jīng)開挖后，其體積因松散而增加，雖經(jīng)回填壓實(shí)，仍不能恢復(fù)到原來的體積，這種性質(zhì)成為土地基處理：是指利用物理或化學(xué)的方法對(duì)地基中的不良土層進(jìn)行置換、改良、補(bǔ)強(qiáng)，形成滿足建筑要求的人工地基的過程。輕型井點(diǎn)降水：井點(diǎn)降水法是在基坑開挖前，先在基坑四周埋設(shè)一定數(shù)量的井點(diǎn)管和濾水管，挖方前和挖方過程中利用抽水“三 一”砌磚法：一塊磚、一鏟灰、一揉壓，并隨手將擠出的砂漿刮去的砌筑方法。砼保護(hù)層厚度及保護(hù)作用：砼保護(hù)層厚度是指縱向受力鋼筋外邊緣至砼構(gòu)件表面的距離。保護(hù)砼中鋼筋不受銹蝕。的可松性。設(shè)備，通過井點(diǎn)管抽出地下水，使地下水位降至坑底以下，避免產(chǎn)生坑內(nèi)涌水、塌方和坑底隆起現(xiàn)象，保證土方開挖正常進(jìn)行。

四、簡(jiǎn)答題

1.沉管灌柱樁施工工藝？

答：場(chǎng)地平整、定樁位→沉管設(shè)備就位→設(shè)樁靴→吊套管對(duì)位→校垂度→沉管→檢查沉管質(zhì)量→澆封底混凝土→放鋼筋籠→澆筑樁身混凝土。

2.量度差值？

答：鋼筋彎曲后，外邊緣伸長(zhǎng)，內(nèi)邊緣縮短，而中心線既不伸長(zhǎng)也不縮短。由于鋼筋下料長(zhǎng)度系指中心線長(zhǎng)度，而標(biāo)注尺寸為外包尺寸，故鋼筋彎曲后存在一個(gè)量度差值。因此，在計(jì)算下料長(zhǎng)度時(shí)必須加以扣除，否則將形成下料太長(zhǎng)造成浪費(fèi)，或彎曲成型后鋼筋尺寸大于要求造成保護(hù)層不夠，甚至由于鋼筋尺寸大于模板尺寸而無法安裝。

3.為什么要進(jìn)行施工配合比換算？

答：砼實(shí)驗(yàn)室配合比是根據(jù)完全干燥的砂、石骨料制定的，而施工現(xiàn)場(chǎng)的砂、石均有一定的含水率，且含水率大小又會(huì)隨氣候、季節(jié)發(fā)生變化。為保證現(xiàn)場(chǎng)拌制砼用料準(zhǔn)確，故應(yīng)將砼實(shí)驗(yàn)室配合比換算成骨料在實(shí)際含水率情況下的施工配合比。

4.分件安裝法？

答：分件安裝法是指起重機(jī)在車間內(nèi)每開行一次僅吊裝一種構(gòu)件，待這一類構(gòu)件安裝完后，再吊裝另一類構(gòu)件，通常分三次開行安裝完全部構(gòu)件。第一次開行：吊裝全部柱子，并對(duì)柱子進(jìn)行校正和最后固定。第二次開行：吊裝吊車梁和連系梁及柱間支撐等。第三次開行：分節(jié)間吊裝屋架、天窗架、屋面板及屋面支撐等。

5.什么是施工縫?施工縫留設(shè)的一般原則是什么?

答：(1)混凝土不能連續(xù)澆筑完成,停歇時(shí)間又超過混凝土運(yùn)輸和澆筑允許的延續(xù)時(shí)間, 先、后澆筑的混凝土接合面稱為施工縫.(2)施工縫的留設(shè)位置應(yīng)在結(jié)構(gòu)受剪力較小且便于施工的部位。

6.自行式起重機(jī)的工作參數(shù)？

答：在選擇自行式起重機(jī)時(shí)，主要考慮起重量Q、起重半徑R、起重高度H這三個(gè)工作參數(shù)。起重量是指起重機(jī)在一定起重半徑范圍內(nèi)起重的最大能力；起重半徑是指起重機(jī)回轉(zhuǎn)中心到吊鉤中心的水平距離；起重高度是指起重機(jī)吊鉤中心到停機(jī)面的垂直距離。

7.孔道灌漿的作用？

答：一是保護(hù)預(yù)應(yīng)力筋免遭銹蝕；二是使預(yù)應(yīng)力筋與構(gòu)件砼有效的粘結(jié)，以控制超載時(shí)裂縫的間距與寬度，并減輕兩端錨具的負(fù)荷。

8.單層排架工業(yè)廠房柱子安裝的施工工序？

答：?jiǎn)螌禹排偶芙Y(jié)構(gòu)工業(yè)廠房構(gòu)件的安裝施工包括綁扎、吊升、對(duì)位、臨時(shí)固定、校正、最后固定等工序。

9.什么是先張法施工？其適用范圍?

答：先張法施工，是在砼澆筑之前張拉預(yù)應(yīng)力筋并將預(yù)應(yīng)力筋用夾具臨時(shí)固定在臺(tái)座或鋼模板上，待砼達(dá)到一定強(qiáng)度（一般不低于砼設(shè)計(jì)強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值的75%）時(shí)，放松或切斷預(yù)應(yīng)力筋，使預(yù)應(yīng)力筋彈性回縮，借助預(yù)應(yīng)力筋與砼間的粘結(jié)力傳遞預(yù)應(yīng)力，使構(gòu)件受拉區(qū)的砼獲得預(yù)壓應(yīng)力。

適用于生產(chǎn)定型的中小型構(gòu)件，如空心板、屋面板、吊車梁、檁條等。

10.什么是后張法施工？其適用范圍？

答：后張法是先制作構(gòu)件，并在構(gòu)件中按設(shè)計(jì)規(guī)定的位置預(yù)留孔道，待砼強(qiáng)度達(dá)到設(shè)計(jì)規(guī)定的數(shù)值后，在孔道內(nèi)穿入預(yù)應(yīng)力筋進(jìn)行張拉，使構(gòu)件產(chǎn)生預(yù)應(yīng)力，并用錨具將預(yù)應(yīng)力筋錨固在構(gòu)件的端部，最后進(jìn)行孔道灌漿。預(yù)應(yīng)力筋的張拉力主要是靠構(gòu)件端部的錨具傳遞給砼，使砼產(chǎn)生預(yù)壓應(yīng)力。

適用于在現(xiàn)場(chǎng)生產(chǎn)大型構(gòu)件，特別是大跨度構(gòu)件，如薄腹梁、吊車梁和屋架等。

11什么是后張法? 答:后張法是在混凝土硬化至一定強(qiáng)度后,再?gòu)埨A(yù)應(yīng)力筋的預(yù)應(yīng)力混凝土生產(chǎn)方

法。它是在構(gòu)件設(shè)置預(yù)應(yīng)力筋的部位,預(yù)先留有孔道,然后灌筑混凝土,待達(dá)到規(guī)定強(qiáng)度后,將鋼筋(絲)

穿入預(yù)留孔道中,按設(shè)計(jì)要求的張拉控制應(yīng)力進(jìn)行張拉,并且專門的錨具將鋼筋(絲)錨固在構(gòu)件的兩

端,同樣由于鋼筋的彈性回縮,對(duì)混凝土施加壓力,再在孔道中灌入沙漿,以保護(hù)鋼筋,減緩銹蝕。

第三篇：小學(xué)數(shù)學(xué)解題思路技巧

演講稿 工作總結(jié) 調(diào)研報(bào)告 講話稿 事跡材料 心得體會(huì) 策劃方案

小學(xué)數(shù)學(xué)解題思路技巧

神奇的1和0 ［知識(shí)要點(diǎn)］

1．我們用字母α表示除0以外的任何數(shù)，則有

⑴ α×1=1×α=α；

α÷1=α。

⑵ α＋0=0＋α=α；

α－0=α；

α×0=0×α=0；

0÷α=0。

⑶ α÷0無意義。

2．掌握含0的數(shù)的讀法，規(guī)定末尾的0不讀；中間有一個(gè)0或幾個(gè)0連在一起都只讀一個(gè)0。［范例解析］

例1 計(jì)算下面由數(shù)字1組成的“金字塔”，把所有的1都加起來，看誰算得快。

解

“金字塔”每層的和分別是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。

它們的總和是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 例2 請(qǐng)回答：數(shù)字3最少是幾個(gè)數(shù)字相乘的積？最多呢？

解

由于3×1=3，所以3最少是兩個(gè)數(shù)字的積，最多可看成是一個(gè)數(shù)3和無窮多個(gè)數(shù)1的積。

例3 我們做一個(gè)數(shù)字計(jì)算游戲。任取一個(gè)不是1的數(shù)，如果是雙數(shù)就除以2（如取18，就18÷2）；如果是單數(shù)就乘以3加上1后再除

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以2[如取7，就（7×3＋1）÷2]?，F(xiàn)在我們?nèi)?shù)3，反復(fù)用這兩種方法計(jì)算，最后的結(jié)果怎樣？任取數(shù)7呢？

解

將數(shù)3按這兩種方法計(jì)算有：

3×3＋1=10

10÷2=5

5×3＋1=16

16÷2=8

8÷2=4

4÷2=2

2÷2=1

簡(jiǎn)記為：3→10→5→16→8→4→2→1

同樣，對(duì)于數(shù)7有：

7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1 數(shù)3和數(shù)7經(jīng)過用規(guī)定的兩種方法反復(fù)計(jì)算，最后的結(jié)果都是1。這種計(jì)算方法稱“角谷猜想”。例4 2÷0得幾？說明理由。

解

假定2÷0=α，根據(jù)除法的意義，應(yīng)有α×0=2。但α×0=0，所以α×0不能等于2。這說明，找不到一個(gè)數(shù)與0的積等于2，故2÷0無意義。

例5 把兩個(gè)“9”和兩個(gè)“0”拿來組成四位數(shù)，那么：

⑴ 兩個(gè)0都不讀出來的數(shù)是什么數(shù)？

⑵ 只讀出一個(gè)0的數(shù)是什么數(shù)？

⑶ 四位數(shù)中最大的一個(gè)數(shù)是什么數(shù)？

⑷ 四位數(shù)中最小的一個(gè)數(shù)是什么數(shù)？

解

⑴ 9900

⑵ 9090

⑶ 9009

⑷ 9900 例6 計(jì)算：⑴ 1300×3

⑵ 1600×5

⑶ 470×3

⑷ 5008

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×5 解

［思路技巧］

任何一個(gè)數(shù)中間或末尾的0，都占一個(gè)數(shù)位。因此，用乘數(shù)去乘被乘數(shù)時(shí)，不管乘數(shù)中間有幾個(gè)0，都要一個(gè)一個(gè)地同乘數(shù)相乘；遇到被乘數(shù)末尾有0的時(shí)候，可以先用乘數(shù)去乘0前面的數(shù)，然后在乘得的數(shù)的末尾填寫0，填寫0的個(gè)數(shù)要與被乘數(shù)末尾的0的個(gè)數(shù)相同。

總之，0和1有許多奇妙的性質(zhì)，用途很廣，例如，電子計(jì)算機(jī)所采用的二進(jìn)制數(shù)，就只用1和0來表示。隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的增長(zhǎng)，你會(huì)越來越感到它們重要。［習(xí)題精選］ 1．填空。

1×（）=1

1＋（）=1

1－（）=1

2－（）=1

1÷（）=1

7÷（）=1 2．計(jì)算。

⑴ 617×0×4

⑵ 5783×9×0

⑶ 80×3×1 ⑷ 2030×3×4

⑸ 3020×2×3

⑹ 7010×1×2 3．用“角谷猜想”計(jì)算方法填數(shù)。

⑴ 6→□→□→□→□→□→□→□→

⑵ 18→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→1

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4．在6的后面添上一個(gè)0，這個(gè)數(shù)是原來的幾倍？比原來的數(shù)多多少？

5．1400末尾的兩個(gè)0可以不讀，也可以不寫，對(duì)嗎？為什么？ 6．1005中間的兩個(gè)零只讀一個(gè)，也可以只寫一個(gè)，對(duì)嗎？為什么？ 7．0、2、4、6、8五個(gè)數(shù)字的和與2、4、6、8、0五個(gè)數(shù)字的積相比，不用計(jì)算，你說是和大？還是積大？ 8．比比看，誰做得又對(duì)又快？

1＋0

0＋1

1×1

1×0

1－1

0＋0

1÷1

0×0

1－0

0÷1 1＋1

6×1

6÷1

7＋0

0＋7

7－0

0÷7

7－7

7×7（6－6）×4

（8－8）×0

0÷（8－4）

1×1＋1÷1＋0×1＋0÷1 9．用四個(gè)

3、三個(gè)0寫成七位數(shù)，按下面的要求寫出各多位數(shù)：

一個(gè)零都不讀出來

（）

只讀出一個(gè)零

（）

讀出兩個(gè)零

（）

讀出三個(gè)零

（）10．?dāng)?shù)字迷。

下面每個(gè)題里都有一組數(shù)，請(qǐng)你從中找出一個(gè)適合各問條件的數(shù)：

⑴ 7 6 25 53 19

這個(gè)數(shù)被3除余1；

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這個(gè)數(shù)比最小的兩位數(shù)大；

這個(gè)數(shù)加上1，再乘以5正好是最小的三位數(shù)；

這個(gè)數(shù)的幾？

⑵ 30500 53010

400200 7003000

這個(gè)數(shù)只讀出一個(gè)零；

這個(gè)數(shù)的最高位在二節(jié)中；

這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)的和為8；

這個(gè)數(shù)是幾？

11．用1、0、0、4四個(gè)數(shù)字寫出兩個(gè)四位數(shù)，要使它們是差是99，這兩個(gè)四位數(shù)分別是（）和（）。余數(shù)的妙用 ［知識(shí)要點(diǎn)］

1．被除數(shù)=除數(shù)×商＋余數(shù)；

2．余數(shù)要比除數(shù)??；

3．會(huì)解有余數(shù)除法的應(yīng)用題。［范例解析］

例1 如圖1-1。把14個(gè)乒乓球平均分給三個(gè)班，每班分得幾個(gè)？還余下幾個(gè)？

解

14÷3 = 4余2

每班分得4個(gè)還余2個(gè)。

例2 下面三個(gè)豎式，哪個(gè)對(duì)？哪個(gè)不對(duì)？為什么不對(duì)？

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解

第一個(gè)豎式不對(duì)，它的余數(shù)8比除數(shù)5還大，還可商1，即商應(yīng)為8；

第二個(gè)豎式也不對(duì)，因商和除數(shù)的積不能大于被除數(shù)；

第三個(gè)豎式是對(duì)的，余數(shù)3小于除數(shù)5。

說明

計(jì)算有余數(shù)的除法，余數(shù)一定要比除數(shù)小。這時(shí)被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的關(guān)系是：

被除數(shù) = 除數(shù)×商＋余數(shù)

被除數(shù)－余數(shù) = 除數(shù)×商

例3 把11、12、13、14、15、16、17分別除以3時(shí)，各得哪些余數(shù)？

解

11÷3 = 3余2；

12÷3 = 4余0；

13÷3 = 4余1；

14÷3 = 4余2；

15÷3 = 5余0；

16÷3 = 5余1；

17÷3 = 5余2。說明

一串連續(xù)數(shù)除以同一個(gè)數(shù)，因?yàn)樗鼈兊挠鄶?shù)小于除數(shù)，所以余數(shù)重復(fù)出現(xiàn)。

“余數(shù)”在我們生活中還有不少的用處呢！

例4 國(guó)慶節(jié)掛彩燈，用六種顏色的燈泡，按紅、黃、藍(lán)、白、綠、紫的次序裝配，總共要裝50只燈，每種顏色的燈泡各需要多少只？

解

可以這樣想，六種顏色的燈泡作為一組，50只燈泡可以分成50÷6 = 8（組）余2（只）

于是，其中有四種顏色的燈泡各配8只，另兩種顏色的燈泡

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各配9只。

例5 今天是星期三，再過20天是星期幾？

解

今天是星期三，因?yàn)橐粋€(gè)星期有7天，以星期一為星期的第一天計(jì)算，因已經(jīng)過了3天。所以有

（20＋3）÷7 = 3余2

即再過20天是星期二。

例6 把4、7、18、2四個(gè)數(shù)填入下式的括號(hào)中。

（）÷（）=（）余（）

分析

第一個(gè)括號(hào)是被除數(shù)，它必須填最大的一個(gè)數(shù)18。其次，除數(shù)比余數(shù)要大，因此，第二個(gè)括號(hào)中的數(shù)必須比最后一個(gè)括號(hào)中的數(shù)要大，但是7×4大于18，所以最后一個(gè)括號(hào)中只能填數(shù)4。即題中式子填數(shù)如下：

（18）÷（7）=（2）余（4）［思路技巧］

１．正確理解余數(shù)的性質(zhì)，是正確解決有關(guān)余數(shù)問題的關(guān)鍵。

２．計(jì)算有余數(shù)的除法，余數(shù)一定要比除數(shù)小。［習(xí)題精選］ １． 看圖填數(shù)。

⑴

11÷3 = ______(根)......______（根）

⑵

14÷4 = ______(份)......______（個(gè)）

14÷3 = ______(個(gè))......______（個(gè)）

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２． 下面各題的計(jì)算對(duì)嗎？把不對(duì)的改過來。

⑴ 38÷5 = 6......8

49÷6 = 7......7

49÷8 = 5......9

33÷4 = 8......1

2÷1 = 1......1

17÷3 = 5......2

３．（）里最大能填幾？

（）×8＜55

（）×5＜19

（）×7＜33

（）×9＜62

（）×6＜50

（）×4＜14 ４．55除以7，商幾余幾？除以8呢？除以9呢？ ５．

被4除沒有余數(shù)的：________________

被9除沒有余數(shù)的：________________ ６．⑴ 用下面各數(shù)除以2時(shí)，得到哪些余數(shù)？除以4時(shí)，得到哪些余數(shù)？11、13、14、15、17、19

⑵ 用下面各數(shù)分別除以5、6時(shí)，各得到哪些余數(shù)？11、12、13、14、15、16、17 ７．把23、7、3、2填入兩個(gè)式子中，使它們的余數(shù)相同。

（）÷（）=（）......（）

（）÷（）=（）......（）８．下面三個(gè)算式的被除數(shù)相同，你能填出來嗎？

（）÷7 =（）......1

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（）÷6 =（）......5

（）÷5 =（）......4 ９．在□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

１０．在機(jī)場(chǎng)上停著20架飛機(jī)，準(zhǔn)備每3架編為一組起飛，可以編成幾組？還聲幾架？

１１．⑴ 把16張風(fēng)景畫片平均分給5個(gè)同學(xué)，每人分得幾張？還剩幾張？

⑵ 把16張風(fēng)景畫片分給同學(xué)，每人分得5張，可以分給幾個(gè)同學(xué)？還剩幾張？

１２．⑴ 一件襯衣前面要釘5個(gè)紐扣，袖口要釘2個(gè)紐扣，一共要釘幾個(gè)紐扣？

⑵ 現(xiàn)有45個(gè)紐扣，每件釘7個(gè)，夠釘幾件襯衣？還剩幾個(gè)紐扣？

１３．有30千克水果糖，每盒裝4千克，剩下的裝在紙袋里，紙袋里裝多少千克糖？

１４．一個(gè)星期有7天，十月份有31天，十月份里有幾個(gè)星期零幾天？

１５．⑴ 學(xué)校開會(huì)慶“六一”，有9面彩旗，平均插在會(huì)場(chǎng)兩邊，每邊插幾面？還剩幾面？

⑵ 學(xué)校開會(huì)慶“六一”，有9面彩旗，會(huì)場(chǎng)兩邊各插4面旗，中間插1面旗，共插了幾面旗？

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周期現(xiàn)象 ［知識(shí)要點(diǎn)］

自然界里有許多現(xiàn)象，如春、夏、秋、冬年復(fù)一年地交替；白天與黑夜反復(fù)出現(xiàn)；我國(guó)民間流傳著“初

三、初四娥眉月，十五、十六月團(tuán)圓”的說法；七天一個(gè)星期，等等，都是周期現(xiàn)象。

算術(shù)中也有一些有趣的周期問題。例如，一串連續(xù)的自然數(shù)被3除的余數(shù)是： 1、2、0、1、2、0、1、2、0、......它是1、2、0重復(fù)出現(xiàn)的一列數(shù)，即周期是3。

本節(jié)就是要讓學(xué)生初步了解周期現(xiàn)象，并會(huì)用周期解某些較簡(jiǎn)單的問題。［范例解析］

例1 有一串黑白珠子排列如圖1-4所示。

○●○○○●○○○●○○○●○○○●○......圖1-4

其中黑珠與白珠共有70個(gè)，那么最后一個(gè)是黑珠還是白珠？共有幾個(gè)白珠？

解

我們由圖1-4可知○●○○四個(gè)珠子是一個(gè)周期，又70÷4=17余2，即這一串珠子經(jīng)過17次重復(fù)后還余2個(gè)珠子○●，因此，最后一個(gè)是黑珠子。

一個(gè)周期的4個(gè)主張中有3個(gè)白珠，最后2個(gè)主張中有一個(gè)白珠，白珠一共應(yīng)有：

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3×17＋1 = 51＋1 = 52（個(gè)）

說明

對(duì)于周期問題，關(guān)鍵是要抓住周期規(guī)律這一重要環(huán)節(jié)，問題才好解決。

例2 1994年4月10日是星期六，那么這一年的7月5日是星期幾？ 解

從4月10日至7月5日的天數(shù)是：

（30－9）＋31＋30＋5 = 87（天）

又一個(gè)周期的周期是7，所以

87÷7 = 12余3

即87天經(jīng)過12個(gè)星期又3天，這3天應(yīng)是星期

六、星期日、星期一。

我們推算出7月5日是星期一。

例3 1、2、0、1、2、0、1、2、0......第1995個(gè)數(shù)字是多少？ 解

這一列數(shù)中，它的一個(gè)周期是：1、2、0，即周期是3。又

1995÷3 = 665

故這一列數(shù)按12、0重復(fù)665次，所以第1995個(gè)數(shù)字是0。例4 1＋2＋3＋4＋...＋1992＋1993被5除的余數(shù)是多少？ 分析

這個(gè)問題如果先求和，就比較麻煩。我們知道，這1993個(gè)數(shù)被5除的余數(shù)周期性的出現(xiàn)，組成下面一列數(shù)： 1、2、3、4、0、1、2、3、4、0、1、2、3、4、0......我們知道，1、2、3、4、0是一個(gè)周期，周期是5。并且一個(gè)周期的5個(gè)余數(shù)的和是：

1＋2＋3＋4＋0 = 10

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又10÷5 = 2，即是一個(gè)周期中5個(gè)數(shù)字之和可被5 除盡。這就是說，前5個(gè)數(shù)字的和能被5整除，接著的5個(gè)數(shù)字的和同樣也能被5整除，等等。這樣，有多少個(gè)5個(gè)數(shù)字的和可以被5整除呢？ 我們知道，1993÷5 = 398余3。

即應(yīng)有398個(gè)5個(gè)數(shù)字的和可以被5整除。只考慮最后三個(gè)數(shù)的余數(shù)是1、2、3。

又1＋2＋3 = 6，6÷5 = 1余1 所以，它們的和被5除的余數(shù)是1。

［思路技巧］

１．對(duì)于周期問題，解決的關(guān)鍵是要正確觀察出周期的規(guī)律。２．有些問題，雖然不是周期問題，我們可以巧妙地將它轉(zhuǎn)化為周期問題來解決。［習(xí)題精選］

１．2、1、1、3、5、2、1、1、3、5......，第273個(gè)數(shù)字是多少？ ２．某年3月5日是星期四，那么這一年的10月1日是星期幾？ ３．某年的9月15 日是星期五，那么這一年的5月5日是星期幾？ ４．同樣大小的紅、白、黑三色球共193個(gè)，它們按如圖1-5規(guī)則排列，其中紅球有多少個(gè)？最后一個(gè)球是什么顏色？

５．1＋2＋3＋4＋......＋1993＋1994的和被9除的余數(shù)是多少？ ６．有14個(gè)數(shù)排成一橫排，每個(gè)數(shù)寫在一個(gè)方格子里，它們具有這樣的性質(zhì)：任何三個(gè)相鄰的數(shù)加起來都是10；另外從左邊算起的第4精心收集

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個(gè)數(shù)等于5，第12個(gè)數(shù)等于4，問第8和數(shù)“？”等于多少？

？

７．1＋2＋3＋......＋9999＋10000被7除的余數(shù)是多少？

８．1994年的1月5日是星期三，問這一年的7月1日是星期幾？ ９．1、2、0、3、1、2、0、3、1、2、0、3......這一列數(shù)的第186個(gè)數(shù)字是多少？這186個(gè)數(shù)的和是多少？

１０．拼音字母A、B、C按下面的規(guī)律排列：A、B、A、A、C、A、B、A、A、C......共有178個(gè)字母。請(qǐng)?zhí)钕铝锌崭瘢?/p>

⑴ 一個(gè)周期A、B、A、A、C它有（）個(gè)字母；

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⑵ 一個(gè)周期中A有（）個(gè)，余數(shù)中A有（）；

⑶ 共有（）×（）＋（）=（）個(gè)A；

⑷ 最后一個(gè)字母是（）。加減巧算 ［知識(shí)要點(diǎn)］

１．加法的交換律與結(jié)合律，用字母表示則有：

α＋b = b ＋α，α＋(b＋c)=(α＋b)＋c

２．減法的性質(zhì)，用字母表示則有：

α－(b＋c)= α－b－c

反之，α－b－c = α－(b＋c)［范例解析］

例1 簡(jiǎn)便計(jì)算下列各題。

⑴ 129＋84＋71

⑵ 83＋135＋65

⑶ 34＋75＋66

128＋73＋27＋17 解

⑴

129＋84＋71 =（129＋71）＋84 = 200＋84 = 284

⑵

83＋135＋65

= 83＋（135＋65）= 83＋200

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⑷

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= 283

⑶

34＋75＋66 =（34＋66）＋75 = 100＋75 = 175

⑷

128＋73＋27＋17 =（128＋17）＋（73＋27）= 145＋100 = 245

例2 你能巧算297＋65的和嗎？

分析

我們發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)加數(shù)只要加上數(shù)3就湊成整數(shù)300，這樣計(jì)算就方便多了。

解法一

297＋65 = 297＋65＋3－3 =（297＋3）＋（65－3）= 300＋62 = 362

解法二

297＋65 = 297＋62＋3 =（297＋3）＋62

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= 300＋62 = 362 說明

“湊整”是速算中最常見、簡(jiǎn)單易行的方法，計(jì)算時(shí)，若湊成10、100、1000、......計(jì)算自然方便。但“湊整”不是任意湊，而是有目的地進(jìn)行，才能起到速算的效果。再看例3。例3 速算下面兩題。

⑴ 3471＋5899

⑵ 3891－1992 解

⑴

3471＋5899 = 3471＋（5899＋101）－101 = 3471＋6000－101 = 9471－101 = 9370 ⑵

3891－1992 =（3891－2000）＋8 = 1891＋8 = 1899

例4 速算下面兩題。

⑴ 280－（80＋92）

⑵ 297－173－27 解

⑴

280－（80＋92）= 280－80－92 = 200－92

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= 108 ⑵

297－173－27 = 297－（173＋27）= 297－200 = 97 ［思路技巧］

“湊整”是速算中最常見的方法，有目的地把數(shù)湊成10、100、1000、......，可以使問題簡(jiǎn)化。［習(xí)題精選］

１．簡(jiǎn)便計(jì)算下面各題。

⑴ 74＋29＋26

⑵ 153＋29＋171

⑶ 58＋47＋42＋13

⑷ 149＋32＋151＋68

⑸ 2608＋529＋392＋27 ２．看誰算的快。

⑴ 36－12－6

⑵ 75－36－19

⑶ 129－（29＋40）

⑷ 1995－（1001＋895）３．速算。

⑴ 5789＋2011

⑵ 1832－997

⑶ 6801＋345＋3199

⑷ 362＋345＋638＋655 ４．看誰算的快。

⑴ 57＋78＋43＋42

⑵ 249＋132＋151＋68

⑶ 405＋997

⑷ 298＋87 ５． 下面有這樣幾排數(shù)。

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⑴ 第一豎行各個(gè)數(shù)的和是15，請(qǐng)你很快算出其余四個(gè)豎行各個(gè)數(shù)的和；

⑵ 第一橫行各個(gè)數(shù)的和是55，請(qǐng)你很快算出其余四個(gè)豎行各個(gè)數(shù)的和。乘法巧算

［知識(shí)要點(diǎn)］

１．用乘法口訣計(jì)算減法；

２．乘法的交換律、結(jié)合律。用字母表示為：

α×b = b×α，α×(b×c)=(α×b)×c；

３．乘法對(duì)加法的分配律，用字母表示為：

α×(b＋c)= α×b＋α×c；

α×b＋α×c = α×(b＋c)［范例解析］

例1 下面有一組減法計(jì)算題，想一想，能找出它們的計(jì)算規(guī)律嗎？

21－12 = 9

31－13 = 18

41－14 = 27

51－15 = 36

61－16 = 45

71－17 = 54

81－18 = 63

91－19 = 72 分析

首先看被減數(shù)和減數(shù)的關(guān)系，它們正好是被減數(shù)的十位數(shù)字與

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個(gè)位數(shù)字的位置交換了一下就得到減數(shù)；其次，它們的差正好是9的倍數(shù)。即9的1倍、2倍、3倍、4倍、5倍、6倍、7倍、8倍，也即是9的乘法口訣的得數(shù)。這是說明道理？

因?yàn)槭簧系臄?shù)變成個(gè)位上的數(shù)，就要相差幾個(gè)9，如10→1，差1個(gè)9；20→2，差2個(gè)9；30→3，差3個(gè)9；......反過來也一樣，1→10，差1個(gè)9；2→20，差2個(gè)9；3→30，差3個(gè)9；......所以，一個(gè)兩位數(shù)交換它的個(gè)位與十位上的數(shù)字的位置后，得一新的兩位數(shù)，然后將大數(shù)減去小數(shù)，它們的差就是這兩個(gè)數(shù)字的差與9的乘積。即可用的乘法口訣計(jì)算。例2 下面一組減法題，看誰算得快。

⑴ 72－27 =（）

⑵ 43－34 =（）

⑶ 83－38 =（）

⑷ 53－35 =（）

⑸ 94－49 =（）⑹ 63－36 =（）

⑺ 87－78 =（）

⑻ 73－37 =（）

解

⑴ 五九四十五

⑵ 一九得九

⑶ 五九四十五

⑷ 二九一十八

⑸ 五九四十五

⑹ 三九二十七

⑺ 五九四十五

⑻ 四九三十六

例3 簡(jiǎn)便計(jì)算下列各題。

⑴ 214×5×8

⑵ 6×586×5

⑶ 1607×4×5

⑷ 25×8×125×4 解

⑴ 214×5×8

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= 214×（5×8）= 214×40 = 8560 ⑵ 6×586×5 =（6×5）×586 = 30×58 = 17580 ⑶ 1607×4×5 = 1607×（4×5）= 1607×20 = 32140 ⑷ 25×8×125×4 =（25×4）×（125×8）= 100×1000 = 100000 例4 下面有一組乘法算式，看誰算得快。

1×99 =

2×99 =

3×99 =

4×99 =

5×99 =

6×99 =

7×99 =

8×99 =

9×99 = 分析

我們首先找規(guī)律。從2×99看起，它可以靠成是：

2×99 = 2×（100－1）

= 2×100－2×1

= 200－2

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=198

照這樣計(jì)算，3×99 = 300－3 = 297，即幾乘以99可看成是幾百減去幾就得結(jié)果，因此，我們可很快算出各式的結(jié)果。

解

1×99 = 99

2×99 = 200－2 = 198

3×99 = 300－3 = 297

4×99 = 400－4 = 396

5×99 = 500－5 = 495

6×99 = 600－6 = 594

7×99 = 700－7 = 693

8×99 = 800－5 = 792

9×99 = 900－9 = 891 ［思路技巧］

有目的地把數(shù)湊成整

十、整百、......，可使計(jì)算簡(jiǎn)便。［習(xí)題精選］

１．請(qǐng)你用乘法口訣來計(jì)算下面各題，看誰算得快。

53－35 =（）

94－49 =（）

73－37 =（）

82－28 =（）

63－36 =（）

40－4 =（）

32－23 =（）

80－8 =（）

96－69 =（）

70－7 =（）

42－24 =（）

71－17 =（）２．速算下面各題。

⑴ 2×729×5

⑵ 4×83×25

⑶ 17×125×8 ⑷ 132×5×4

⑸ 222×5×8

⑹ 828×25×2

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３．簡(jiǎn)便計(jì)算。

⑴ 42×3＋42×2

⑵ 17×19＋181×17

⑶ 125×（8－1）

⑷ 5×（24＋38）４．下面有三個(gè)算式：

142×2 = 284

142×3 = 426

142×4 = 568 你能利用這三個(gè)算式計(jì)算下面兩道乘法題的得數(shù)嗎？

142×5 =（）

142×6 =（）

５．我們知道：37×3 = 111，你能利用它快速算出下面各式結(jié)果嗎？

37×6 =

37×9 =

37×12 =

37×15 =

37×18 =

37×21 = 連續(xù)自然數(shù)求和 ［知識(shí)要點(diǎn)］

１．連續(xù)自然數(shù)求和的方法：

頭尾兩數(shù)相加的和×加數(shù)的個(gè)數(shù)÷2 ２．連續(xù)自然數(shù)逢單時(shí)求和的方法：

中間的加數(shù)×加數(shù)的個(gè)數(shù)。［范例解析］

例1 比一比，看誰算得快。

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9 = ？ 解法1 如圖2-2所示。

4個(gè)10加上5等于45。

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解法2 如圖2-3所示。5個(gè)9等于45。解法3

得到9個(gè)10，即90，它是和數(shù)的2倍，即90÷2 = 45。說明

解法1是利用“湊整”技巧進(jìn)行簡(jiǎn)算； 解法2是利用“0”的神奇性配對(duì)進(jìn)行速算； 解法3是常說的高斯求和法速算。

你聽說過數(shù)學(xué)家高斯小時(shí)候的故事嗎？有一次老師出了一道數(shù)學(xué)題： “求1＋2＋3＋4＋......＋100的和”。老師的話音剛落，高斯就舉手說：等于5050。

高斯是怎樣算的？他將這100個(gè)數(shù)倒過來，每相對(duì)兩數(shù)的和等于101，共有100個(gè)101，將101乘以100后再除以2，結(jié)果等于5050。我們由此得到啟發(fā)，一組連續(xù)自然數(shù)相加時(shí)，可用下面的公式求和。

頭尾兩數(shù)相加的和×加數(shù)的個(gè)數(shù)÷2 例2 計(jì)算下面兩題。

⑴ 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13 = ？

⑵ 21＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28 =？ 解

⑴ 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13

=（4＋13）×10÷2

= 17×10÷2

= 170÷2

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= 85

⑵ 21＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28

=（21＋28）×8÷2

= 49×8÷2

= 392÷2

= 196 說明

只要的連續(xù)自然數(shù)求和，不一定要從1開始，均可用此法計(jì)算。例3 求和：53＋54＋55＋56＋57＋58＋59 解法1

53＋54＋55＋56＋57＋58＋59

=（53＋59）×7÷2

= 112×7÷2

= 784÷2

= 392 解法2

53＋54＋55＋56＋57＋58＋59

= 56×7

= 392 說明

如果相加的連續(xù)自然數(shù)的個(gè)數(shù)逢單時(shí)，也可用下式計(jì)算和：

中間的加數(shù)×加數(shù)的個(gè)數(shù)。例4 求和。

⑴ 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17

⑵ 24＋26＋8＋30＋32 解

⑴ 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17

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= 9×9 = 81 ⑵ 24＋26＋8＋30＋32 = 28×5 = 140 說明

此兩題雖然不是連續(xù)自然數(shù)相加，但是每相鄰的兩個(gè)加數(shù)直接都相差同一個(gè)數(shù)，同樣可用公式計(jì)算。［思路技巧］

計(jì)算連續(xù)自然數(shù)相加時(shí)，可用頭尾兩數(shù)相加的和×加數(shù)的個(gè)數(shù)÷2計(jì)算；如果相加的連續(xù)自然數(shù)是單數(shù)時(shí)，可用中間的加數(shù)×加數(shù)的個(gè)數(shù)求和；如果不是連續(xù)自然數(shù)相加，但每相鄰兩個(gè)加數(shù)之間都相差同一個(gè)數(shù)，也可用以上兩種方法計(jì)算。［習(xí)題精選］ １．求和。

⑴ 12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19 ⑵ 28＋29＋30＋31＋32＋33 ⑶ 101＋104＋107＋110＋113＋116 ２．求和。

⑴ 41＋42＋43＋44＋45 ⑵ 12＋14＋16＋18＋20＋22＋24 ３．求和。

⑴ 77＋78＋79＋80＋81＋82

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⑵ 1006＋1005＋1004＋1003＋1002＋1001 用運(yùn)算符號(hào)連算式 ［知識(shí)要點(diǎn)］

１．添運(yùn)算符號(hào)＋、－、×、÷和括號(hào)（），使等式成立；

２．逆推法；

３．湊數(shù)放。［范例解析］

例１

用運(yùn)算符號(hào)把下面式子中的４個(gè)３連起來，使等式成立。

３ ３ ３ ３= 9

①

分析

我們從最后一個(gè)3向前考慮添運(yùn)算符號(hào)，如果添×號(hào)，①變?yōu)椋骸?3 = 9 兩邊除以3，即為= 3

②

將②中左邊最后一個(gè)3前再添×號(hào)，②變?yōu)椋骸?3 = 3，兩邊再除以3，即為：= 1。顯然再添÷號(hào)。解÷ 3 × 3 × 3 = 9 例２

在下列5個(gè)5之間，添上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)--＋、－、×、÷和（），使得下面等式成立。

5 5 5 5 = 10

①

分析

我們從①的后邊逐步向前邊考慮，最后一個(gè)5前面如果要添運(yùn)算符號(hào)的話，只可能是＋、－、×、÷運(yùn)算符號(hào)中的一個(gè)。如果是加號(hào)，①式變?yōu)?/p>

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演講稿 工作總結(jié) 調(diào)研報(bào)告 講話稿 事跡材料 心得體會(huì) 策劃方案 5 5 5 ＋ 5 = 10

②

兩邊減5，即變?yōu)?5 5 5 5 = 5

③

再重復(fù)上面的想法，如果③左邊最后一個(gè)5前面又是加號(hào)，則③式變?yōu)? 5 5=0。這等式很容易得出：

（5－5）×5 = 0或（5－5）÷5 = 0或5×（5－5）= 0 如果③式左邊最后一個(gè)5前面是減號(hào)，③式變?yōu)? 5 5 = 10，這式子沒有解。

如果③式左邊最后一個(gè)5前面是乘號(hào)或除號(hào)，也沒有解。

如果①式最后一個(gè)5前面是減號(hào)、乘號(hào)或除號(hào)，可采用上面的方法進(jìn)行同樣的分析。

解

（5－5）×5＋5＋5 = 10（5－5）÷5＋5＋5 = 10

5×（5－5）＋5＋5 = 10

（5×5＋5×5）÷5 = 10

（5÷5＋5÷5）×5 = 10

等等。

說明

上面的分析方法，是從最后一個(gè)數(shù)字開始向前推想，所以我們可以把這種方法叫逆推法，使用時(shí)一定要考慮全面、周到。例３

在下列六個(gè)數(shù)的中間添上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)，使得下面的算式成立：965 2 7 8 314 0 = 1986。

分析

這題如果采用逆推法，那肯定會(huì)相當(dāng)?shù)穆闊?，我們必須另行?/p>

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慮，先找一個(gè)與1986比較接近的數(shù)，如965×2 = 1930，這個(gè)數(shù)比1986小56，這樣原問題就轉(zhuǎn)化為：能否用剩下的六個(gè)數(shù)經(jīng)過適當(dāng)?shù)乃膭t運(yùn)算得出一個(gè)等于56的算式呢？然后作適當(dāng)?shù)脑黾踊驕p少，使算式成立，增加或減小的部分也采用上述的方法，我們也給它取個(gè)名，叫湊數(shù)法。

解

965×2＋7×8＋314×0 = 1986 例４

在下列數(shù)碼的某些相鄰地方，只添運(yùn)算符號(hào)＋和－，使得等式成立： 8 7 6 5 4 3 2 1 = 20 分析

我們從頭開始想，98＋7 = 105

105－65 = 40 這一來問題轉(zhuǎn)化我用4 3 2 1湊出個(gè)20來，而21－3＋3 = 20。解

98＋7－65＋4－3－21 = 20 例５

有2、3、4、6四個(gè)數(shù)字，請(qǐng)你選擇合適的運(yùn)算符號(hào)，最少組成五個(gè)算式，使它們都等于24。

解

2×6＋3×4 = 24； 4×6÷（3－2）= 24； 3×6＋4＋2 = 24； 4×2×（6－3）= 24； 3×（6－2＋4）= 24 ［思路技巧］

在數(shù)字之間添加運(yùn)算符號(hào)使，可采用逆推法或湊數(shù)法解答。

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［習(xí)題精選］

１．在3個(gè)7中間的□里添入適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)和括號(hào)，使等式成立。

7□7□7 = 2

7□7□7 = 6

7□7□7 = 8 7□7□7 = 7

7□7□7 = 42

7□7□7 = 56 ２．在下面各數(shù)之間填上“＋”、“－”、“×”、“÷”、“（）”使等式成立。

⑴ 快樂的1989年：

4 4 4 4 = 1

4 4 4 4 = 9

4 4 4 4 = 8

4 4 4 4 = 9 ⑵ 慶祝國(guó)慶四十周年：

2 3 4 5 6 = 40

3 4 5 6 1 = 40

4 5 6 1 2 = 40

5 6 1 2 3 = 40

6 1 2 3 4 = 40

1 2 3 4 5 = 40 ⑶ 在下面○里填上和左邊對(duì)應(yīng)地方不同的運(yùn)算符號(hào)，使兩邊的計(jì)算結(jié)果相等。

6＋2＋4 = 6○2○4

8＋2＋3 = 8○2○3

12－2－2 = 12○2○2

18－9－3 = 18○9○3

1×3＋2×4 = 1○3○2○4 ⑷ 下面每一道小題的□里都要填同一個(gè)數(shù)字。

□＋□＜□×□

□＋□＞□×□

□＋□＝□×□

□＋□＞□÷□

３．在（）中填上＋、－、×、÷符號(hào)使等式成立。

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1（）2（）3 = 1

1（）2（）3（）4 = 9

1（）2（）3（）4（）5 = 8

1（）2（）3（）4（）5（）6 = 9 ４．○內(nèi)應(yīng)填上什么運(yùn)算符號(hào)？□內(nèi)應(yīng)填上什么數(shù)？

５．只填一個(gè)加號(hào)和兩個(gè)減號(hào)于下列某些數(shù)碼間，使等式成立。2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 ６．只填兩個(gè)加號(hào)和兩個(gè)減號(hào)于下列某些數(shù)碼間，使等式成立。2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 ７．只填一個(gè)乘號(hào)和七個(gè)加號(hào)于下列9個(gè)數(shù)之間，使等式成立。2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 ８． 下面是幾組數(shù)碼，逆能不能將它們分別拼成數(shù)，并用運(yùn)算符號(hào)排成一道算式題，使各題的得數(shù)均等于1995？

例如，“5、5、7、7”這組數(shù)得：5×5×57 = 1995 ⑴ 3、3、6、6、6 ⑵ 3、3、3、3、3、3、3、3 找規(guī)律填數(shù) ［知識(shí)要點(diǎn)］

１．?dāng)?shù)列填數(shù)；

２．陣圖填數(shù)。［范例解析］

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例1 找規(guī)律填出后面三個(gè)數(shù)：

⑴ 3，4，6，9，13，18，______，______，______； ⑵ 56，61，47，44，______，______，______； ⑶ 3，9，27，______，______，______； ⑷ 7，14，21，28，______，______，______； ⑸ 0，1，1，2，3，5，8，______，______，______。

解

⑴ 這一列數(shù)，從第二個(gè)數(shù)開始，逐漸增大，那它是按什么規(guī)律變化的呢？我們仔細(xì)觀察，第二個(gè)數(shù)4比第一個(gè)數(shù)3大1；第三個(gè)數(shù)比第二個(gè)數(shù)大2；第四個(gè)數(shù)比第三個(gè)數(shù)大3；第五個(gè)數(shù)比第四個(gè)數(shù)大4；第六個(gè)數(shù)比第五個(gè)數(shù)大5。如圖3-1所示。

即是按照加

1、加

2、加

3、加

4、......的規(guī)律加下去。因此，應(yīng)填24，31，39。

⑵ 這一列數(shù)正好⑴相反，它們是逐漸減少。其中，第二個(gè)數(shù)51比第一個(gè)數(shù)56少5；第三個(gè)數(shù)又比第二個(gè)數(shù)少4；第四個(gè)數(shù)比第三個(gè)數(shù)少3。如圖3-2所示。

即是按照減

5、減

4、減

3、......的規(guī)律減下去。因此，應(yīng)填42，41，40。

⑶ 這一列數(shù)中，第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的3倍；第三個(gè)數(shù)又是第二個(gè)數(shù)的3倍，如圖3-3所示。

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圖3-3

即是按照前一個(gè)數(shù)擴(kuò)大3倍，得后一個(gè)數(shù)的規(guī)律算下去。因此，應(yīng)填81，243，729。

⑷ 我們觀察發(fā)現(xiàn)，這一列數(shù)中的第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的2倍，第三個(gè)數(shù)又是第一個(gè)數(shù)的3倍，第四個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的4倍，如圖3-4所示。

即是按照把第一個(gè)數(shù)擴(kuò)大2倍、3倍、4倍......的規(guī)律酸下去因此，應(yīng)填35，42，49。

⑸ 這一列數(shù)的變化規(guī)律較復(fù)雜一點(diǎn)，要仔細(xì)地觀察。我們改變一下觀察研究的順序，即從8起往左看，可看出：8是3＋5的和，5又是它的前兩個(gè)數(shù)2＋3的和，3則是1＋2的和，2是1＋1的和，1是0＋1的和。如圖3-5所示。

即是按照后一個(gè)數(shù)是前兩個(gè)數(shù)的和的規(guī)律算下去。因此，應(yīng)填13，21，34。

說明

在一列數(shù)中填數(shù)，關(guān)鍵是要找出這列數(shù)中各數(shù)之間的變化規(guī)律，按規(guī)律酸下去，才能正確填才其中的缺數(shù)。例2 你能把空缺的數(shù)填出來嗎？ 2 8 3

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演講稿 工作總結(jié) 調(diào)研報(bào)告 講話稿 事跡材料 心得體會(huì) 策劃方案 4 4 2 分析

我們發(fā)現(xiàn)，這已知的7個(gè)數(shù)字之間找不出它們的變化規(guī)律。因此，我們應(yīng)該變換觀察的角度，即分單雙位上的數(shù)考慮，這就將一列數(shù)分才人下的兩列數(shù)： 2 3 4 ？

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前一列數(shù)是按照后一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)加1的規(guī)律算下去，因此，空缺數(shù)應(yīng)填5。

說明

有時(shí)一列數(shù)是由兩個(gè)有規(guī)律的數(shù)串混合組成的。在填空缺數(shù)時(shí)，應(yīng)注意這一點(diǎn)。

例3 找規(guī)律，很快把圖3-6中小圓圈里的數(shù)填出來。

分析

首先觀察第一橫行和第二橫行，發(fā)現(xiàn)第二橫行的第二、第三、第四個(gè)數(shù)都是它的第一個(gè)數(shù)3與第一橫行的第二、第三、第四個(gè)數(shù)的乘積。即3×2 = 6，3×3 = 9，3×5 = 15。又第三橫行的第四個(gè)數(shù)35正好是7×5的積。這就是圖中數(shù)字之間的規(guī)律，按照這一規(guī)律，如圖3-7所示，缺數(shù)應(yīng)填8，20，14，21。

例4 圖3-8中是一個(gè)數(shù)字金字塔，青你先根據(jù)上下數(shù)字間的聯(lián)系找出它們的規(guī)律，然后填出塔中的方框的數(shù)字。

分析

從上往下看，第一行是一個(gè)數(shù)2；第二行是兩個(gè)數(shù)2、2；第三行是三個(gè)數(shù)2、4、2；則4應(yīng)看作是第二行的2×2的積，這是因?yàn)榈谒男械?正好是第三行的2×4的積。這就是它的變化規(guī)律，如圖3-9所示。圖中畫上“ /”表示尖端所指的數(shù)字是上一行兩個(gè)數(shù)的積。

因此，方框中應(yīng)填8、16、64（見圖3-9）。

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［思路技巧］

找規(guī)律填數(shù)是一類有趣的問題，解決這類問題常常要考慮運(yùn)用觀察、試探、枚舉、歸納等研究問題的手段，尋找已知的數(shù)上下、左右及前后之間的相互聯(lián)系和規(guī)律，推導(dǎo)出未知的數(shù)。［習(xí)題精選］

１．先觀察下面每一行數(shù)的排列有什么規(guī)律，然后在（個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)：

⑴ 1，4，7，10，（），16，19； 1 2 3 4 5 2 2 3 4 5 3 3 3 4

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如需請(qǐng)下載！）里填上一

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5 5 5 5

⑵ 1，1，2，3，5，8，（），21，34；

⑶ 1，4，9，16，25，36，（），64，81；

⑷ 12，15，18，（），24，27，（），33；

⑸ 6，12，（），24，（），（），42，48；

⑹ 95，90，（），80，75，（），（），60；

⑺21，24，27，（），（）；

⑻50，48，46，（），（）。

圖3-10 ２．按照?qǐng)D3-10中數(shù)字排列規(guī)律，在空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。３．在圖3-11中，依照第一個(gè)三角形里三個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，在其他三角形的空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

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４．不用乘法，找出規(guī)律后，就可以按規(guī)律把積填上去。

1×99 = 99

2×99 = 198

3×99 = 297

4×99 = 396

5×99 = 495

6×99 =

7×99 =

8×99 =

9×99 = ５．找規(guī)律填空缺的數(shù)。0 1 3 6 10 15 ？ ？

６．如圖3-12，在金字塔圖中每一塊磚上都有一個(gè)數(shù)字，請(qǐng)你根據(jù)上下數(shù)字之間的聯(lián)系，找出它們的規(guī)律，然后填在空磚上。７．根據(jù)葉子中數(shù)字的計(jì)算規(guī)律，填出花中所空的數(shù)。

８．下面兩題中的數(shù)去掉其中的一個(gè)數(shù)，其余的都是按規(guī)律排列的，請(qǐng)你去掉這個(gè)數(shù)。

⑴ 5，10，15，17，20；

⑵ 72，70，68，66，36。９．請(qǐng)按圖3-14中的規(guī)律在空白處填上數(shù)。

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奇怪的算式 ［知識(shí)要點(diǎn)］

根據(jù)推理的方法來確定算式中的數(shù)字，分加法算式謎、減法算式謎、乘法算式謎幾種。［范例解析］

例1 填出方框里的數(shù)。

分析

9加幾個(gè)位上是3？十位上哪兩個(gè)數(shù)相加得8。

解

等。

例2 填出右邊算式方框里的數(shù)。

分析

18減幾得9？十位上2＋4 = 6，6＋1 = 7。解

例3 右面的算式中，只有五個(gè)數(shù)字已些出，補(bǔ)上其他的數(shù)字：

分析

先填哪一個(gè)呢？做這一類題目要善于發(fā)現(xiàn)問題的突破口。從百位進(jìn)位來看，和的千位數(shù)只能是1，從十位相加來看，進(jìn)位到百位，也只能進(jìn)1。因此□2□的百位是9，和的百位是0。通過上面的分析，就找到了這道題目的突破口。

再?gòu)?5－7－6 = 2，11－2－1 = 8，得出算式：

例4 在下面的加法算式中，每個(gè)漢字代表一個(gè)數(shù)字，相同的漢字代表的數(shù)字相同，求這個(gè)算式：

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分析

千位上的“邊”是進(jìn)位得來，所以“邊”= 1，其次，從個(gè)位知道，“看”＋“看”的末位數(shù)字還是“看”，所以“看”= 0，因此推出：

想想看 = 想×110

算算看 = 算×110

所以和數(shù)“邊算邊看”是11的倍數(shù)，因而“算”=2。進(jìn)而推出：想想 = 121-22 = 99。

所求的算式是990＋220 = 1210。

例5 下面的算式由0，1，......，9十個(gè)數(shù)字組成，已寫出三個(gè)數(shù)字，補(bǔ)上其他數(shù)字。

分析

這一算式有十個(gè)數(shù)字，分別是0，1，......，9這十個(gè)數(shù)字，因此這個(gè)算式中所有數(shù)字各不相同，解題時(shí)要充分利用著一點(diǎn)，為了說明的方便，用英文字母A、B、C、D、E、F來表示要填的數(shù)字，很明顯，A = 1。

解題的突破口是確定B，B可以是7或9，因?yàn)镕至少是3，所以十位相加后一定要進(jìn)位，如果B是9，C將是2，就出現(xiàn)數(shù)字的重復(fù)，因此，B只能是7，C是0。

現(xiàn)在還沒有用上的數(shù)字是9，6，5，3，其中只有6是雙數(shù)，因此，個(gè)位上D和E必定是單數(shù)，只能是D = 9，E = 3，因此也確定了F = 6，這個(gè)算式如右所示。

例6 如圖是一個(gè)動(dòng)物式子，不同的動(dòng)物代表不同的數(shù)字，請(qǐng)你想一想，算一算，這些動(dòng)物各代表哪些數(shù)字？

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圖3-15 分析

這個(gè)式子從哪里下手解答呢？根據(jù)兩個(gè)一位數(shù)相加和只能滿十的特點(diǎn)，首先，推出公雞等于“1”。然后，又根據(jù)兩熊貓相加，和仍然是熊貓，推出熊貓只能等于“0”。講熊貓等于0，代入式中，又根據(jù)公雞等于“1”推出白兔等于“5”。將白兔等于5代入式中，推出松鼠等于2。

這個(gè)算式是：

說明

奇怪的算式，實(shí)際上就是“算式之謎：”，也稱“趣味算式問題”。它是一種猜謎游戲，故有較強(qiáng)的趣味性，可以鍛煉思維能力。

既然趣味算式問題是一種猜謎游戲，“湊”就成了它的當(dāng)然方法之一，而且在某些情況下，“湊”還是一種有效的方法。例7 填出右邊算式方框里的數(shù)。

分析

因?yàn)榉e的個(gè)位數(shù)字是5，所以被乘數(shù)的個(gè)位數(shù)字只能是5；又積是千位數(shù)，且最高位是數(shù)字1，所以被乘數(shù)百位上的數(shù)字只能是2。解

［思路技巧］

解算式謎這類題，要認(rèn)真觀察算式，抓住問題的突破口。［習(xí)題精選］

１．在方框里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列各式成立。

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２．在圓圈和方框里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立（圓圈和方框分別代表兩個(gè)不同的數(shù)）。

３．算一算，下列圖形各表示什么數(shù)。

⑴ □＋△ = 26

△ =（）

△－5 = 3

□=（）

⑵

⑶ ○－□ = 4

○ = 3

○＋□ = 14

□ =（）

⑷

４．在方框里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

５．下面三個(gè)算式的被除數(shù)相同，你能填出來嗎？

□÷7 = □......1

□÷6 = □......5

□÷5 = □......4 ６．寫算式（能寫幾道就寫幾道）。

□÷□ = 2

□÷□ = 5

□÷□ = 7

□÷□ = 9 ７．在下面算式的圓圈里填上合適的運(yùn)算符號(hào)，方框里填上合適的數(shù)。你能寫出幾種填法？（每次填的運(yùn)算符號(hào)不要完全相同）

8○□○□ = 21。８．?dāng)?shù)字還原。

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下面的豎式，是用△、○、□、★、◎這樣的圖形表示0至9中的數(shù)字。想一想，這五個(gè)圖形各代表幾呢？ ⑴

⑵

⑶ ◎＋◎ = ◎×◎

◎ =（）９．在下面豎式中的方格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

10．請(qǐng)將下面豎式里的字換成數(shù)字，使豎式成立。

11．巧填豎式。

12．題中每一個(gè)字母或字都代表一個(gè)數(shù)，請(qǐng)想一想它們各代表什么數(shù)字，算式才能成立？

調(diào)整法趣談

［知識(shí)要點(diǎn)］

１．調(diào)整法的意義。

我們看下面的點(diǎn)子圖：

●●●●●

●●

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圖3-16 它一共有二組，一組有5個(gè)點(diǎn)子，另一組有兩個(gè)點(diǎn)子，圖中一共有多少個(gè)點(diǎn)子？

算式：5＋2 = 7（個(gè)）?，F(xiàn)在問：怎樣改變點(diǎn)子圖，來表示算式2＋5呢？我們可用交換點(diǎn)子位置或移動(dòng)點(diǎn)子位置來改變。如圖所示：

這種通過交換點(diǎn)子位置或移動(dòng)點(diǎn)子位置的操作過程，我們較做調(diào)整法。

２．調(diào)整法的用途，我們通過舉例來說明。［范例解析］

例1 右面正方形方格中的數(shù)字，怎樣移動(dòng)才能使橫行和豎行三個(gè)數(shù)相加的和相等？

分析

我們可從圖中觀察到：豎行三數(shù)的和都是6，它們相等，打上“√”號(hào)，而橫行三數(shù)的和都不相等，因此，要調(diào)整位置的是橫行的數(shù)字。我們只要按照下面圖3-19箭頭所示進(jìn)行交換調(diào)整，問題就得到解決。

說明

凡是符合條件的橫行或豎行打上“√”，可使問題一目了然，方便調(diào)整。

例2 圖中有“＋”、“－”、“×”、“÷”四種運(yùn)算符號(hào)。移動(dòng)這些符號(hào)，使每行每列的四種符號(hào)不相同。

分析

通過觀察，發(fā)現(xiàn)3-20中只有從左數(shù)第二列符號(hào)與題目要求不

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同，因此我們先考慮列的情況，第一列多“＋”號(hào)，缺“÷”號(hào)，而第三列多“÷”號(hào)缺“＋”，如下圖交換后，把符合條件的行與列打上“√”。

經(jīng)過

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第四篇：淺析如何培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)教學(xué)中的解題能力

淺析如何培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)教學(xué)中的解題能力

摘要：教學(xué)關(guān)鍵是教會(huì)學(xué)生用所學(xué)的知識(shí)解決實(shí)際問題,即要提高學(xué)生的解題能力。文章從培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)形”整合、“方程”思維、“對(duì)應(yīng)”思維、“轉(zhuǎn)化”能力、增強(qiáng)自信等五個(gè)方面談如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

關(guān)鍵詞：培養(yǎng)學(xué)生；數(shù)學(xué)教學(xué)；解題能力；轉(zhuǎn)化能力

Abstract: The teaching key is the knowledge solution actual problem which the church student uses to study, namely must sharpen student’s problem solving ability.The article from trains the student “the number shape” the conformity, “the equation” the thought that “the correspondence” the thought that “the transformation” ability, the enhancement self-confidently and so on five aspects to discuss how to raise student’s mathematics problem solving ability.key word: Trains the student;Mathematics teaching;Problem solving ability;Transformed ability 前 言

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目的，歸根結(jié)底在于培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，提高數(shù)學(xué)解題能力是數(shù)學(xué)教學(xué)中一項(xiàng)十分重要的任務(wù)。提高學(xué)生解題能力始終貫穿于教學(xué)始終，我們必須把它放在十分重要的位置。那么，如何才能提高學(xué)生的解題能力，具體方法上講主要可以從以下幾方面入

手：

一、培養(yǎng)“數(shù)形”結(jié)合的能力

“數(shù)”與“形”無處不在。任何事物，剝?nèi)ニ馁|(zhì)的方面，只剩下形狀和大小兩個(gè)屬性，就交給了教學(xué)去研究了。初中數(shù)學(xué)兩個(gè)分支——代數(shù)和幾何，代數(shù)是研究“數(shù)”的，幾何是研究“形”的。但是研究代數(shù)要借助“形”，研究幾何要借助“數(shù)”，“數(shù)形整合”是一種趨勢(shì)，越學(xué)下去，“數(shù)”與“形”越密不可分。到了高中就出現(xiàn)了專門用代數(shù)方法研究幾何問題的一門課，叫做“解析幾何”。在初二建立平面直角坐標(biāo)系后，研究函數(shù)的問題就離不開圖像了。往往借助圖像能使問題明朗化，比較容易找到問題的關(guān)鍵所在，從而解決問題。在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要重視“數(shù)形結(jié)合”的思維訓(xùn)練，任何一道題，只要與“形”沾上了一點(diǎn)邊，就應(yīng)該根據(jù)題意畫出草圖來分析一番。這樣做，不但直觀，而且全面，整體性強(qiáng)，容易找出切入點(diǎn)，對(duì)解題大有益處。嘗到甜頭的人就會(huì)慢慢養(yǎng)成一種“數(shù)形結(jié)合”的好習(xí)慣。

二、培養(yǎng)“方程”的思維能力

數(shù)學(xué)是研究事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系的，最重要的數(shù)量關(guān)系是等量關(guān)系，其次是不等量關(guān)系。最常見的等量關(guān)系就是“方程”。比如等速運(yùn)動(dòng)中，路程、速度和時(shí)間三者之間就有一種等量關(guān)系，可以建立一個(gè)相關(guān)的等式：速度ⅹ時(shí)間＝路程，在這樣的等式中，一般會(huì)有已知量，也有未知量，像這樣含有未知量的等式就是“方程”，而通過方程里的已知量求出未知量的過程就是解方程。我們?cè)谛W(xué)就已經(jīng)接觸過簡(jiǎn)易方程，而初一則比較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)解一元一次方程，并總結(jié)出解一元一次方程的五個(gè)步驟。如果學(xué)會(huì)并掌握了這五個(gè)步驟，任何一元一次方程都能順利地解出來。初

二、初三我們還將學(xué)習(xí)解一元二次方程、二元二次方程組、分式方程，到了高中我們還將學(xué)習(xí)指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、線性方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程等。解這些方程的思維幾乎一致，都是通過一定的方法將它們轉(zhuǎn)化一元一次方程或是一元二次方程的形式，然后用大家熟悉的解一元一次方程的五個(gè)步驟或者解一元二次方程的求根公式加以解決。物理中的能量守恒，化學(xué)中的化學(xué)平衡式，現(xiàn)實(shí)中的大量實(shí)際運(yùn)用，都需要建立方程，通過解方程來求出結(jié)果。因此同學(xué)們一定要將解一元一次方程和解一元二次方程學(xué)好，進(jìn)而學(xué)好其它形式的方程。所謂的“議程”思維就是對(duì)于數(shù)學(xué)問題，特別是現(xiàn)實(shí)當(dāng)中碰到的未知量和已知量的錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，善于用“方程”的觀點(diǎn)去構(gòu)建有關(guān)的方程，進(jìn)而用解方

程的方法去解決它。

三、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)“轉(zhuǎn)化”思維能力

解數(shù)學(xué)題最根本的途徑是“化難為易，化繁為簡(jiǎn)，化未知為已知”，也就是把復(fù)雜繁難的數(shù)學(xué)問題通過一定的數(shù)學(xué)思維、方法和手段，逐漸將它轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)大家熟知的簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)形式，然后通過大家所熟悉的數(shù)學(xué)運(yùn)算把它解決。比如，我們學(xué)校要擴(kuò)大校園面積，需要向鎮(zhèn)上征地。鎮(zhèn)上給了一塊形狀不規(guī)則的地，如何丈量的它的面積呢？首先使用小平板儀（有條件的話，可使用水準(zhǔn)儀或經(jīng)緯儀）依據(jù)一定的比例，將實(shí)際地形繪制成紙上圖形，然后將紙上圖形分割成若干塊梯形、長(zhǎng)方形、三角形，利用學(xué)過的面積計(jì)算方法，計(jì)算出這些圖形的面積之和，也就得到了這塊不規(guī)則地形的總面積。在這里，我們把無法計(jì)算的不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成了可以計(jì)算的規(guī)則圖形，從而解決了土地丈量問題。另外,我們前面提到的各種多元方程、高次方程，利用“消元”、“降次”等方法，最終都可以把它們轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程，然后用已知的步驟或公式把它們解決?！稗D(zhuǎn)化”的思想，是解題最重要的思維習(xí)慣。面對(duì)難題，面對(duì)沒有見過的題，首先就要想到轉(zhuǎn)化，也總是能夠轉(zhuǎn)化的。平時(shí)，要多留心老師是怎樣解題的，是怎樣“化難為易，化繁為簡(jiǎn)，化未知為已知”的。同學(xué)之間也應(yīng)多交流交流成功轉(zhuǎn)化的體會(huì)，深入理解轉(zhuǎn)化的真正含義，切實(shí)掌握轉(zhuǎn)化的思維和技巧。

四、培養(yǎng)“對(duì)應(yīng)”的思維能力

“對(duì)應(yīng)”的思想由來已久，比如我們將一支鉛筆、一本書、一棟房子對(duì)應(yīng)一個(gè)抽象的數(shù)“１”，將兩只眼睛、一對(duì)耳環(huán)、雙胞胎對(duì)應(yīng)一個(gè)抽象的數(shù)“２”。隨著學(xué)習(xí)的深入，我們將對(duì)應(yīng)擴(kuò)展到對(duì)應(yīng)一種關(guān)系、對(duì)應(yīng)一種形式等等。比如我們?cè)谟?jì)算或化簡(jiǎn)中，將對(duì)應(yīng)公式的左邊Ｘ，對(duì)應(yīng)Ａ；Ｙ對(duì)應(yīng)B；再利用公式的右邊直接得出原式的結(jié)果。這就是運(yùn)用“對(duì)應(yīng)”的思想和方法來解題。初二初三我們將看到數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)，直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)與一對(duì)有序?qū)崝?shù)之間的一一對(duì)應(yīng)，函數(shù)與其圖象之間的對(duì)應(yīng)。“對(duì)應(yīng)”思想在今后的學(xué)習(xí)中

將會(huì)發(fā)生越來越大的作用。

五、增強(qiáng)自信是解題的關(guān)鍵

自信才能自強(qiáng)，在考試中，總是看到有些同學(xué)的試卷出現(xiàn)許多空白，有好多題根本沒有動(dòng)手去做。俗話說，藝高膽大，（轉(zhuǎn)上頁）（接下頁）藝不高就膽不大。但是做不出是一回事，沒有去做又是另一回事。稍微難一點(diǎn)的數(shù)學(xué)題都不是一眼就能看出它的解法和結(jié)果的。要去分析、探索、比比畫畫、寫寫算算，經(jīng)過迂回曲折的推理或演算，才能顯現(xiàn)出條件和結(jié)論之間的某種聯(lián)系，整個(gè)思路才會(huì)明朗清晰起來。沒有動(dòng)手去做，又怎么知道自己不會(huì)做呢？即使是老師，拿到一道難題，也不能立即答復(fù)你。也

同樣要去分析研究，找到正確的思路后才能講授。不敢去做(論文網(wǎng) 004km.cn)稍微復(fù)雜一點(diǎn)的題（不一定是難題，有些題只不過是敘述多一點(diǎn)），是缺乏自信心的表現(xiàn)。在數(shù)學(xué)解題中，自信心是相當(dāng)重要的。要相信自己，只要不超出自己的知識(shí)范疇，不管哪道題，總是能用自己所學(xué)過的知識(shí)把它解出來。要敢于去做題，要善于去做題。這就叫做在“在戰(zhàn)略上藐視敵人，在戰(zhàn)術(shù)上重視敵人”。具體解題時(shí)，一定要認(rèn)真審題，緊緊抓住題目的所有條件不放，不要忽略了任何一個(gè)條件。一道題和一類題之間有一定的共性，可以想想這一類題的一般思路和一般解法，但更重要的是抓住這一道題的特殊性。抓住這一道題與這一類題不同的地方，數(shù)學(xué)題幾乎沒有相同的，總有一個(gè)或幾個(gè)條件不相同，因此思路和解題過程也不盡相同。有些同學(xué)老師講過的題會(huì)做，其他題就不會(huì)做，只會(huì)依樣畫瓢，題目有些小的變化就無從下手。當(dāng)然做題先從哪兒下手是一件棘手的事，不一定找得準(zhǔn)。但是，做題一定要抓住其特殊性則絕對(duì)沒錯(cuò)。選擇一個(gè)或幾個(gè)條件作為解題的突破口，看由這個(gè)條件能得出什么，得出的越多越好，然后從中選擇其它條件有關(guān)的，進(jìn)行推算或演算。一般難題都有多種解法，條條大道通羅馬。要相信利用這道題的條件，加上自己學(xué)過的那些知識(shí)，一定能推出正確的結(jié)論。數(shù)學(xué)題目是無限的，但數(shù)學(xué)的思想和方法卻是有限的。我們只要學(xué)好了有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，掌握了必要的數(shù)學(xué)思想和方法，就能順利地對(duì)付那無限的題目。題目并不是做得越多越好，題海無邊，總也做不完。關(guān)鍵在于你有沒有培養(yǎng)起良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，有沒有掌握正確的數(shù)學(xué)解題方法。當(dāng)然，題目做得多也有若干好處：一是熟能生巧，加快速度，節(jié)省時(shí)間，這一點(diǎn)在考試中時(shí)間有限制時(shí)顯得尤為重要；二是利用做題來鞏固、記憶所學(xué)的定義、定理、法則、公式，形成良性循環(huán)。解題需要豐富的知識(shí)，更需要自信心。沒有自信心就會(huì)畏難，就會(huì)放棄。只有自信才能勇往直前，才不會(huì)輕言放棄，才會(huì)加倍努力地學(xué)習(xí)，才有希望攻克難關(guān)，迎來屬于自己的春天。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，一方面要傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，使學(xué)生具備數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的素養(yǎng)；另一方面，要通過數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授，發(fā)展智力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力。錢學(xué)森教授曾指出：“教育工作的最終機(jī)智在于人腦的思維過程。”思維活動(dòng)的研究，是教學(xué)研究的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)教學(xué)與思維的關(guān)系十分密切，數(shù)學(xué)思維的發(fā)展規(guī)律，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)具有根本性的指導(dǎo)意義，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是一個(gè)廣泛而值得探討的課題。

一、精心設(shè)計(jì)課題引入，吸引學(xué)生的注意力，活躍學(xué)生的思維。

蘇霍姆林斯基說過：“所有智力方面的工作都要依賴于興趣?！睈垡蛩固挂苍f過 ：“興趣是最好的老師”。俗話說 ：“萬事開頭難”，良好的開頭是成功的一半，精彩的引入能在課堂教學(xué)的開始便深深地吸引住學(xué)生的注意力。因此幾分鐘的引入切不可輕視，它關(guān)系到四十五分種課堂教學(xué)的直接效果。那么引入要怎樣做才能做到引人入勝呢？ 這是沒有定論的，它 要根據(jù)教材內(nèi)容、學(xué)生因素等具體情況而定。

比如，在學(xué)習(xí)§2.11有理數(shù)的平方時(shí)，故事引入：從前，有一個(gè)國(guó)王為了獎(jiǎng)勵(lì)發(fā)明國(guó)際象棋游戲的人，承諾要滿足這個(gè)人的一個(gè)要求。這個(gè)人提出，只要在這個(gè)國(guó)際象棋棋盤里的64個(gè)格子中，依次放上2顆、4顆、8顆、16顆，?，后一個(gè)格子里的數(shù)量是前一格子的數(shù)量的2倍的糧食就可以了。國(guó)王高興的答應(yīng)了。但隨后令國(guó)王驚訝的是，國(guó)王并沒有辦法滿足這個(gè)人的要求。你知道這是為什么嗎？（一下子就把學(xué)生的注意了力吸引過來了。）讓我們一起來探索其中的奧妙吧?。ㄈ绾斡檬阶影衙恳桓竦臄?shù)量表達(dá)出來呢？）

第一格：2 第四格：2×2×2×2=16

第一格：2×2=4 第五格：2×2×2×2×2=

32第三格：2×2×2=8 ??

我們發(fā)現(xiàn)第2格也能象上面一樣列出數(shù)學(xué)式子進(jìn)行計(jì)算，但顯然用這樣的式子在表達(dá)上很不方便的，那我們能否找到簡(jiǎn)便的表達(dá)方式呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的有理數(shù)的乘方。

小學(xué)時(shí)，我們學(xué)過：a×a記作 a，讀作a的平方（或a的2次方）；a×a×a記作 a，讀作a的立方（或a的3次方）；那么a×a×a×a可以記作什么？a×a×a×a×a呢？a×a×a×a?×a有n個(gè)a呢？象這樣n個(gè)a相乘，記作a，既簡(jiǎn)單又明確。這樣就很自然地把求幾個(gè)相同因數(shù)的乘積的運(yùn)算介紹給了學(xué)生。學(xué)生都能在不知不覺中參與教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)到了新的知識(shí)，活躍了思維。

二、.在賞識(shí)教學(xué)中充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，活躍學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

在教學(xué)活動(dòng)中，最被動(dòng)的莫過于后進(jìn)生了。素質(zhì)教育要求面向全體學(xué)生，放棄后進(jìn)生就不能做到，使人人都能學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)。根據(jù)后進(jìn)生基礎(chǔ)差、學(xué)習(xí)習(xí)慣不良容易情緒低落，甚至 自暴自棄的特點(diǎn)，本人認(rèn)為，應(yīng)從賞識(shí)入手，多給后進(jìn)生一些鼓勵(lì)和指導(dǎo)幫助。承認(rèn)學(xué)生之間的差異性，降低對(duì)后進(jìn)生在學(xué)習(xí)上難度的要求，積極發(fā)現(xiàn)后進(jìn)生在課堂中的閃光點(diǎn)，及時(shí)調(diào)動(dòng)他們的積極性。

例如§4.1生活中的立體圖形的教學(xué)中，安排這樣一道題：你能用6根火柴組成4個(gè)一樣大的三角形嗎？若能，請(qǐng)說明你的圖形。其中，有一個(gè)后進(jìn)生說：“能”，雖然聲音不大，卻能被老師聽到，及時(shí)給他一個(gè)機(jī)會(huì)。這個(gè)同學(xué)說：“圖形是棱錐，是三棱錐?！币?yàn)橹袄蠋熡蟹治鲞^三棱錐有6條棱，在這一題目中，6根火柴就是6條棱，所以要回答本題并不難。由于該生的特殊性，老師鼓勵(lì)他說：“你看，你有很好的空間想象能力，在今后的學(xué)習(xí)中，只要你能像現(xiàn)在一樣，你一定會(huì)有很大的進(jìn)步的?！边@個(gè)同學(xué)的積極性馬上就有了，其他同學(xué)也是深受鼓舞。

當(dāng)然，不僅僅后進(jìn)生需要老師、同學(xué)的賞識(shí)，在學(xué)習(xí)生活中，每一個(gè)同學(xué)都渴望能得到理解和肯定，都希望能得到老師和同學(xué)的贊賞。我們知道，不是聰明的學(xué)生被夸獎(jiǎng)，而是被夸獎(jiǎng)的學(xué)生會(huì)變得更聰明。課堂中，賞識(shí)的目光象陽光，照到哪里哪里亮，有賞識(shí)就有成功，有賞識(shí)，學(xué)生都愿意動(dòng)起來。

三、一題多解，合作討論，發(fā)展學(xué)生思維的廣闊性。

大課堂教學(xué)有利于以教師為中心的講解，但不利于以學(xué)生為中心的自主學(xué)習(xí)。要想讓學(xué)生在課堂上真正的動(dòng)起來，就必須積極探索班級(jí)、小組、學(xué)生個(gè)人相結(jié)合的組織形式，加強(qiáng)小組研討的學(xué)習(xí)方式，為學(xué)生提供充分的自主活動(dòng)的空間和廣泛交流思想的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立探索、用心思考、真誠(chéng)交流，全身心地投入到學(xué)習(xí)中。

例如：平行線的識(shí)別與特征的復(fù)習(xí)中，有這樣一道題：已知：直線AB∥ CD，直線L分別截 直線AB、CD于點(diǎn)E、點(diǎn)F兩點(diǎn)。并且 ∠1=130°，求：∠2的度數(shù)。

問題分析：（1）所求角∠2與已知角∠1之間有什么聯(lián)系？

（2）已知直線AB∥CD，能幫我們帶來哪些結(jié)論？

（3）怎樣把求∠2 的過程用幾何語言表達(dá)出來？

學(xué)生分組討論、合作學(xué)習(xí)，盡可能地從多種角度求出。以提高學(xué)生幾何題的分析和推理表達(dá)能力。

解法1：通過∠2 的內(nèi)錯(cuò)角與∠1聯(lián)系起來；解法2：通過∠2 的同位角與∠1聯(lián)系起來；解法3：通過∠2的同旁內(nèi)角與∠1聯(lián)系起來。這樣，通過一道題的多種解法，既復(fù)習(xí)了平行線的特征的應(yīng)用，又使得學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中，合作討論中自主地完成對(duì)知識(shí)的構(gòu)建；學(xué)生不僅對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解深刻，而且“創(chuàng)造”著解題過程的方法，體驗(yàn)著獲取、鞏固知識(shí)的喜悅。同時(shí)在和諧誠(chéng)懇的交流中，充分展現(xiàn)出學(xué)生的個(gè)性和才能，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中真正地動(dòng)起來。

四、增加動(dòng)手操作，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的直觀性。

在傳統(tǒng)的教學(xué)形態(tài)里，教師是權(quán)威的代言人，將各種經(jīng)驗(yàn)、概念、法則與理論強(qiáng)制地灌輸給學(xué)生，學(xué)生完全處于一種被動(dòng)接受的狀態(tài)，于是學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情被壓抑了，主動(dòng)性減弱了，很大程度上阻礙了學(xué)生個(gè)性的發(fā)展培養(yǎng)。在初中的數(shù)學(xué)教學(xué)中，要注意挖掘新教材的優(yōu)勢(shì)，增加學(xué)生動(dòng)手操作，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)由被動(dòng)向主動(dòng)轉(zhuǎn)變。

例如：§4.3立體圖形的展開圖中，對(duì)正方體展開圖的探索。

1、課前準(zhǔn)備：每個(gè)學(xué)生都有6個(gè)一樣的正方形硬紙板、剪刀、透明膠布。

2、授課方式：分組合作學(xué)習(xí)。

3、探索步驟：（1）將6片硬紙板圍成正方形，（2）將正方體剪開，與同學(xué)對(duì)比，得到正方體的平面展開圖是否唯一？（3）討論正方體的平面是展開圖有哪些可能情況？

（4）討論由6塊一樣的正方形拼成的圖形一定是正方體的展開圖嗎？哪些情形不是？

發(fā)現(xiàn)：通過讓學(xué)生動(dòng)手操作、合作學(xué)習(xí)，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性高漲。雖然現(xiàn)在初一年的學(xué)生并不能自主地歸納出正方體展開圖的所有可能，但體會(huì)其中的幾種情況也讓他們得到莫大的滿足，尤其是對(duì)含田字結(jié)構(gòu)形、含凹字結(jié)構(gòu)形、四連兩同側(cè)形、五連形、或六連結(jié)構(gòu)形的不能圍成正方體可是深有體會(huì)。雖然學(xué)生在理論上的理解還不深刻，但能讓老師感到他們都在愉快的學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)思維得到了鍛煉。新課程教學(xué)中，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的合作者、引導(dǎo)者和參與者。教師的職責(zé)已由知識(shí)的傳授轉(zhuǎn)向促進(jìn)學(xué)生發(fā)展，要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)如何學(xué)習(xí)、培養(yǎng)終身學(xué)習(xí)的能力，而在數(shù)學(xué)課中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力則是教學(xué)的根本目的，這需要教師充分利用教材內(nèi)容，通過數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，努力培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

論文錄入：游客 責(zé)任編輯：楊建永

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略論在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何防止兩級(jí)分化

【論文 初中；數(shù)學(xué)教學(xué)；兩級(jí)分化；轉(zhuǎn)化策略

【論文摘要 數(shù)學(xué)學(xué)科的特征更加明顯地體現(xiàn)出兩級(jí)分化的嚴(yán)重性和可怕性，這種狀況直接影響著數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高。正確分析這種現(xiàn)象產(chǎn)生的原因，采取有效辦法改變和杜絕這種現(xiàn)象，對(duì)提高數(shù)學(xué)教學(xué)成績(jī)，促進(jìn)教育健康發(fā)展有著及其重要的意義。初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)兩級(jí)分化的原因

1.1 缺乏學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的喜好和學(xué)習(xí)意志薄弱。對(duì)于初中學(xué)生來說，學(xué)習(xí)的積極性主要取決于學(xué)習(xí)喜好和克服學(xué)習(xí)困難的毅力。學(xué)習(xí)喜好的淡薄甚至缺乏是造成他們成績(jī)差的重要原因。初中數(shù)學(xué)相對(duì)小學(xué)而言，難度加深，教學(xué)方式變化較大，教師輔導(dǎo)減少，學(xué)生學(xué)習(xí)的獨(dú)立性增強(qiáng)。在中小學(xué)銜接過程中，學(xué)生適應(yīng)性及學(xué)習(xí)意志的強(qiáng)弱直接關(guān)系到分化的嚴(yán)重性和否。

1.2 沒有形成較好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。相比而言，初中數(shù)學(xué)教材結(jié)構(gòu)的邏輯性、系統(tǒng)性更強(qiáng)。首先表現(xiàn)在教材知識(shí)的銜接上，其次還表現(xiàn)在把握數(shù)學(xué)知識(shí)的技能技巧上。因此，假如學(xué)生對(duì)前面所學(xué)的內(nèi)容達(dá)不到規(guī)定的要求，不能及時(shí)把握知識(shí)，形成技能，就造成了連續(xù)學(xué)習(xí)過程中的薄弱環(huán)節(jié)，跟不上集體學(xué)習(xí)的進(jìn)程，導(dǎo)致學(xué)習(xí)分化。

1.3 思維方式不適應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求。八年級(jí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)分化最明顯的階段。一個(gè)重要原因是初中階段數(shù)學(xué)課程對(duì)學(xué)生抽象邏輯思維能力要求有了明顯提高。八年級(jí)學(xué)生正處于由直觀形象思維為主向以抽象邏輯思維為主過渡的又一個(gè)關(guān)鍵期，沒有形成比較成熟的抽象邏輯思維方式，而且學(xué)生個(gè)體差異也比較大，因此表現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)接受能力的差異。

1.4 雙基不扎實(shí)?；靖拍?、定理模糊不清，不能用數(shù)學(xué)語言再現(xiàn)概念、公式、定理；不看課本，不能說明概念的體系，概念和概念之間聯(lián)系不起來。

1.5 學(xué)習(xí)態(tài)度不端正學(xué)習(xí)方法不科學(xué)。學(xué)生自學(xué)能力差，課堂缺少解題的積極性，教師布置的練習(xí)、作業(yè)，不復(fù)習(xí)不練習(xí)，抄襲應(yīng)付了事，缺乏學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，不重視綜合練習(xí)，缺乏競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)。后進(jìn)生轉(zhuǎn)化的策略

2.1 培養(yǎng)后進(jìn)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的喜好，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)積極性摘要：①數(shù)學(xué)是一門具有科學(xué)性、嚴(yán)密性、抽象性的學(xué)科。它的抽象性，是形成后進(jìn)生的主要原因。教學(xué)時(shí)，應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)的直觀性教學(xué)以吸引后進(jìn)生的注重力。②應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)語言的藝術(shù)應(yīng)用，讓教學(xué)生動(dòng)、有趣。課堂教學(xué)中教師更要非凡注重觀察后進(jìn)生的學(xué)習(xí)情緒，恰當(dāng)運(yùn)用藝術(shù)性的教學(xué)語言來活躍課堂氣氛，引導(dǎo)每位學(xué)生進(jìn)入積極思維狀態(tài)，從而達(dá)到教學(xué)目的。③注重情感教育。

2.2 培養(yǎng)學(xué)生自覺學(xué)習(xí)的良好習(xí)慣摘要：①教師在布置作業(yè)時(shí)，要注重難易程度，要注重加強(qiáng)對(duì)后進(jìn)生的輔導(dǎo)、轉(zhuǎn)化，督促他們認(rèn)真完成布置的作業(yè)。②大部分后進(jìn)生學(xué)習(xí)被動(dòng)，依靠性強(qiáng)。教師在解答新問題時(shí)，要注重啟發(fā)，逐步培養(yǎng)他們獨(dú)立完成作業(yè)的習(xí)慣。③應(yīng)該用辯證的觀點(diǎn)教育，對(duì)后進(jìn)生要“愛”字當(dāng)頭，“嚴(yán)”字貫其中，督促他們認(rèn)真學(xué)習(xí)。

2.3 認(rèn)真把好考試關(guān)，注重培養(yǎng)后進(jìn)生的自信心和自尊心。要有意識(shí)地出一些較易的題目，讓他們心得成功和被贊賞的快樂，從而培養(yǎng)他們的自信心和自尊心。

2.4 教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)。教師要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀念，并在教學(xué)過程中加強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo)和學(xué)習(xí)心理輔導(dǎo)。

2.5 在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中加強(qiáng)抽象邏輯思維的練習(xí)和培養(yǎng)。針對(duì)后進(jìn)生抽象邏輯思維能力不適應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新問題，從七年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)開始就加強(qiáng)抽象邏輯能力練習(xí)，始終把教學(xué)過程設(shè)計(jì)成學(xué)生在教師指導(dǎo)下主動(dòng)探求知識(shí)的過程。

2.6 建立和諧的師生關(guān)系。心理學(xué)認(rèn)為，人的情感和熟悉過程是相聯(lián)系的，任何熟悉過程都伴隨著情感。初中生對(duì)某一學(xué)科的學(xué)習(xí)喜好和學(xué)習(xí)情感密不可分。和諧的師生關(guān)系是保證和促進(jìn)學(xué)習(xí)的重要因素

2.7 尊重和理解后進(jìn)生。要相信后進(jìn)生是可以向好的方向轉(zhuǎn)化的。他們通過努力而取得的成績(jī)，希望得到同學(xué)的承認(rèn)、老師的理解。教師要針對(duì)學(xué)生不同的特征進(jìn)行不同方式教育。對(duì)后進(jìn)生工作要有耐心和信心。平時(shí)教學(xué)始終貫徹“抓兩頭帶中間”的原則

3.1 注重對(duì)尖子的培養(yǎng)。在解題過程中，要求他們盡量走捷徑、有創(chuàng)意，注重嚴(yán)密的邏輯推理，力求解題過程的完整和完美。另外，開展課外提高小組，培養(yǎng)解題技巧，提高解題能力，切實(shí)發(fā)揮他們的尖子生優(yōu)勢(shì)，讓他們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)以及中考中占有決對(duì)的尖子優(yōu)勢(shì)，這和中考成績(jī)優(yōu)分率提高，關(guān)系重大。

3.2 注重中等學(xué)生成績(jī)的大幅度提高。這部分學(xué)生占據(jù)了學(xué)生中的大多數(shù)，他們考試成績(jī)的好壞直接關(guān)系到考試均分的高低，抓好對(duì)他們的教和輔，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中成績(jī)提高的重要一環(huán)。他們對(duì)知識(shí)把握不太牢固，解題時(shí)常丟三拉四，因此，解題時(shí)的嚴(yán)密和細(xì)心成為他們考取高分的關(guān)鍵。一定要練習(xí)他們?cè)谀艿梅痔幎嗟梅?，不能得分處想法得一分。?yōu)化課堂教學(xué)，提高課堂教學(xué)質(zhì)量

4.1 教學(xué)方法和手段要靈活。盡量采用啟發(fā)法、點(diǎn)撥法、討論法、圖表法，比較法等多種教學(xué)方法和手段。

4.2 要注重學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，練習(xí)學(xué)生的創(chuàng)新思維。在平時(shí)教學(xué)中多給學(xué)生教授解題的數(shù)學(xué)思想和方法，重視他們能力的培養(yǎng)，加強(qiáng)“聯(lián)想、想象、轉(zhuǎn)化”思維練習(xí)。促使學(xué)生一開始就進(jìn)入創(chuàng)新思維狀態(tài)中，以探索者的身份去發(fā)現(xiàn)新問題、總結(jié)規(guī)律。數(shù)學(xué)思想、方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的“一般原理”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的。對(duì)于中學(xué)生“不管他們將來從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、探究方法，卻隨時(shí)隨地發(fā)生功能，使他們受益終生”。

4.3 要做到“精”。要做到精選、精講、精析、精練，不搞題海戰(zhàn)術(shù)。但不練習(xí)、不強(qiáng)化也不行，這就要認(rèn)真?zhèn)浣滩?、教法、學(xué)法，使之有的放矢，事半功倍，這就要從“精”字作文章。

4.4 重視學(xué)生的合作學(xué)習(xí)，提供足夠的小組學(xué)習(xí)時(shí)間。小組討論給每一位學(xué)生提供了一個(gè)表現(xiàn)自己的機(jī)會(huì)，同學(xué)們?cè)谟懻摻涣髦兄鲃?dòng)參和，集思廣益，促進(jìn)了學(xué)生間學(xué)習(xí)風(fēng)格的相互影響和相互補(bǔ)充，培養(yǎng)了學(xué)生的合作精神，對(duì)于后進(jìn)生來說，也會(huì)積極參和的。

4.5 重視對(duì)學(xué)生的學(xué)法指導(dǎo)。新型的探究學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)形式有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)的能力。但個(gè)別學(xué)生表現(xiàn)出來的是不適應(yīng)這種學(xué)習(xí)形式，例如在解一元二次方程教學(xué)中，就有學(xué)生表示，老師只要告訴我們?cè)趺醋鼍秃昧?，問這么多新問題，難為學(xué)生干什么。如何讓學(xué)生從“學(xué)會(huì)”向“會(huì)學(xué)”轉(zhuǎn)變，是教師在課堂上要注重探究的重點(diǎn)。要在教學(xué)中促動(dòng)學(xué)生學(xué)會(huì)動(dòng)腦，學(xué)習(xí)獨(dú)立思索，并且及時(shí)反饋，幫助學(xué)生調(diào)整、修正學(xué)習(xí)方法，促進(jìn)學(xué)生不斷體驗(yàn)成功的喜悅，實(shí)現(xiàn)“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”。

第五篇：在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力

【摘 要】新課改的核心環(huán)節(jié)是引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)?！敖忸}教學(xué)”恰恰契合這一教育理論的最佳實(shí)踐。“解題教學(xué)”并非就是單純的解題過程，它是教師引導(dǎo)學(xué)生通過閱讀題目，經(jīng)過認(rèn)真、仔細(xì)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶忣}后，在充分獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生作為課堂教學(xué)的主體，走上講臺(tái)，分析題目條件，講述解題思路，完成解題過程，也是促進(jìn)學(xué)生知識(shí)水平和思維能力的全過程。教師則適當(dāng)進(jìn)行引導(dǎo)、點(diǎn)撥、變式與拓展，引導(dǎo)學(xué)生反思、總結(jié)與歸納的全過程。這樣的教學(xué)方式，通過師生之間、生生之間的探究、合作、交流，通過師生之間角色的轉(zhuǎn)變，充分為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)自主、平等、合作、探究、論證以及交流的探究性平臺(tái)。在交流中思維的火花產(chǎn)生激烈的碰撞，大大調(diào)動(dòng)學(xué)生探究的積極性，從而教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)探究、學(xué)會(huì)解題的思想方法、真正成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)解題教學(xué)；審題和“三思”；自主學(xué)習(xí)；策略和方法

本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談幾點(diǎn)數(shù)學(xué)解題中如何培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的思考方法，以供參考。

一、培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真審題的習(xí)慣

審題是發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，得到解法的前提，認(rèn)真審題可以為探索解法指明方向。審題需要弄清題意，題目是由條件和結(jié)論構(gòu)成的，教師就要教會(huì)學(xué)生審清題目的已知事項(xiàng)，解題的目標(biāo)，審清題目的結(jié)構(gòu)特征和判明題型。例如，審清題目條件的具體要求是：羅列出已知條件中的明顯條件，同時(shí)挖掘出相關(guān)的隱含條件，把條件圖表化，弄清已知條件的等價(jià)說法，把條件進(jìn)行解題需要的轉(zhuǎn)換。又例如，審清題目結(jié)論的具體要求是：羅列解題目標(biāo)，分析多目標(biāo)之間的層次關(guān)系，弄清解題目的等價(jià)說法，把解題目標(biāo)圖表化。

為了使學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真審題的習(xí)慣，教師首先應(yīng)強(qiáng)調(diào)審題的重要性，其次要作出審題的示范，還要在學(xué)生的作業(yè)中捕捉因不認(rèn)真審題而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤的典型事例，進(jìn)行講解，吸取教訓(xùn)。

二、教會(huì)學(xué)生探索解題方法

審題以后，引導(dǎo)學(xué)生探索解題方法的過程，可以概括為“解題三想”。

（1）回想。根據(jù)題目中涉及的主要概念，回想它的定義是怎樣的？根據(jù)題目的條件、結(jié)論及其結(jié)構(gòu)，回想與它們有關(guān)的公式、定理、法則是什么？回想一下在你的知識(shí)倉庫里，有否儲(chǔ)存過這些定義、公式、定理、法則？能否直接利用這些知識(shí)來解題？

（2）聯(lián)想。如果直接套用現(xiàn)成知識(shí)解決不了問題，就必須進(jìn)行恰當(dāng)?shù)穆?lián)想。解題時(shí)的聯(lián)想，就是要求在你的知識(shí)倉庫里，找出與題目很接近的或很相似的原理、方法、結(jié)論或命題，然后變通使用這些知識(shí)，看能否解決問題。聯(lián)想是發(fā)現(xiàn)解題途徑的一種基本思維方法，它有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。而聯(lián)想的思維基礎(chǔ)往往是類比推理，即由特殊到特殊的推理，把解決某種特殊情況的原則和方法遷移過來，應(yīng)用在接近的或相似的情況上，聯(lián)想就是要靈活運(yùn)用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)知識(shí)。

（3）猜想。如果經(jīng)過聯(lián)想仍解決不了問題，不妨進(jìn)行大膽猜想。如果對(duì)解決問題的途徑、原則和方法不能馬上找到，可以去選擇一些接近于解決問題的途徑、原則和方法，這就是提出猜想。然后設(shè)法論證這個(gè)猜想是否真實(shí)。這里的猜想不是胡思亂想和任意拼湊，它也是一種科學(xué)思維活動(dòng)。它是以已有的表象（如數(shù)量關(guān)系的描述、圖象的示意等等）為引發(fā)物，按邏輯推理的規(guī)律而進(jìn)行的思維活動(dòng)。猜想的思維基礎(chǔ)往往是歸納推理，即由特殊到一般的推理。也就是對(duì)特殊情況的結(jié)論進(jìn)行一番分析去偽存真，由表及里，找出共性由此猜想一般性的結(jié)論該是什么？

例如有這樣一道幾何證明題，題目為：在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E，F(xiàn)分別為AB，AC上的點(diǎn)，且∠EDF+∠EAF=180，求證：DE=DF。這道題是學(xué)生在學(xué)習(xí)了角平分線定理及全等三角形之后呈現(xiàn)的一道幾何證明題，最基本的內(nèi)容就是：利用三角形全等證明兩條線段相等。而解決該問題的關(guān)鍵就是利用恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等圖形，其核心就是角平分線定理和三角形全等的判定方法的綜合運(yùn)用，其實(shí)質(zhì)就是利用幾何圖形中圖形變換，即平移、旋轉(zhuǎn)等方式，將非全等圖形轉(zhuǎn)化為全等圖形，從而達(dá)到證明線段相等的目的，整個(gè)這個(gè)過程為化難為易、化無為有的過程，重在體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化的思想方法。因此，為教會(huì)學(xué)生思考，我以問題串的形式創(chuàng)設(shè)這樣問題的情境：

問題一：在你已有的知識(shí)、解題經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，如何證明兩條線段相等呢？（學(xué)生可以回答將兩條線段轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中利用等角對(duì)等邊；或?qū)ふ覂蓷l線段所在的三角形全等；或垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)短點(diǎn)的距離相等；或角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，或特殊圖形中直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等方式解決）結(jié)合這道題的已知條件所提供的信息，并借助你已有的經(jīng)驗(yàn)，你想從哪個(gè)方面去解決這個(gè)問題呢？（學(xué)生會(huì)想到利用全等來解決）

問題二：結(jié)合這道題呈現(xiàn)的條件，DE，DN所在的兩個(gè)三角形有可能全等嗎？（不能，因?yàn)橛袖J角三角形，有鈍角三角形）那么如何構(gòu)造這兩條邊所在的三角形全等：引導(dǎo)學(xué)生自己探索――小組展開討論――交流匯報(bào)。部分學(xué)生在交流中會(huì)想到解決問題的方式，在學(xué)生沒有思路的情況下，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考構(gòu)建輔助線的方式，設(shè)計(jì)。

問題三：結(jié)合圖形中的條件，看到角平線的條件聯(lián)想到什么？看到互補(bǔ)的角，結(jié)合圖形，想到什么？引導(dǎo)學(xué)生通過已知條件和基本圖形聯(lián)想相關(guān)的結(jié)論，很自然的作垂直得到全等的兩個(gè)條件，再通過互補(bǔ)的角得到另一個(gè)全等的條件，從而利用角角邊定理證明全等，最終得到DE=DF。

同時(shí)，在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考，聯(lián)想以往學(xué)過的幾何圖形，進(jìn)行變式：

變式一：結(jié)論互換，已知DE=DF，其余條件不變，求證AD是∠BAC的平分線。

變式二：改變圖形進(jìn)行變式。如圖，已知四邊形ABCD中，AD是∠DAB的平分線，∠DAB=60，∠B與∠D互補(bǔ)，求證：AB+AD=AC。

在這道證明題中，我充分引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知條件和問題進(jìn)行合理的回想、猜想與聯(lián)想。這三者之間是密切相聯(lián)的，回想越充分，聯(lián)想就越豐富，猜想也就越合理，解題的思路、方法也就越明確。

總之，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題和開拓思維參與解題的全過程，學(xué)會(huì)解題，是提高課堂教學(xué)效益，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的一種有效途徑。